例谈求参问题的解题策略

2017-07-21岳茂富

数理化解题研究 2017年16期

关键词：宁阳县运算题目

岳茂富

(山东省宁阳县第二实验中学,山东泰安 271400)

例谈求参问题的解题策略

岳茂富

(山东省宁阳县第二实验中学,山东泰安 271400)

函数中的求参问题是高中阶段一种重要题型，本文提供了四种求参方法，旨在培养学生通过对题目信息的分析以期在第一时间内选择恰当的解题方法的能力.

求参;分离;讨论;特值;放缩;能力;反思;数学思维

波利亚说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练.”而解题方法的优劣关乎解题效率.对于同一类型的题目，因方法选择的不同，会使解题过程的繁简程度大不一样，思维量也有很大的不同.求参数的取值范围一直以来为高考命题者所钟爱，此种题目的解题方法也逐渐由单一走向多姿多彩.笔者结合近几年求参数范围题目的变化归纳了以下几种方法，方便大家在做此类题目时根据题目特点进行恰当选择.

一、分离参数法

分离参数法是最基本也是最常用的求参数范围的方法，大体分两步，一是分离，二是求函数值域.

例1 (2013年新课标Ⅰ卷理21)已知函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y=4x+2.

(Ⅰ)求a，b，c，d的值;

(Ⅱ)若x≥-2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围.

解析 (Ⅰ)由已知得f(0)=2，g(0)=2，f′(0)=4，g′(0)=4.

而f′(x)=2x+b，g′(x)=ex(cx+d+c)，∴a=4，b=2，c=2，d=2.

(Ⅱ)当x≥-2时，x2+4x+2≤2kex(x+1)

①当x=-1时，-1≤0恒成立，所以k∈R.

综上所述，k的取值范围是[1,e2].

二、讨论求参

自导数进入高中教材以来，在解答题中求参数取值范围的方法不再单调，其中计算函数导数后分类讨论求参数的范围在每年高考题目中都有所涉及.这种题目若采用分离参数法，在求函数值域的时候会遇到瓶颈，这时往往要求导后通过讨论参数的范围判断函数的单调性，借助函数的零点寻找满足题意的参数范围.

例2 (2014新课标Ⅱ卷理21)已知函数f(x)=ex-e-x-2x.

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)设g(x)=f(2x)-4bf(x)，当x>0时，g(x)>0,求b的最大值；(Ⅲ)略.

解析 (Ⅰ)略；

(Ⅱ)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4x-4b(ex-e-x-2x)，显然g(0)=0，g′(x)=2(e2x+e-2x-2)-4b(ex+e-x-2)=2(ex-e-x)2-4b(ex/2-e-x/2)2=2(ex/2+e-x/2)2(ex/2-e-x/2)2-4b(ex/2-e-x/2)2=2(ex/2-e-x/2)2[(ex/2+e-x/2)2-2b]，

因为x>0，所以ex/2+e-x/2>2，(ex/2+e-x/2)2>4，

当2b≤4，即b≤2时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,+∞)上为增函数，所以g(x)>g(0)=0，所以b≤2满足题意.