一类切线问题的类比

叶扣

【摘要】在高中数学中，经常会遇到已知圆的方程和圆上一点求过这一点圆的切线方程的问题，并得出了相关公式.通过类比发现圆锥曲线也有类似结论，本文在此基础上通过近年来的高考题和模考题介绍了这些结论的应用.

【关键词】切点；切线；切线方程；曲线

直线和曲线的位置关系既是高考的重点也是难点，而直线与曲线的相切是一种非常重要的位置关系，本文介绍了这一类切线问题具有的共同结论并用高中知识加以证明，希望能给大家的学习提供一些帮助.

结论1经过圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2上一点p（x0，y0）的切线l方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

证明若切线l的斜率存在且不为0，kcp=y0-b1x0-a，kl=-x0-a1y0-b，所以切线l的方程为y-y0=-x0-a1y0-b（x-x0），整理得（x0-a）（x-x0）+（y0-b）（y-y0）=0，变形为（x0-a）[（x-a）-（x0-a）]+（y0-b）[（y-b）-（y0-b）]=0，从而得（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=（x0-a）2+（y0-b）2，所以（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

若切线l的斜率不存在或为0时，上式也成立.

综上可见结论1成立.

说明：类似可以证明经过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0（其中D2+E2-4F>0）上一点p（x0，y0）的切线l方程为x0x+y0y+Dx+x012+Ey+y012+F=0.

结论2经过椭圆x21a2+y21b2=1（其中a≠b）上一点p（x0，y0）的切线l方程为x0x1a2+y0y1b2=1.

证明若切线l的斜率存在时，设l方程为y-y0=k（x-x0），由方程组b2x2+a2y2=a2b2，

y=kx+y0-kx0， 得（b2+a2k2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a2（y0-kx0）2-a2b2=0，令Δ=0，得[2a2k（y0-kx0）]2-4（b2+a2k2）[a2（y0-kx0）2-a2b2]=0，化简得（a2-x20）k2+2kx0y0+b2-y20=0，又由于（2x0y0）2-4（a2-x20）（b2-y20）=4（a2y20+b2x20-a2b2）=0，所以k=x0y01x20-a2，l的方程为y-y0=x0y01x20-a2（x-x0），整理得（y-y0）（x20-a2）=x0y0（x-x0），于是（x20-a2）y+y0a2=x0y0x，从而[a2（1-y201b2）-a2]y=y0（x0x-a2），化简-a2y0y=b2（x0x-a2），即x0x1a2+y0y1b2=1.

若切線l的斜率不存在时，切线方程也符合x0x1a2+y0y1b2=1.

综上可见结论2成立.

结论3经过双曲线x21a2-y21b2=1上一点p（x0，y0）的切线l方程为x0x1a2-y0y1b2=1.

证明若切线l的斜率存在时，设l方程为y-y0=k（x-x0），由方程组b2x2-a2y2=a2b2，

y=kx+y0-kx0， 得（b2-a2k2）x2-2a2k（y0-kx0）x-a2（y0-kx0）2-a2b2=0，令Δ=0，得[2a2k（y0-kx0）]2-4（b2-a2k2）[-a2（y0-kx0）2-a2b2]=0，化简得（a2-x20）k2+2kx0y0-b2-y20=0，又由于（2x0y0）2-4（a2-x20）（-b2-y20）=4（b2x20-a2y20-a2b2）=0，所以k=x0y01x20-a2，所以l的方程为y-y0=x0y01x20-a2（x-x0），整理得（y-y0）（x20-a2）=x0y0（x-x0），于是（x20-a2）y+y0a2=x0y0x，从而[a2（1+y201b2）-a2]y=y0（x0x-a2），化简a2y0y=b2（x0x-a2），所以x0x1a2-y0y1b2=1.

若切线l的斜率不存在时，切线方程也符合x0x1a2-y0y1b2=1.

综上可见结论3成立.

说明：对于焦点在y轴的双曲线也有相应结论成立.

结论4经过抛物线x2=2py上一点p（x0，y0）的切线l方程为x0x=p（y0+y）.

证明若切线l的斜率存在时，设l方程为y-y0=k（x-x0），由方程组x2=2p，

y=kx+y0-kx0， 得x2-2pkx-2p（y0-kx0）=0，令Δ=0，得（-2pk）2-4[-2p（y0-kx0）]=0，整理得pk2-2x0k+2y0=0，又由于（-2x0）2-8py0=4（x20-2py0）=0，所以k=x01p，因此，l的方程为y-y0=x01p（x-x0），整理得x0x=p（y0+y）.

若切线l的斜率不存在时，切线方程也符合x0x=p（y0+y）.

综上可见结论4成立.

说明：对于焦点在y轴的抛物线也有相应结论成立.

当前，素质教育已经向我们传统的高中数学教学提出了更高的要求，也就是对教师提出了更高的要求.现在的学生普遍感觉高中数学难学，知识点多，不能把所学的知识灵活运用.但只要我们坚持以学生为主体，以培养学生的思维发展为己任，则势必会提高高中数学教学质量，摆脱题海战术，真正减轻学生学习数学的负担，从而为提高高中学生的整体素质做出我们数学教师应有的贡献.