扩展BVP振子弱周期扰动下的振荡与同步*

于蓉蓉， 谢 勇， 王 震(. 西京学院 应用统计与理学系， 西安 703； . 西安交通大学 机械结构强度与振动国家重点实验室， 西安 70049)

扩展BVP振子弱周期扰动下的振荡与同步*

于蓉蓉1， 谢 勇2， 王 震1
(1. 西京学院 应用统计与理学系， 西安 710123； 2. 西安交通大学 机械结构强度与振动国家重点实验室， 西安 710049)

针对扩展bonhoeffer-van der pol(BVP)振子易受不确定因素影响的问题，提出了将非线性动力学分析与数值模拟相结合的方法，并考察了弱扰动对混合模式振荡类型和同步行为的影响.根据模拟结果得知，多种类型的混合模式振荡受弱扰动的影响出现了坍塌现象，且从理论上证明了两个耦合bonhoeffer-van der pol振子的膜电压比慢变量到达完全同步时所需的耦合强度要大，在二维参数平面上，膜电压到达同步时所取参数范围应小些.结果表明，与膜电压相比，慢变量更容易达到同步，且变量之间呈现一种线性关系.

混合模式振荡； 同步； 耦合； 慢变量； 分岔； 弱周期扰动； 回归映射； 混沌

混合模式振荡(mixed-mode oscillation)作为一种复杂的振荡行为在不同系统中被发现，并已经成为了当前研究的热点[1-4]，特别是在多时间尺度的动力系统中，关于混合模式振荡和混沌现象机制等方面的研究较多[3，5-6].Marszalek等人提出，混合模式振荡发生在快慢运动与大小振幅交替改变的动力系统中，并详细列举了一系列混合模式振荡存在的物理、化学及生物等系统[7-10]；Blagojevic等人利用庞加莱截面(poincare sections)和回归映射(return maps)的数学方法，以多时间尺度的BL(bray-liebhafsky)反应模型为例解释混合模式振荡与混沌状态之间的转换[11]；Berg-lund等人考察系统参数和高斯白噪声对系统的影响，研究了快慢系统由于奇异折叠结点的存在所表现出的混合模式振荡，给出了噪声大小决定小振幅数量的充分条件[12]；Inaba等人根据李雅普指数和分岔图指出，在弱扰动下系统能产生倍周期分岔和混沌现象[13].

同步问题也成为学者主要的研究对象，Kryukov等人研究了局部耦合的不同bonhoeffer-van der pol(BVP)的同步行为，发现不少于2N-1个元素组成的链式BVP振子可以达到全局同步[14]；Kontchoue等人以BVP模型为例，提出了一种稳定混沌动力学的反馈控制策略，基于参数估计和非线性观察方法研究了两个BVP模型的自适应同步问题[15].然而考察扰动大小和耦合强度等因素对BVP模型同步影响的研究鲜为少见.

针对扩展BVP振子模型的同步情况，本文运用数值模拟与非线性分析的方法，根据模拟结果分析不同弱扰动对混合模式振荡类型的影响，发现模型在极其微弱的扰动下出现了混沌现象.同时将弱扰动引入到两个耦合的BVP振子模型中可知，慢变量达到同步的参数区域比膜电压相对大些，即更容易达到完全同步.

1 振子模型及其不同类型动力学现象

BVP振子模型是HH(hodgkin-huxley)神经元模型的变体，它的放电行为与HH模型极其相似.早在1960年，BVP模型被FitzHugh和Nagumo提出，简化后的BVP模型中仅仅有两个变量，取代了4个变量的HH模型.然而，简化后的BVP模型仅是一个可以用来研究轴突生理学的简单模型.1988年Yoshinaga等人提出修正的BVP方程，它包含了3个非线性微分方程；Doi和Kumagai从快慢动力学的角度提出修正的BVP方程，并研究了修正后的BVP快慢系统[16].

原始的BVP模型为

(1)

式中：x为膜电压参数；c为耦合强度；y为可控门参数，可作为一个慢变量；η、a和V1为门参数；Iext为外加电流强度.

簇放电是神经元放电的一个重要行为，但是二维的BVP模型中没有出现簇放电的现象，所以文献[16]提出在二维BVP模型中加入慢变量z，得到的修正BVP模型为

(2)

式中，门参数ε、b、V2与式(1)中的参数η、a、V1对应.Saeki[17]等人提出的扩展3维模型体现出系统的混沌和复杂分岔现象，其模型表达式为

(3)

式中，k1、k2、B1、B2作为门参数，对应着式(2)中的门参数a、b、V1、V2.取k1=k2=0.35，B1=B2=0.49，ε=0.1，k3作为可变参数，研究模型的动力学行为.当k3=0.3和k3=0.5时，模型分别呈现为14(1个大振幅的振荡，4个小振幅的振荡)类型的混合模式振荡和12(1个大振幅的振荡，2个小振幅的振荡)类型的混合模式振荡，它们的膜电压时间历程如图1所示.以出现混合模式振荡的BVP模型为例，进一步研究其动力学特征，为研究当膜电压受到弱扰动并存在线性耦合同步的情况提供依据.

图1 膜电压的时间历程Fig.1 Time history of membrane voltage

为了观察BVP快慢系统在弱噪声下混合模式振荡的行为，在式(3)中加入周期弱噪声，其模型变换为

(4)

式中，B为扰动噪声幅值.图2与图3分别为可变参数k3为0.3和0.5，B=0.001时的时间历程及回归映射.由图2与3可清楚地看到，模型膜电压的时间序列呈现出混沌的现象，这点可以通过观察回归映射图2b和图3b看出.然而，在此BVP快慢系统中，混合模式振荡的存在是源于所谓的鸭式机制还是源于不变环面的破裂，有待于进一步探讨.受扰动强度的影响，BVP模型出现了混沌现象，在真实电路实验中，如果能够把握扰动强度和环境噪声，并通过数值优化处理，可以对混沌现象进行有效控制.

图2 膜电压在弱扰动下的时间历程和回归映射(k3=0.3)Fig.2 Time history and return map of membrane voltage under weak perturbation with k3=0.3

2 扩展BVP振子模型的分岔现象

为了进一步了解BVP模型在弱扰动下的行为，图4给出了在周期弱扰动下(B=0.001)的分岔图，由图4可以看出在弱扰动下有序的模式被打破.Inaba等人利用打靶算法解释了混合模式振荡分岔图出现坍塌现象的机制：当系统受到极其微弱的扰动时，倍周期分岔过程会导致混沌现象的产生[13]，这是导致混沌的经典过程.混合模式振荡受弱扰动的影响比较敏感，能否合理控制真实电路中的无序变化，取决于实验中是否能够准确模拟出参数的取值范围.在实际电路中，一个现象的产生可能是多个电路共同作用的结果，研究弱扰动下两个耦合电路的同步更有利于控制系统.

图3 膜电压在弱扰动下的时间历程和回归映射(k3=0.5)Fig.3 Time history and return map of membrane voltage under weak perturbation with k3=0.5

图4 弱扰动下分岔图Fig.4 Bifurcation diagram with weak perturbation

3 BVP振子模型的同步行为

为了研究发生混合模式振荡现象的两个耦合BVP振子模型的同步行为，对两个振子模型分别描述为

(5)

(6)

图5 膜电压与慢变量变化趋势图Fig.5 Change trend of Max() of membrane voltage and Max() of slow variable

由图5a可知，随着耦合强度的逐渐增加，膜电压在耦合强度为0.23左右时，所对应的同步差极大值就已经为零，意味着膜电压达到了完全同步；而图5b中慢变量在耦合强度为0.19左右时，所对应的同步差极大值为零，即慢变量也达到同步，但所需的耦合强度比膜电压达到完全同步需要的耦合强度要小些，因此，慢变量比快变量更容易达到完全同步.

为了进一步考察膜电压是否可以达到完全同步，本文选取了足够大的耦合强度来分析膜电压与慢变量的同步变化情况，结果如图6所示.由图6a、b中膜电压与慢变量的时间历程图可知，当耦合强度c=0.3时，膜电压和慢变量已经同时达到完全同步.虚线代表第一个振子的膜电压和慢变量的时间历程图，它几乎完全被实线(代表第二个振子的时间历程图)所覆盖，即这两个振子的快慢变量完全重合在一起.由图6c、d可知，此时快慢变量呈现完全同步，并且它们之间存在一种线性关系.为了了解参数对于BVP模型同步的影响，进一步研究了在二维参数空间(B3，B4)下，耦合BVP模型之间快慢变量的同步情况.由图6e、f可知，不论是模型的膜电压还是慢变量，达到完全同步的参数区域呈现为带状狭长的区域.与膜电压参数同步区域比较，慢变量同步区域要相对更广些，即慢变量比快变量达到同步的情况更容易.

图6 膜电压与慢变量的同步变化(c=0.3)Fig.6 Synchronous change of membrane voltage and slow variable with coupled strength c=0.3

4 结 论

本文首先研究了BVP模型在弱周期扰动下的动力学行为，在弱扰动下模型表现出的相对规律的混合模式振荡已经出现了坍塌的现象.然后考察了耦合强度与弱扰动对两个线性耦合BVP模型快慢变量的同步影响，分析结果表明，随着耦合强度的增加，慢变量比快变量先达到同步，这一结果和现有文献结果完全一致.当耦合强度足够大时，两个变量能够同时达到完全同步，而且呈现一种线性关系的同步；对二维参数平面的研究发现，快慢变量同步的参数区域都呈现带状狭长的分布，而慢变量的同步范围相对要宽泛些，更容易达到同步.

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(责任编辑：景 勇 英文审校：尹淑英)

Oscillation and synchronization of extended BVP oscillator under weak periodic perturbation

YU Rong-rong1, XIE Yong2, WANG Zhen1

(1. Department of Applied Statistics and Science, Xijing University, Xi’an 710123, China; 2. State Key Laboratory of Strength and Vibration of Mechanical Structures, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

Aiming at the problem that the extended bonhoeffer-van der pol oscillator is easily affected by uncertainty factors, a method in combination with both nonlinear dynamics analysis and numerical simulation was proposed, and the influence of weak perturbation on the mixed-mode oscillation type and synchronization behavior was investigated. According to the simulated results, it is noted that the collapse phenomenon appears because the mixed-mode oscillation in several types is affected by the weak perturbation. It is theoretically proved that the coupled strength needed to reach the complete synchronization for the membrane voltage of two coupled bonhoeffer-van der pol oscillators is larger than that for the slow variable. On a 2D-parameter plane, the parameter range for the membrane voltage to reach the complete synchronization should be smaller. The results indicate that compared with the membrane voltage, the slow variable is easier to achieve the synchronization. Furthermore, a linear relationship between the variables is presented.

mixed-mode oscillation; synchronization; coupling; slow variable; bifurcation; weak periodic perturbation; return map; chaos

2016-07-12.

国家自然科学基金资助项目(NSFC61473237)； 陕西省教育厅科研计划资助项目(15JK2181)； 西京学院科研基金资助项目(XJ150204).

于蓉蓉(1979-)，女，河南卧龙人，讲师，硕士，主要从事非线性动力学与神经动力学等方面的研究.

10.7688/j.issn.1000-1646.2017.04.08

TB 122

A

1000-1646(2017)04-0401-05

*本文已于2017-06-21 21∶19在中国知网优先数字出版. 网络出版地址： http：∥www.cnki.net/kcms/detail/21.1189.T.20170621.2119.020.html