空间机械臂建模及分析方法综述
2017-07-18郑棋棋汤奇荣张凌楷谢宗武
郑棋棋,汤奇荣∗,张凌楷,黎 杰,谢宗武,刘 宏
(1.哈尔滨工业大学机器人技术与系统国家重点实验室,哈尔滨150080;2.同济大学机械与能源工程学院机器人技术与多体系统实验室,上海201804)
空间机械臂建模及分析方法综述
郑棋棋2,汤奇荣2∗,张凌楷2,黎 杰2,谢宗武1∗,刘 宏1
(1.哈尔滨工业大学机器人技术与系统国家重点实验室,哈尔滨150080;2.同济大学机械与能源工程学院机器人技术与多体系统实验室,上海201804)
综述了国内外空间机械臂的研究现状,分析了空间机械臂运动学及动力学建模和分析方法,比较了主流的空间机械臂及其多体系统(含多刚体,多柔体及刚柔耦合)范畴的方法,指出了它们各自的优缺点,得出了浮动坐标系下Lagrange法结合有限元方法更加适合考虑柔性的空间机械臂的动力学建模及分析的结论。
空间机械臂;运动学;动力学建模;分析方法
1 引言
随着对空间技术的不断探索,每年发射的航天器数量不断增加,空间机器人在太空活动中发挥着越来越重要的作用[1]。统计数据表明,在过去几十年,每年有大约100颗卫星发射成功,大多数都正常工作,但仍有一小部分出现故障甚至不同程度的受损[2]。为了延长卫星寿命,实现故障卫星在轨维修,许多国家一直在努力研发空间机器人及其在轨服务技术。特别是日本、美国、欧洲、俄罗斯和加拿大,而加拿大更将空间机器人列为国家战略[3]。我国空间技术也不断发展,空间机械臂是我国载人航天三期工程的重大关键技术之一,也是空间站四个关键技术攻关项目,空间站上将配置大小两个机械臂用于辅助对接、补给、出舱和科学实验[4]。
空间机器人主要由空间基座和一个固结在基座上的N自由度的空间机械臂组成。空间机械臂是由臂杆、关节、末端操作器等部件通过机械连接而成的链式系统,一般具有质轻、臂长和负载大等特点。由于空间机械臂与基座之间的动力学耦合,空间机械臂的动力学建模比固定基座的机械臂复杂得多;同时为了获得良好的控制精度和性能,必须在动力学建模时考虑臂杆和关节柔性。柔性机械臂是一个非常复杂的动力学系统,其动力学方程具有非线性、强耦合、时变等特点[5]。对空间机械臂的运动学与动力学建模及分析方法的研究,是建立多刚⁃柔耦合的空间机械臂动力学模型的基础。
2 系统研究状况
空间机械臂是建设和维护国际空间站必不可少的工具,它也广泛应用于支持国际空间站的实验、舱外活动等科学任务[7]。在过去30多年中,世界多国开展了此领域的研究。
典型的有加拿大臂(Canadarm),其主要功能为投放卫星进入恰当的轨道及维修失效卫星等[3]。在此基础上,加拿大MD Robotic公司成功研发了应用于空间站的移动服务系统(MSS:Mo⁃bile Servicing System),如图1(a)所示,该系统主要由活动基体系统,空间站遥控机械臂系统(SS⁃RMS)以及专用灵巧机械臂(SPDM)等三部分组成[7]。其中SSRMS也称加拿大第二臂(Canadarm2),于2001年成功安装于国际空间站上,由七个关节和两个机械臂杆组成。其共有七个自由度,且能操纵最大质量高达100 000 kg的有效载荷。Canadarm2的七自由度配置使得它更灵活,更加适合于复杂的操作任务。SPDM由三个主要部分组成,包括两个七自由度的机械臂和一个基座,每个臂的长度为2.2 m。SPDM重约1100 kg,负载能力可达600 kg,定位重复性误差为0.125 cm,主要用来执行一些更加精细和关键的任务,如在轨更换元件,空间站的维修、检测等[8]。
欧洲机械臂European Robotic Arm(ERA)由欧洲航空局设计,是国际空间站俄罗斯舱段上工作的第一个机械臂,如图1(b)所示[9]。ERA组成包括一个七自由度机械臂,两个舱外活动控制台人机接口,一个舱内活动控制台人机接口,以及一个轨道系统等。ERA是11.3 m长对称结构分布的机械臂,每一个臂段都由肩和腕关节组成,集成了俯仰关节、摇摆关节和旋转关节。ERA与Canadarm2设计一样,在其两端分别有一个末端执行器,因此在工作时,采用固定其中一端作为基座,而另一端作为执行机构来操作任务。ERA在俄罗斯舱段主要用于安装、展开或者更换太阳能电池翼等。
日本实验舱遥控机械臂系统(JEMRMS),如图1(c)所示,是日本实验舱的主要组成部分之一,总重量约为1000 kg,由两个连接臂段组成(主体臂和精细臂)[10]。JEMRMS主要用作大负载的处理,如日本实验舱的组装和暴露设施相关实验等[9]。
1993年,德国宇航中心研制并成功发射了小型机器人系统ROTEX,并在哥伦比亚航天飞机上进行了演示,执行了抓取物体、机械装配及插拔电插头等多个实验,是世界上第一个具有地面遥操作功能的空间机械臂,如图1(d)所示[11]。
2015年世界机器人大会上,中国航天科技集团展出了未来大型空间站的实验舱机械臂如图2所示。初步设计的七自由度冗余机械臂长10 m,肩部有3个关节,肘部有1个关节,腕部有3个关节,最大负载25 t,在轨运行10年以上,可进行地面遥操作,并且安装有视觉系统,可进行视觉识别与自主分析避障,可满足我国建造、维护和使用大型空间站的要求[12]。
3 运动学与动力学建模方法
3.1 空间机械臂运动学
空间机械臂运动学主要研究机械臂的运动特性,如位置、速度、加速度以及它们的高阶导数,而不考虑使操作臂产生运动的力和力矩。其主要研究的是机械臂的正、逆运动学,通常首先利用矩阵建立机械臂位置、姿态及运动的表示方法,然后研究不同连杆和关节构型配置机械臂的正、逆运动学,最后利用D⁃H参数法推导机械臂所有可能构型的正、逆运动学方程[13]。Paul用D⁃H参数法对链式机械臂建模,通过矩阵变换,得到了描述机械臂的运动方程[14]。Wu忽略了高阶误差小项,用D⁃H参数法推导出一个线性解析误差模型。然而当运动学误差较大时,该简化模型和真实模型存在较大误差。为此,研究人员开始研究对D⁃H参数法的改进,以使其适用于任何轴线布置的机械臂,包括轴线平行或接近平行的情况。Moor⁃ing基于Rodrigues参数描述模型在六自由度机械臂上检验了杆件扭转所导致末端定位精度的改变,其运动学分析采用过固定点的单位旋转矢量来描述特殊杆件运动[15]。Hayati在传统的D⁃H坐标建立的步骤上增加了一个绕动轴y旋转的附加角度用于表示相邻关节轴线平行或接近平行时轴线方向的微小变动,然而该方法无法用于相邻关节轴线垂直或接近垂直的情况[16]。Barker基于D⁃H参数法,提出了修正的D⁃H模型(MD⁃H),能够克服D⁃H模型在相邻关节轴线平行时分析的不足[17]。蔡鹤皋和张超群对机器人运动学建模进行了研究,基于修正的D⁃H模型(MD⁃H)和微分变换关系推导出了机器人实际几何参数识别的全部公式[18]。这些运动学建模方法在一定程度上客服了传统D⁃H方法缺陷,扩展了运动学建模的方法。
机械臂逆运动学用于求解到达某一期望位姿时各个关节的角度。空间机械臂一般设计为七自由度,具有冗余自由度,这对于避免碰撞和改善动力学性能非常有利,同时具有更大的灵活性,但对逆运动学的求解提出了更高的挑战。对于七自由度机械臂的运动学求逆方法的研究在过去几十年有了巨大的进步。1991年,Lee和Bejczy提出了一种选取合适关节参数获得封闭形式逆解的方法,不过这种方法很难适用于有关节角限制的情况[19]。Dahm和Joublin使用冗余角度参数法得到了七自由度机械臂闭合形式的逆解,但目前只能用于求解腕部关节角有限制的运动学求逆[20]。Moradi和Lee在Dahm和Joublin的基础上,开发了一种求逆方法,这种方法可以最小化肘部关节的运动,同时考虑肩关节的限制,但只考虑了一种自运动流形[21]。Shimizu和Kakuya等学者提出了一种能在关节角度限制情形下求解非偏置七自由度冗余机械臂逆运动学的计算方法,而且这种方法能够扩展应用于其他构型的冗余机械臂,但前提是能将冗余机械臂独立参数化表示[22]。Singh和Claassens针对肘部偏置的七自由度Bar⁃rettWAM机械臂,采用几何分析的方法进行逆运动学求解[23]。禹超、金明河和刘宏则针对腕部有偏置的情形,提出了基于虚拟球关节的方法,并进行了运动学仿真验证[24]。徐文福和张金涛等学者针对肩、肘、腕均有偏置的SSRMS型七自由度冗余空间机械臂,提出了逆运动学求解的关节角参数化及臂型角参数化两种方法,并用仿真算例校验了有效性[25]。近年来,随着计算机技术的不断发展,机械臂逆运动学数值解法结合智能算法也得到了大发展,逆运动学数值解法的优点是它们具有通用性,但是往往依赖于迭代初值的选择,对于任意的关节角初值不一定收敛。
3.2 空间机械臂动力学
空间机械臂动力学研究物体在三维空间中的位置、速度、加速度和力(力矩)的变化情况[26]。空间机械臂动力学包括多刚体动力学和多柔体动力学,其动力学研究与发展伴随着计算多体动力学基础理论的发展而发展。空间机械臂属于链式无根多体系统范畴,由于臂杆的柔性变形以及关节的柔性在空间机械臂中不得不考虑,使得空间机械臂系统动力学十分复杂,需要看成一个刚柔耦合的多体系统。
3.2.1 多刚体动力学建模研究现状
多刚体动力学的研究始于20世纪60年代,随着传统机械、车辆、航天等工程领域的发展,机械机构日趋复杂化,组成机构的各部件间都存在着一定的铰链或者力约束,各部件运动相互耦合,由此多刚体动力学应运而生。多刚体动力学将系统中各部件做刚性假设,主要研究系统中各物体运动之间的相互作用以及对整个系统动力学特性的影响。Wittenburg在其专著中,全面细致地介绍了多刚体系统的运动学及动力学,奠定了以Lagrange方法为基础的多刚体动力学基础,之后将图论理论引入到多体系统的拓扑结构描述中,讨论了多刚体系统接触碰撞动力学问题[27⁃28]。Kane提出了有别于矢量力学和分析力学的一种新的多体动力学建模方法,又称虚功率形式的D’Alembert原理;该方法通过引入偏速度、偏角速度,以达朗贝尔原理为基础建立动力学方程,既适用于完整系统也适用于非完整系统[29]。Schie⁃hlen出版了第一本统一的多体系统动力学手册[30]。Haug提出了多刚体系统动力学笛卡尔坐标方法,又称参考点坐标法,该方法能基于计算机建模和求解多体系统的运动学和动力学方程,避免了复杂的常规求导和计算,具有较强的实际应用价值[31]。De Jalon和Bayo提出了多刚体系统建模的自然坐标方法(又称完全笛卡尔坐标法),该方法利用参考基点的笛卡尔坐标和参考基矢量的笛卡尔分量描述构件的位置和姿态,不需要角度坐标;用该方法描述多体系统能得到二次代数形式的约束方程和线性的雅可比矩阵,因此能大大提高计算效率[32]。之后,De Jalon对自然坐标法25年来的研究进展进行了总结,并对自然坐标法在某些应用领域的突出优点进行了验证[33]。Shabana针对多刚体系统动力学的数值求解算法展开了系统的研究,并着重研究用计算机辅助计算多体系统动力学[34]。Featherstone论述了开环、闭环多刚体系统的正逆动力学及接触碰撞问题的算法[35]。Nikravesh、Roberson、Huston、Stejskal等也在多刚体系统动力学力学理论的研究方面做出了重要贡献并发表专著[36⁃39]。国内学者贾书惠、刘延柱、洪嘉振、芮筱亭、刘才山、吴洪涛、刘锦阳、刘又午等研究较早。刘延柱、洪嘉振等提出了旋量⁃矩阵方法以建立多刚体系统的动力学方程并对系统动力学的计算方法进行了较为详细的综述,之后又对多体系统动力学微分/代数混合方程组进行了研究[40⁃42]。于殿勇、钱玉进基于动力学仿真软件ADAMS进行了参数设置研究,为获得最佳仿真效果奠定了一定基础[43]。安雪斌、潘尚峰在ADAMS中对三种多体动力学仿真的接触碰撞模型进行了仿真计算,得出了三种模型的计算结果[44]。多刚体系统动力学已发展得相对成熟,并形成了以ADAMS、DADS、SIM⁃PACK等为代表的一大批多刚体系统动力学分析软件。
3.2.2 刚柔耦合空间机械臂动力学建模
空间机械臂具有质轻、结构尺寸大、高负载自重比等特点,在运动过程中关节和臂杆的柔性效应增加,会使结构发生变形并降低任务执行的精度。关节柔性是指机械臂传动机构和关节转轴的扭曲变形,通常用集中参数模型描述。臂杆柔性则指机械臂臂杆的弹性变形、剪切变形等,通常需要用偏微分方程所代表的分布参数模型加以描述。此外,还要考虑柔性关节和柔性臂杆之间的耦合作用[45]。为了实现柔性空间机械臂高精度的有效控制必须考虑系统动力学特性。柔性机械臂是一个非常复杂的动力学系统,其动力学方程具有非线性、强耦合、时变等特点[6]。建立一个精确的刚柔耦合动力学模型对空间机械臂的控制具有十分重要的意义。空间机械臂动力学建模首先要建立运动学和动力学描述体系,根据参考坐标系选取的不同,可以分为三类:浮动坐标系方法、随转坐标系方法和惯性坐标系方法[46]。而柔性体变形的描述,是刚柔耦合机械臂系统建模与控制的基础,同时基于不同的动力学原理可以建立不同形式的动力学方程。
1)基于不同参考系的建模方法
(1)浮动坐标系方法
浮动坐标系方法是将多刚体动力学与结构力学结合的一种方法。假设空间机械臂系统的简化模型如图3所示,由基座(B1)、臂杆(B2,B3)与末端执行器(B4)组成,其中B2和B3为柔性细杆,基座(B1)与末端执行器(B4)可看成刚性体。浮动坐标方法首先建立在不动参考物上的惯性坐标系C0x0y0以及固结在刚柔耦合多体上的浮动坐标系Cixiyi,随后将柔性体的运动分解为浮动坐标系的刚体运动与相对于浮动坐标系的弹性变形的叠加。具体地,首先将浮动坐标系固化,再将弹性变形应用模态分析法或有限元方法等离散,再仿照多刚体动力学的处理过程建立离散系统动力学方程[47]。图3中,柔性臂杆B2上任意一点P的位置矢量可以表示为式(1):
其中R2为坐标系C2到惯性系C0的位置矢量,A2为坐标系C2到惯性系C0的旋转矩阵,由欧拉角和欧拉参数等参数构成,uo2和us2分别表示臂杆B2上点P变形前的位置和变形量。浮动坐标方法可以充分利用模态技术,对于小变形和低速的大范围运动的情况有较佳的计算效率和精度,是目前柔性多体系统建模使用最广泛的方法,由于空间机械臂的低速操作特性,考虑空间机械臂的柔性效应时,这种建模方法得到了较好的应用。
(2)随转坐标系方法
随转坐标系方法源于计算结构动力学,最早是由Argyris等提出作为固有模态方法的一部分发展起来的,这种方法被用于大位移,大转角和小应变结构的动力学建模[47]。随转坐标系是单元局部坐标系,在结构受荷变形的过程中随结构变形而变位,即随转坐标系随弹性体内部的每个单独的有限元的平均刚体运动而运动。随转坐标系的一个轴(x轴)与单元两端节点的连线(即弦线)相重合,如图4所示,且单元的节点1固定在坐标系原点,节点2可以沿着弦线做直线运动,因此在随转坐标系中,节点1只有转角位移,节点2可以有一个转角位移和一个沿弦线的线位移。图4中,(a)为单元的未变形初始构型,(b)为单元变形构型节点位移示意图。Belyschko和Hsieh建立了随转坐标系下的显式有限元法,用于欧拉⁃伯努利梁的动力学建模[48]。Rice和Ting改进了随转坐标系下的显式有限元法,能更好的分析大位移问题[49]。Lin和Hsiao针对航天飞行器和空间机械臂需要减轻质量、降低发射成本的需求,对薄壁梁用随转坐标系法结合完全Lagrange方程进行了大位移几何非线性问题的分析[50]。张宏生在获得小位移欧拉⁃伯努利变截面梁单元刚度矩阵基础上,在变形后位形上建立单元随动坐标系,得到了变截面梁单元大位移全量平衡方程,但所得刚度阵并未计及剪切变形的影响[51]。
(3)惯性坐标系方法
惯性坐标系方法源于大变形非线性有限元和连续体力学原理,又可以分为非线性有限元法和绝对节点坐标法[47]。Simo和Quoc等在结构力学非线性有限元法的基础上,将柔性体的大范围运动及其变形运动统一采用相对惯性坐标系的节点位移来表示,发展了能处理小变形大应变柔性体的非线性有限元模型,但只限于梁式构件[52]。任革学等基于绝对节点坐标方法对柔性体与柔性体,柔性体与刚性体之间的碰撞问题进行了研究,扩大了绝对节点坐标发在工程中的应用范围[53]。田强等采用结合绝对节点坐标法与自然坐标法的绝对坐标方法研究了星载柔性机械臂在抓取漂浮目标过程中机械臂⁃星体⁃太阳翼的刚柔耦合动力学与控制问题[54]。绝对节点坐标法促使柔性多体系统动力学理论和有限元理论进一步整合,一直是多体系统动力学研究者着力研究的热点问题之一。在绝对节点坐标方法中,有限元的位形是由惯性系下的绝对位移的坐标和斜率定义的,梁单元作为等参元处理。通过这种描述,不但可以避免坐标系转换的麻烦,也可以得到较为简单的惯性力表达式,质量阵为常值阵,科氏力阵为零阵,因此该方法在空间机械臂的动力学建模中有广泛的应用。在绝对节点坐标方程中,单元节点的坐标定义在惯性参考系中,一个单元上任意一点的全局位置向量可以用式(2)所示全局函数和绝对节点坐标来描述:
这里r代表单元上任意一点的全局位置向量,rx和rz是r的分量,S代表全局形函数,e代表单元节点坐标向量(包括节点位移和斜率)[55]。
非线性有限元法的优点是可以充分应用现有的非线性有限元分析软件,但因系统的广义坐标为有限元节点坐标,无法利用模态综合技术来压缩自由度,因此得到的动力学方程广义坐标数目往往非常庞大,计算效率低下。绝对节点坐标法能精确地描述柔性多体系统动力学问题,既适用于小变形问题也适用于大变形问题,但它的定义决定了它无法区分刚体运动和弹性变形,会给某些控制问题带来不便。由于随转坐标方法和惯性坐标方法下,惯性张量的平动部分是线性的常量而且考虑了运动的非线性,随转坐标系方法和惯性坐标系方法能够解决大转动和动力刚化问题,但是由于动力学方程复杂,计算效率低下。近年来,随着计算机运算处理技术的不断进步,这两种方法在工程中得到了越来越多的应用。
2)描述柔性体变形的方法
空间机械臂由于臂杆柔性的影响,在进行大范围刚性运动的同时往往伴随着小幅的柔性振动,呈现明显的刚柔耦合特性。对柔性臂杆变形的描述,是空间机械臂刚柔耦合系统建模和控制的基础。因此首先要选择一定的方式描述柔性体的变形,同时变形的描述与系统动力学方程的求解关系密切。
(1)有限元方法
有限元方法是一类离散化的方法,其本质是将具有无限自由度的连续体离散化为具有有限个自由度的单元集合体,这样就能用数值方法进行求解。其特点是采用弹性元单元、刚性结点、载荷向结点移置、刚度及阻尼特性由单元表征。采用有限元法得到的动力学方程较为复杂,动态响应求解运算量也较大,同时不能进行系统的参数化分析。Fattah用有限元方法对双连杆柔性机械臂进行离散,进行动力学建模与仿真[56]。Tokhi和Mohamed用有限元方法建立了单连杆柔性机械臂的动力学模型,并分别用有限元方法和有限差分法对柔性机械臂的建模的精度、计算效率进行了比较[57⁃58]。
(2)集中参数方法
集中参数方法主要分为有限段方法和集中质量法。有限段方法的基本思想是把一个柔性梁离散成若干个刚性段,刚性段之间通过柔性连接器(通常是线性或非线性的弹簧阻尼器)连接[59]。这种方法的优点是将柔性构件用刚性部件来替代,能较好地计及刚柔耦合、柔柔耦合及非线性的影响,且不受小变形限制[60]。但是有限段方法与有限元方法在拓扑结构上存在着本质的区别。就整个系统而言,有限段方法描述的多体系统是时变的,而有限元分析中其结构的平衡位置不随时间变化。就单元特征而言,有限段方法只应满足小应变假设,即允许柔性体产生几何非线性变形,而有限元法建立在小变形假设基础之上,将变形线性化。就微分单元而言,有限段中微分梁段的长度相当于弧微分,而有限元方法是对坐标的微分[47]。有限段方法适合于含有细长柔性零件的系统,由于柔性机械臂的柔性主要来源于呈细长梁、杆状的柔性臂,因此采用有限段法对其离散较为适合。Megahed和Hamza用有限段方法对柔性机械臂进行建模及仿真,并在传统有限段方法的基础上在动力学方程中加入一致质量矩阵实现了更精确的近似[61]。Tzou、Nissing、董龙雷及芮筱亭等基于有限段方法对柔性机械臂也进行了大量研究[62⁃64]。
集中质量法的主要思想是将柔性体的分布质量离散化于若干离散结点上,即将全部质量都集中到各节点上,杆系结构的离散化刚度矩阵可以直接得出,系统的动力学方程都能直接通过对质量的近似离散化得到[6]。集中质量法不需要刚度和质量单元函数,因此建模过程较有限元方法要简单。集中质量法适用于部件外形复杂的柔性系统,在自由度相同的情况下,其模型精度低于有限元方法,但易于操作,条例清晰[65]。Konno和Uchiyama基于霍尔模型用集中质量法对柔性机械臂进行了建模,并分析比较了刚性机械臂和柔性机械臂的运动学及动力学差异[66]。Zhu等将单连杆柔性机械臂离散成弹簧⁃质量系统,将臂杆质量集中在端点,并用无质量弹簧体现柔性,实现机械臂末端轨迹控制[67]。Meckl、Seering、Gher⁃man、蔡国平等基于集中质量方法对机械臂也进行了广泛研究[68⁃70]。
(3)假设模态方法
假设模态法将柔性杆看成一个整体,根据杆件的不同边界约束条件求得其振型函数,以振型函数作为离散柔性体的基础。该方法以Rayleigh⁃Ritz法为基础,采用模态截断技术,利用系统中各个子结构的模态,综合出系统的整个模态[57]。基于不同类型的边界约束条件如固定-自由、简支-简支、自由-自由等边界条件可以得到不同类型的模态特征函数[71]。假设模态方法建立的动力学方程规模较小,也便于计算机编程,但是由于复杂结构的模态函数较难求解,因此比较适合离散形状规则的柔性体。Hastings和Book用假设模态方法推导出了柔性机械臂的运动方程,用模态截断技术只保留了低阶模态,忽略了高阶模态[72]。Theodore和Ghosal分别用假设模态方法和有限元方法对柔性机械臂进行离散并分析比较,提出假设模态方法更适合于横截面均匀的单连杆柔性机械臂建模,而有限元方法更适合于横截面形状复杂的柔性机械臂及多连杆柔性机械臂系统建模[73]。从这一点上来说,后者更适合于本文研究的空间机械臂。Green和Sasiadek基于假设模态方法对双连杆柔性机械臂进行了动力学建模以及轨迹跟踪实验,并和刚性机械臂动力学模型进行了比较[74]。Fotouhi等基于假设模态方法结合Lagrange方程提出了一种高效的方法适用于带柔性臂杆和柔性关节的机械臂动力学建模[75]。
3)动力学方程建立方法
空间机械臂刚柔耦合动力学数学模型是进行动力学分析的基础,基于不同的动力学理论可以建立不同形式的动力学方程。虽然动力学方程形式不同,计算效率不同,但其所表征的系统特性和所得分析结果是等价的[76]。其中应用最广泛的是以Newton⁃Euler法为代表的矢量力学方法和以Lagrange法为代表的分析力学方法,以及兼具矢量力学和分析力学特性的Kane方法和基于变分方法的Hamilton原理方法。
(1)Newton⁃Euler法
Newton⁃Euler法首先将系统中每个个体做隔离处理,之后应用牛顿第二定律和质心动量矩定理写出物体质心的平动方程,应用欧拉原理写出质心的转动方程,进而得到系统中各个单元的动力学方程;根据系统中各体之间的约束关系,递推得出整个系统的动力学方程。其形式直观,物理意义明确,推导出的动力学方程更容易进行变换。对于添加新的扰动和变量,具有良好的开放性。然而由于建模过程引入了难以消除的约束反力,导致方程中未知变量和方程数目较多,使得后续的计算过程效率十分低下。矢量力学原理和旋量方法则使Newton⁃Euler方程的表达形式变得极其直观简明,其特点在将矢量和矢量矩合为一个六维矢量,利用对偶数作为工具,可以在开链和闭链结构的空间机械臂的运动学和动力学分析中得到广泛应用。Roberson、Schwertassek等在其专著中对于Newton⁃Euler法的具体应用进行了详细的介绍[37]。Rakhsha和Goldenberg基于Newton⁃Euler法对末端带刚性体的单连杆柔性机械臂进行了动力学建模[77]。Gamarra⁃Rosado和Yuhara基于Newton⁃Euler法得到了双连杆双旋转关节柔性机械臂的动力学方程,并进行了计算机仿真验证[78⁃79]。Boyer和Coiffet基于Newton⁃Euler法结合D’Alembert原理对多连杆柔性机械臂进行了建模[80]。De Luca和Ferrajoli提出了一种修正的递归Newton⁃Euler法,能解决常规方法难以计算机械臂故障检测和控制问题中动态参数的问题,并在七自由度DLR轻型机械臂上进行了验证[81]。
(2)Lagrange法
Lagrange法从能量角度出发建立动力学方程,首先根据系统的自由度选取合适的广义坐标,再用广义坐标表示出各个体的动能和势能,代入到Lagrange方程中,直接推导出系统的动力学方程。应用Lagrange法建立的系统动力学方程一般为一组微分-代数方程,微分方程表示广义坐标及其导数与广义力的关系,而代数方程表示各体间的约束关系。其优点是从能量角度出发,避免了方程中出现内力项,动力学方程简洁,使得计算效率高,适合于计算机编程和数值计算,但建模过程对动能和势能的推导较为复杂,且广义坐标的选取也有一定难度。Lagrange法经常结合假设模态方法应用于柔性机械臂的动力学建模。Martins基于Lagrange法结合假设模态方法对单连杆柔性机械臂建模进行了研究,并得到了机械臂数学模型[82]。Tomei和Tornambe通过减少广义坐标数量对柔性臂精确描述结合Lagrange法建立了动力学模型并进行了仿真验证[83]。Bahrami和Rahi基于Lagrange⁃Euler方程和泰勒级数对带柔性关节的N臂杆机械臂进行了动力学建模并通过双连杆机械臂进行了仿真验证[84]。
(3)Kane方法
Kane方法是由Kane提出的有别于矢量力学和分析力学的一种新的动力学建模方法,又称虚功率形式的D’Alembert原理[29],基本思想是根据系统的特点,灵活地选取广义速率取代广义坐标或广义坐标的某种形式的函数以作为独立变量,通过引入偏速度,偏角速度的概念,求出系统的广义主动力和广义惯性力,最后由D’Alembert原理导出Kane动力学方程[85]。Kane方法的特点是既可以像Lagrange法一样避免方程中出现内力项,简化方程,避免繁琐的微分运算,又类似于Newton⁃Euler法,方程物理意义明确,同时所得方程可以化为XU=Y的标准形式,不含待定乘子,可方便地在计算机上求解,计算效率较高。Megh⁃dari和Fahimi基于Kane方法推导出了双自由度柔性机械臂的动力学方程,并进行了仿真验证[86]。贠今天等基于Kane方法推导建立了在惯性参考坐标系中刚⁃柔机械臂的非线性动力学模型,并利用假设模态法进行离散[87]。金国光等基于假设模态法和Kane方法建立柔性机械臂的动力学模型,并对其进行数值仿真[88]。
(4)基于Hamilton原理方法
Hamilton原理作为分析力学中的重要原理,它是以泛函驻值的变分形式给出力学系统动力学原理,可以解决刚柔耦合动力学中的很多问题[89]。它的实质是从能量守恒的角度出发建立刚柔耦合系统的动力学方程,同Lagrange法一样,避免了动力学方程中的内力项,适用于结构比较简单的柔性体动力学方程[6]。Choi等应用Ham⁃ilton原理结合有限元方法对两连杆柔性机械臂进行了动力学建模[90]。Singh应用Hamilton原理结合假设模态方法推导出了双连杆机械臂的动力学方程[91]。Benati和Morro基于Hamilton原理对链式柔性臂杆建立了系统化的动力学推导过程[92]。刘才山等基于Hamilton原理建立起一般柔性体连续系统的动力学方法,并导出考虑刚柔耦合作用柔性梁有限维离散化的动力学模型[93]。Prati⁃her、Esfandiar等也基于Hamilton原理对柔性机械臂建模做了大量研究[94⁃95]。
4 空间机械臂运动学与动力学分析方法
机械臂运动学及动力学分析主要研究机械臂在三维空间中的正逆运动学及动力学特性。在太空微重力环境中,由于空间机械臂安装在漂浮的基座航天器上,机械臂的任何运动都会对基座航天器产生反作用力和力矩,使得基座航天器的位姿发生改变,基座的浮动反过来也会影响机械臂的位置和速度,从而产生动力学耦合现象[96]。不同于地面固定机械臂末端执行器的位姿可由各个关节角(关节空间中)以及机械臂几何参数进行递推描述,空间机械臂末端的位姿不仅要考虑关节角,还要考虑基座的浮动以及动力学耦合[97]。空间机械臂不仅具有通常的机器人运动学奇异点,同时还具有其本身特有的机器人动力学奇异[98]。动力学奇异与空间机械臂的具体运动路径相关,是不能通过机械臂的几何参数事先预测的[99]。因此,空间机械臂的运动学及动力学分析较地面固定机械臂复杂得多。
Longman等基于自由漂浮的空间机械臂开创性地提出一种运动学分析方法,该方法在运动学分析过程中计及了自由漂浮空间机械臂与基座之间的相互作用力和力矩,并结合角动量守恒原理分析计算由于基座浮动造成的关节角度变化以及由于机械臂运动造成的基座位姿扰动[100⁃101]。该方法证明了通过姿态控制机构可使机械臂和基座航天器的控制解耦,并发展一种同时控制机械臂和航天器姿态的运动学方法。Vafa和Dubowsky提出了虚拟机械臂(Virtual Manipulator,VM)的概念用来描述空间机械臂的几何结构,可使运动学方程简化,并将其应用于空间机械臂的正逆运动学分析、工作空间分析、轨迹规划以及简化空间机械臂的动力学方程[102⁃103]。虚拟机械臂是一个与真实机械臂系统的运动学和动力学结构相似的无质量运动学链,其基座固定在整个系统的质心,当系统不受外力时,这个点在惯性参考系不做运动,其第一个臂杆和基座之间的关节是被动的球形关节。但是由于虚拟机械臂模型是理想化的无质量运动学链,只能在计算机上进行仿真而无法进行实体制造用于实验测试。国内刘宏等基于VM方法,构造了自由漂浮空间机器人的等效模型,把自由漂浮空间机械臂避动力学问题转化为避虚拟机械臂的运动学奇异问题,并对加速隐式近似线性规划方法进行了改进,通过减少约束的方法,使得逆运动学算法求解更加高效[104]。
梁斌等提出了动力学等价机械臂(Dynami⁃cally EquivalentManipulator,DEM)的概念,通过对自由漂浮空间机械臂(Space Manipulator,SM)和固定基座机械臂的动力学建模,推导出DEM与空间机械臂的动力学和运动学的等价条件,并通过闭环控制的仿真研究,展示SM和DEM的动力学和运动学等价性[105-106]。Pazelli等基于DEM概念提出了一些非线性控制策略应用于自由漂浮空间机械臂自适应控制器,并通过图形仿真和数值分析比较验证所提出的策略[107⁃109]。From等基于DEM概念提出了一种计算高效且无奇异性的动力学方程,该方法创造性地引入准坐标对球型关节进行描述,取代了常规的欧拉角和欧拉参数[135]。
Yoshida和Umetani将线动量守恒和角动量守恒方程与系统特征方程结合起来,推导出了反映空间机械臂微分运动学的广义雅可比矩阵(Generalized Jacobian Matrix,GJM)[96,111⁃112]。GJM可以看成传统地面上固定机械臂雅可比矩阵的推广,但两者之间存在明显的不同点:GJM不仅与空间机械臂连杆的几何参数有关,而且还与空间机械臂连杆的各物理参数(如质量、惯量)及其位置姿态有关。与VM、DEM相比,GJM具有计算量小的优点。GJM在空间机械臂运动学建模及控制方面具有十分重要的意义,不仅被成功应用于空间机械臂运动速度控制,而且被推广到空间机械臂的分解运动加速控制和转置雅可比控制[113]。GJM是机械臂各关节角位置量和基座姿态角的函数,随着机械臂构型的变化,雅可比矩阵将随之改变。由于机械臂系统这种状态下动力学方程的复杂性,即使在关节空间内动力学方程也不能表示为惯性参数的线性形式。Taira等基于转置的GJM提出了一种空间机械臂的控制方法,并在三自由度自由漂浮空间机械臂上进行了仿真[114]。郭琦等建立了双臂六自由度空间机械臂的运动学模型,推导出了描述机械手末端运动速度与各关节运动关系的GJM,导出的GJM求解公式为显式且易求的解,可直接对GJM表达式中各参数赋值,求出GJM[115]。
Papadopoulos和Dubowsky提出了重心矢量法用于自由漂浮单臂空间机械臂的运动学和动力学分析,该方法将整个系统的质心作为系统的平动点,用重心矢量描述系统的几何构型和质量分布,能将动力学方程中的所有线动量和角动量方程解耦,简化方程[116]。Papadopoulos和Moosavian还将重心矢量法应用于自由飞行多臂空间机械臂的运动学和动力学分析[117⁃118]。之后,Moosavian和Papadopoulos分别将重心矢量法和直接路径法用于多个空间机械臂的运动学建模及动力学方程推导,并做了分析比较,指出直接路径法相比于重心矢量法得到的方程形式更加简单且位置和速度分析计算量要明显少很多[119]。因此,直接路径法更加适合于多臂系统的建模分析,通过推导运动方程,能得到由系统质量矩阵,非线性速度矢量及广义力组成的动力学方程。相较于递归的动力学方程,更容易进行动力学分析及用于控制算法优化。
5 空间机械臂建模分析方法展望
基于空间机械臂动力学建模及分析方法的研究现状,具有以下研究热点和趋势。
5.1 接触碰撞动力学
空间机械臂在轨维护,抓取卫星等都是典型的非连续动力学过程,对柔性多体系统非连续动力学问题进行快速准确求解,精确地预测系统的整体性态,一直是柔性多体系统动力学领域的一个重要挑战。由于接触碰撞过程的强非线性、高度耦合、数值计算困难等特性,目前对这些问题的研究远未成熟[120]。根据不同的碰撞过程假设,处理柔性多体系统碰撞问题的建模方法主要分为:冲量动量法、连续接触力法、接触约束法,但这三种方法各有优势和局限。冲量方法基于碰撞过程中碰撞物体的位形不发生变化的假设基础上,利用动量守恒定律,用冲量(或动量)描述碰撞的不连续过程。Yoo等学者用Kane方法和冲量动量法推到了柔性旋转梁的碰撞动力学方程[121]。华卫江和章定国运用Lagrange方程推导出广义冲量-动量方程结合碰撞恢复系数方程推导出了两个柔性机器人系统发生碰撞的动力学方程[122]。连续接触力法以碰撞力由局部接触变形引起为假设,以弹簧阻尼力元来描述碰撞过程,能方便地求出碰撞力大小。Khulief和Shabana提出了用线性弹簧阻尼模型近似模拟多体系统碰撞的方法[123]。章定国等采用Hertz接触理论和非线性阻尼理论建立接触-碰撞模型,导出了柔性梁含碰撞的动力学方程[124]。Schiehlen等基于非线性有限元理论,基于不同模型对碰撞问题做了大量研究[125]。段玥晨等结合冲量动量法和接触约束法提出一种新的碰撞动力学求解方法[120]。空间机械臂接触碰撞动力学是研究的热点,如果选择合理的数学-力学模型能够准确判断碰撞点以及碰撞过程发生和结束的时间,将对空间机械臂的作业全局研究带来突破性进展。
此外,特别针对非刚性末端执行器接触碰撞问题的研究具有很大的工程实践意义,尤其是对于绳索式末端执行器捕获动力学的研究,是保证对目标载荷成功抓捕的关键,这是一个难点也是一个热点。对于绳索式末端执行器捕获动力学研究的难点主要有两方面:一是对大柔性、大变形特性的绳索结构动力学建模困难;二是捕获目标过程中复杂的接触碰撞,瞬时的非线性接触碰撞力难以测量和计算[126]。机械臂捕获目标分为抓捕前接近、绳索收缩捕获、捕获后锁紧与稳定三个阶段。当前,国内外学者对于捕获接触碰撞阶段的研究很少,Yoshikawa和Yamada结合空间机械臂关节刚度及空间机械臂与目标卫星的碰撞动力学理论,分析了碰撞过程中空间机械臂运动状态对碰撞力的响应情况[127]。陈力等对柔性空间机械臂捕获卫星碰撞动力学进行了分析研究,基于动量守恒关系,分析了接触碰撞过程中接触、碰撞对空间机械臂系统刚性运动和柔性振动状态的影响效应[128]。潘冬等以绳索式末端执行器为研究对象,引入绳索与目标间的非线性接触碰撞力和摩擦力模型,获得了末端执行器捕获动力学模型[126]。石为人等基于空间机械臂操作柔顺接触过程特点,通过等效弹簧阻尼方法,对空间机械臂末端接触力进行了建模与计算[129]。针对非刚性末端执行器接触碰撞问题的研究仍旧是当前的研究热点之一。
5.2 符号化建模
为了提高机械臂操作的灵活性以完成复杂环境下的操作任务,可通过增加自由度数使空间机械臂在完成主要操作时能满足一些附加性能指标或次要操作。Vafa基于虚拟机械臂概念,通过研究六自由度和九自由度空间机械臂对基座扰动为零的条件下的轨迹规划,指出九自由度机械臂可以任意姿态跟踪空间某一轨迹,而六自由度机械臂在跟踪空间某一轨迹时其姿态受其动力学特性影响[130]。增加空间机械臂的自由度数不仅可以提高灵活性,还可以影响空间机械臂的运动学和动力学特性,但是传统空间机械臂建模方式,往往只针对于某特定自由度数某特定构型的空间机械臂,尤其是考虑柔性的刚柔耦合空间机械臂动力学建模,建模过程复杂,计算量大,当需要改变自由度数或改变参数进行拓扑优化或参数优化时,往往需要从头开始建模分析,工作量非常大。如果采用符号化建模的方式,即在方程推导的过程中引入符号运算手段,将机械臂的自由度数、每根杆件的质量、D⁃H表示法所采用的四个连杆参数、杆件的惯性矩阵和质心位置矢量、关节的运动学及动力学变量及柔性体的描述等所有参数都用符号加以表示。基于这些参数,可以推导出表示杆件位姿的齐次坐标变换矩阵、反映杆件运动与关节运动映射关系的雅可比矩阵、杆件的实时运动映射参数以及进行动力学推导所需要的其他复合物理量等,结合柔性多体系统动力学建模方法,可以通过计算机自动推导得到空间机械臂的完整符号化模型。对于通过改变机械臂构型(增加或减少刚性或柔性的臂段,改变密度分布)进行优化,以及机械臂的某些参数不确定需要优化等情形,可以直接通过符号运算进行计算机自动推导计算出优化后的模型。对于空间机械臂优化中的约束处理,可以在符号运算中引入约束方程,推导出空间机械臂完整的优化模型。这对于系统地、批量地研发空间机械臂具有重要的意义,也是空间机械臂动力学建模的重要研究方向之一。
5.3 变特性关节、智能材料臂杆结构建模
关节作为空间机械臂系统的核心部件,通常含有谐波减速器以及力矩传感器等带有一定柔性的元件;同时由于空间机械臂的操作特性,各个关节的限制角,关节特性也有所差异,如关节阻尼,关节非线性等特性。此外,关节中齿轮副的轮齿柔性、啮合阻尼、齿侧间隙等非线性因素对关节特性也有较大影响。为了获得更高的控制精度,执行更加精细的任务,必须在动力学模型中计入关节柔性并考虑上述特性,因此如何建立准确的关节模型也是研究的一个热点。基于Spong提出的线性扭簧模型[131]是目前工程中运用最广泛的模型,但是这个模型忽略了臂杆和转子之间的动力学影响,不适用于高速情形。Zhao等基于La⁃grange方法提出了完整的柔性关节模型,并通过轨迹跟踪仿真验证完整模型与简化模型的区别[132]。于登云等利用集中参数法建立了综合考虑轮齿柔性、啮合阻尼、齿侧间隙、啮合误差等非线性因素的细化关节动力学模型,研究了各级齿轮精度、关节转速和负载对关节动力学特性的影响[133]。同时,针对变特性关节的研究,近年来国内外还出现了对单个关节的双/多电机策略,其中一个电机负责正常的驱动,而另一个电机负责关节特性的改变,如改变关节的柔弹性或阻尼特性。
由于空间机械臂臂杆的柔性效应,在执行任务过程中不可避免的存在弹性振动问题,如何有效地抑制振动一直是学者们研究的热点方向之一。而以压电材料为代表的智能材料的出现一定程度上解决了柔性结构的振动控制问题。张娟等对智能柔性悬臂梁的动力学建模进行了研究,能有效反映实际应用中智能柔性悬臂梁的动力学特性[134]。压电智能材料具有很强的力电耦合效应,将压电材料集成于空间机械臂臂杆形成压电智能结构具有很大的工程价值。对压电智能结构的理论建模研究,主动抑振控制规律研究将是一个重要的研究热点。
6 结语
空间机械臂在太空中发挥着越来越重要的用途,如对接、维护、升级、运输、加油及清理太空碎片等,因此,各国都在不断发展空间机械臂技术。空间机械臂是一个典型的多刚柔耦合多体系统,对其动力学建模首先需要建立合适的坐标体系如浮动坐标系、随转坐标系、惯性坐标系等,然后采用有限元法、集中参数法或假设模态法等方法进行柔性体变形描述,接着利用Newton⁃Euler法、Lagrange法或Kane方法等建立空间机械臂动力学方程,最后用VM、DEM、GJM等方法进行动力学分析。由于空间机械臂与基座之间的动力学耦合,空间机械臂本体的臂杆柔性和关节柔性以及末端操作器与目标负载的接触碰撞等使得空间机械臂的运动学及动力学建模要比固定基座的机械臂复杂得多。由于空间机械臂的低速操作特性及柔性效应,基于浮动坐标系描述下建模具有较佳的计算效率和精度。考虑柔性空间机械臂形状复杂的横截面,采用Lagrange法结合有限元方法不仅可以避免动力学方程出现内力项,提高计算效率而且能对柔性体进行较好的描述。考虑空间机械臂的动力学耦合特性,采用GJM方法更加适合于空间机械臂的运动学及动力学分析。因此经过本文的研究,在浮动坐标系下采用Lagrange方法结合有限元法更适合考虑了柔性的空间机械臂动力学建模,且GJM方法更适合于空间机械臂运动学及动力学的分析以及后续的控制研究。另外,空间机械臂的接触碰撞动力学,符号化建模,变特性关节、智能材料臂杆结构的建模是今后的重要研究方向。
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Review of M odelling and Analysis M ethods of Space M anipulators
ZHENG Qiqi2,TANGQirong2∗,ZHANG Lingkai2,LIJie2,XIE Zongwu1∗,LIU Hong1
(1.State Key Laboratory of Robotics and System,Harbin Institute of Technology,Harbin 150080,China;2.Laboratory of Robotics and Multibody System,Tongji University,Shanghai201804,China)
The current development of the space manipulators both at home and abroad was re⁃viewed.Then the kinematics of spacemanipulators,aswell as the dynamicsmodelling and analysis methods of spacemanipulatorswere introduced.Themainstream approaches for the spacemanipula⁃tor and its multibody system including the multi⁃rigid⁃body,flexible multi⁃body and rigid⁃flexible coupling system were analyzed and their advantages and disadvantages were summarized.It is con⁃cluded that the Lagrange approach combined with the finite elementmethod under the floating coor⁃dinate system is more suitable for the dynamic modelling and analysis of space manipulators with flexibility.
spacemanipulator;kinematics;dynamicmodeling;analysismethods
TP242.3
A
1674⁃5825(2017)01⁃0082⁃16
2016⁃08⁃23;
2017⁃01⁃03
国家自然科学基金(61603277);机器人技术与系统国家重点实验室开放研究项目资助(SKLRS⁃2015⁃ZD⁃03);中央高校基本科研业务费项目(2014KJ032;20153683);“青年千人计划”项目(1000231901);“上海市浦江人才计划”项目(15PJ1408400);“上海市科技创新行动计划”基础重大项目(15JC1403300)
郑棋棋,男,硕士研究生,研究方向为机器人技术。E⁃mail:qiqi.zheng@outlook.com
∗通讯作者:汤奇荣,男,博士,教授,研究方向为机器人技术。E⁃mail:qirong.tang@outlook.com谢宗武,男,博士,副教授,研究方向为机器人驱动与控制、空间机器人。E⁃mial:xiezongwu@hit.edu.cn