关于用初等变换求向量组的极大无关组的方法

摘 要：根据向量的线性相关性的原理，得到求极大无关组的几种常用方法，特别是在用初等变换求向量组的极大无关组的教学中经常出现的问题进行讨论，并给出了相应解决办法。

关键词：向量组 ；初等变换； 极大线性无关组

求向量组的极大线性无关组（简称极大无关组）是学习高等代数或线性代数中必然面对的一个问题。目前，各种版本的本、专科教材分别都有介绍，最常见是按列形成列向量组矩阵A，如果是按行就对行向量组转置，然后对矩阵A进行一系列的初等行变换。或者是对行向量组进行初等行变换，但是，该方法在变换过程中，由于其附带的内容比较多，因此，其变换过程就显得比较烦琐，虽然理论上有一定的意义，但不利于在实践中推广与应用。但有的教材在做法上还很不完善 ，存在一些问题 ，一不小心就会得出错误的结论。为了方便大家的学习，现将目前的一些做法归纳起来，供大家参考。

一、有关初等变换的相关定义

1.在线性代数中，矩阵的初等变换时指以下三种变换

①交换矩阵的任意两行（列）；或

②用一个非零常数k乘矩阵的某一行（列）的所有元素；或

③把矩陣的某一行（列）的所有元素的k倍加到另外一行（列）的对应元素上去；

或

若对矩阵的行（列）施行上述三种初等变换则叫初等行（列）变换。

2.用矩阵初等变换求逆矩阵、解矩阵方程

（1）求逆矩阵：设A是n阶可逆矩阵，

例1 求矩阵 的逆矩阵.

解：

所以

（2）求矩阵的方程

若A可逆，

若A可逆，

例2 设有矩阵方程，求X，

其中

解：由，得

可见A-2E～E，因此A-2E可逆且

二、用初等变换求向量组的极大无关组

对矩阵施以初等变换法求极大无关组，常用方法主要有下列三种模式 ：

模式一：组成列向量组进行行变换

把向量组按列排成矩阵 A ， 对 A 施行初等行变换， 使之化简为容易判断各列向量之间线性关系的阶梯形新矩阵B ， 由B中列向量的极大无关组对应可得A 中列向量的极大无关组， 同时可相应求得其余向量用极大无关组线性表示的式子 。这是因为初等行变换不改变矩阵列向量之间的线性关系，是目前最常用的方法。

例3 求下列向量组的一个极大无关组：

解：

显然，r（A）=r（B）=3，向量组的极大无关组含有3个向量，新矩阵B的三个非零行的首非零元所在列对应的向量构成一个极大无关组。当然，

也是向量组的一个极大无关组。若需将向量用极大无关组线性表示，需要对矩阵B再从下往上作初等行变换，化成最简形矩阵，求得：

故有

模式二：组成行向量组进行列变换

把向量组按行排成矩阵 A 并施行初等列变换， 使之化简为阶梯形矩阵或一个至多再作若干次行交换后就是阶梯形的矩阵 B， 然后再作判断。

设为一组已知的n维非零向量，

其中B是阶梯形或再作若干次初等变换将是阶梯形矩阵。

例 4求下列向量组的一个极大无关组：

显然，r（A）=r（B）=2，向量组的极大无关组含有2个向量，新矩阵B的两个非零行的首非零元所在行对应的向量构成一个极大无关组。

模式三：组成行向量组进行行变换

把向量组按行向量构成矩阵A，再进行初等行变换，使之化简成阶梯形矩阵。但这种方法的可行性、严密性还需进一步探讨，有时结果会产生错误。虽然矩阵的行变换不会改变矩阵的秩，但是交换行会改变向量间的线性关系，比如下面的例子。

例5 求下列向量组的一个极大无关组

由矩阵B可知r（A）=r（B）=3，向量组的极大无关组含3个向量，矩阵B的三个非零行所对应的向量构成向量组的一个极大无关组。但实际上，向量 构成向量组却是线性相关的，因为

显然，故是线性相关的，出现错误的原因，是在解题过程的最后一步，是交换了后两行，才造成了上面的错误。解决办法是不作行交换。因为进行了行交换，就改变了向量的位置，进行多次交换后，很难确定非零行对应的向量。那么，在对行向量组作初等行变换的时不作行交换变换，就不会出现错误了吗？ 再看下面的例子：

例6 求下列向量组的一个极大无关组

显然，r（A）=r（B）=3，向量组的极大无关组含3个向量，矩阵B的三个非零行对应的向量构成向量组的一个极大无关组。在解题过程中虽然没作行交换变换，但还是产生错误，这是因为行交换变换可由多次倍加变换和倍乘变换得到。因此解决方法是，只需要限定倍加变换的方向即可避免行交换变换的发生，要么只能从上到下作行倍加变换，要么只能从下到上作行倍加变换。

重新求解例6

显然，构成一个极大无关组。

综上所述，将向量组以行向量构成矩阵，再用初等行变换将其化成阶梯形矩阵。即可以进行初等行变换，还可以进行初等列变换，作初等行变换时不能进行行交换变换，倍加变换只能按一个方向进行，由于初等列变换不会改变行向量问线性关系，所以在作行变换过程中可以任意做列变换，二者结合起来可以使计算量减小，更加快捷一些。

例7求下列向量组的一个极大无关组

显然，构成一个极大无关组。在解题过程就是先作列交换变换，后作行变换变换，这样可以减少运算量。

参考文献：

[1]张肇炽.关于用初等变换求向量组的极大无关组.高等数学研究， 2003.

[2]吴燕，黄国荣.对矩阵初等变换应用某些问题的探讨，大学数学， 2006.

[3]同济大学数学教研室.线性代数.北京：高等教育出版社 ，2005.

[4]陈文灯，黄先开，曹显兵等.数学复习指导.北京：世界图书出版社， 2006.

[5]同济大学数学教研室.线性代数.北京：高等教育出版社， 2005.

[6]赵树嫄.线性代数.北京：中国人民大学出版社，2004.

作者简介：

张媛（1971—），女，辽宁省辽阳市人，大学本科，副研究员，研究方向：计算数学。endprint