豪斯道夫微积分和分数阶微积分模型的分形分析

摘要： 清晰解读豪斯道夫微积分和分数阶微积分阶数的分形维意义，并比较这2种微积分建模方法的区别与联系.这是首次清晰定量地导出分数阶微积分的分形几何基础.提供豪斯道夫导数模型描述历史依赖过程的几何解释，即初始时刻依赖性问题，并与分数阶导数模型对比.基于本文作者的早期工作，详细描述非欧几里得距离的豪斯道夫分形距离定义——豪斯道夫导数扩散方程的基本解就是基于该豪斯道夫分形距离.该基本解实质上就是目前广泛使用的伸展高斯分布和伸展指数衰减统计模型.

关键词： 豪斯道夫导数； 豪斯道夫微积分； 分数阶微积分； 非欧几里得距离； 结构距离； 豪斯道夫分形距离； 基本解

中图分类号： O39； O241.8

文献标志码： A

0 引 言

分形几何[1]在科学与工程中广泛而深入的应用需要相应的微积分建模工具.20世纪80年代发展起来的分形分析方法[2]是这方面的理论尝试，但其数学表达复杂，难以用于实际问题的建模.近年来非常流行的分数阶微积分方法与分形几何的内在联系，理论上研究得还不是很清楚，尤其是有关的定量分析不成熟.[34]

本文作者[5]引入了豪斯道夫分形导数，近年来已成功用于水利学、蠕变、松弛、核磁共振、反常扩散、经济学等问题[611].豪斯道夫导数的基本概念数学上非常简单，是一个局部算子，比非局部的分数阶导数计算量大幅度减少.从豪斯道夫导数扩散方程能够直接推出目前广泛使用的伸展高斯分布和伸展指数衰减，后者也被称为非德拜衰减、伸展松弛或KohlrauschWilliamsWatts（KWW） stretched Gaussian，其统计力学基础非常清晰，与分数阶导数的列维分布和MittagLeffler函数（本文简称ML）衰减的统计背景完全不同.[12]

最近的研究发现豪斯道夫导数与俄罗斯TARASOV[13]和美国LI等[14]学者分别提出的分形导数方法实质上是等价的[15]，但他们的研究基本围绕着空间分数阶导数展开.目前，豪斯道夫分形导数方法的研究和应用还很不成熟，主要问题有：（1）豪斯道夫导数与分数阶导数的区别与联系缺乏深入的分析；（2）豪斯道夫微积分的数学基础理论还不是很清楚.

对以上所提的几个问题，本文尝试做一些探索研究.第1节引入豪斯道夫分形距离的概念，基于豪斯道夫分形距离给出豪斯道夫导数微分方程的基本解，建立豪斯道夫导数方法的非欧几里得距离理论；第2节从基本定义出发，分析豪斯道夫与分数阶微积分的区别与联系及其分形几何基础；第3节从几何坐标源点依赖性、历史依赖和非局部性等问题出发，解释豪斯道夫导数模型的物理意义；最后，第4节讨论若干有待研究解决的问题.

1 豪斯道夫分形距離和豪斯道夫导数扩散方程的基本解

引入一维空间和时间的豪斯道夫分形时空距离[5]

式中：α为时间分形维；β为一维空间的分形维.很明显，式（1）定义的非欧几里得距离是基于分形不变形性和分形等价性的2个假设得到的.[5]BALANKIN等[10]进一步给出一般的三维分形距离，豪斯道夫分形距离是其中一个特例.

式中：β是三维各向同性空间的分形维.当β=1时，式（2）的豪斯道夫分形空间距离回归到经典的3维欧几里得距离.如果设定初始时间t0=0，一维问题源点坐标xj=0，那么豪斯道夫分形距离定义式（2）简化为式（1）.

豪斯道夫导数[5]定义为

文献[5]给出一维问题豪斯道夫导数扩散过程的基本解.三维豪斯道夫导数扩散方程为

式中：H为亥维赛阶跃函数.[5]式（5）的右边指数项就是科学与工程中广泛应用的伸展高斯分布.由式（5）可知，豪斯道夫导数扩散方程式（4）的基本解刻画伸展高斯分布对应的统计扩散过程.伸展高斯分布概率密度函数是扩散基本解的核函数.当α=β=1时，式（5）的豪斯道夫分形距离基本解回归到经典的整数阶欧几里得距离扩散方程基本解[16]，描述经典菲克扩散（正常扩散）过程粒子运动的高斯分布特征.

下面本文考虑仅含有时间豪斯道夫导数的扩散方程

这里的常数C由初始条件确定.式（7）就是文献中经常出现的伸展指数衰减.当α=1时，豪斯道夫导数模型解就退化为经典整数阶扩散方程的德拜指数衰减.

可以证明，豪斯道夫导数拉普拉斯方程、波方程、Helmholtz方程、对流扩散方程等也满足豪斯道夫分形距离基本解.本文不再详细讨论.

此外，用结构函数[17]替代式（1）和（2）豪斯道夫分形距离定义中的幂函数，就得到刻画非幂律函数的一般分形（结构形）[18]的结构距离.

式中：G和Q分别为时间和空间结构导数中的结构函数.BALANKIN等[10]的分形距离定义实际上也包括式（8）的定义.运用以上结构距离就能直接得到局部结构导数扩散方程的基本解.

2 豪斯道夫微积分与分数阶微积分及其与分形的内在联系

为不失一般性，考虑一个颗粒等速沿一维曲线按分形时间运动[19]，运动距离与时间的关系式为

式中：l为距离；v为均匀速度；τ为当前时间；t0为初始时刻；α为时间分形维.如果速度不均匀，则相应的豪斯道夫积分为

由式（10）可以得到相应的豪斯道夫导数表达式

比较式（3）和式（11）这2个豪斯道夫导数定义，注意到其唯一的差别就是后者包含初始时间而前者假设初始时间为0，因而后者是更加一般的表达.

式（9）所表达的颗粒运动在τ时刻的位置也可由式（12）计算.

式中：t为终点时间.式（12）右边第一项是颗粒总的运动距离，第二项代表从τ时刻到终点时刻t要运动的距离.如果不是等速运动，对式（12）做τ变量的一阶微分运算，有

式中：Г为欧拉伽马函数，是一个归一化常数.不考虑式（15）积分号前面的这个归一化常数，则式（15）和（14）完全等价.此外，经典的RiemannLiouville分数阶导数的定义可以很容易地由分数阶积分式（15）对变量t求导数获得.

根据以上分析可知豪斯道夫微积分和分数阶微积分与分形维数有内在的定量本质联系，即时间豪斯道夫微积分和分数阶微积分的阶数就是研究对象的时间分形维数α.

从时间分形的角度分析，豪斯道夫微积分和分数阶微积分是相反的过程，前者从初始时刻逐步推进，而后者是由结束时刻反向递推.从时间历程分析看，两者有某种反向对应关系.

另一方面，豪斯道夫微积分是一个局部算子，分数阶微积分是非局部算子，因此即使两者都是用来描述分形过程的，对应的统计过程也完全不一樣，是2个不同的微积分算子.此外，豪斯道夫导数方程的几何基础是非欧几里得的豪斯道夫分形距离，而分数阶微积分的几何基础仍然为欧几里得距离.两者的统计力学背景也完全不同，豪斯道夫导数扩散方程模型描述伸展高斯分布和伸展指数衰减的扩散[5，12]，而分数阶导数扩散方程刻画列维稳态分布[21]和ML衰减的扩散[12，22].指数衰减、伸展指数松弛与ML衰减的比较见图1.

由图1可见，经典的整数阶扩散模型对应的指数衰减最快，被认为没有记忆和历史依赖性，分数阶导数对应的ML衰减最慢，豪斯道夫导数模型对应的伸展松弛衰减介于两者之间.

空间豪斯道夫微积分与分形的内在联系可用类似方法分析.考虑一个分形维为β的杆的纵向振动，由牛顿第二定律有

式中：x0为杆的一个端点坐标（一般可设置为0），杆长方向为x轴坐标；u为杆变形位移；dx为杆的一个微段长度；dm为相应杆微段的质量；P为单位面积沿x轴方向所受的弹性力；S为杆的截面面积.若ρ为杆的密度，则有

根据胡克定律，弹性力P与应变成正比

3 几何物理解释

分数阶微积分是非局部算子，因而与经典的整数阶算子相比最显著的特征就是能够描述空间非局部和历史依赖（记忆）问题.局部的豪斯道夫导数也能够描述非高斯非马尔科夫过程，尽管这两种算子的描述有本质的区别，但作为局部算子，为何豪斯道夫导数模型能够描述非局部行为是一个重要的基础问题呢.

历史依赖过程或记忆问题，在某种程度上就是初始时刻依赖.注意式（2）中的初始时刻项，发现

所有α≠1的豪斯道夫时间导数模型的解均依赖于初始时刻的设定，这与经典整数阶局部导数模型本质上不同.不同初始时刻t0的设置对伸展指数衰减的影响见图2.

图2清楚地显示不同初始时刻设置对豪斯道夫

时间导数扩散模型的伸展指数衰减的影响，初始时刻的值越大，衰减得越慢.另一方面，图2也表明经典的指数衰减不受初始时刻设置的影响.

不同初始时刻t0的设置下伸展指数衰减与ML衰减行为比较见图3.很明显两者都受到初始时刻设置的明显影响，而且初始时刻的值愈大，衰减得越慢.

4 讨 论

本文首次定量地给出分数阶微积分的分形几何基础，比较豪斯道夫微积分和分数阶微积分的区别与联系；给出豪斯道夫导数扩散方程描述历史依赖过程的几何解释，即初始时刻依赖性问题.这些工作为豪斯道夫微积分的应用提供明确的几何背景.此外，本文详细地介绍作为豪斯道夫微积分几何基础的豪斯道夫分形距离的定义，并由此分析豪斯道夫导数扩散方程的基本解.

下面是6个有待深入研究的问题：

（1）空间分数阶微积分的分形几何分析.

（2）豪斯道夫微积分和豪斯道夫分形距离的时空坐标必须为正值，否则豪斯道夫距离有可能为复数值.实际应用中注意原点坐标的选择，满足时空坐标为正值的要求并不难，但有关的理论解释有待研究.

（3）本文所提的工作与结构形[18]和结构导数[17，23]有密切的内在联系，这方面进一步的工作会很有意义.

（4）基于豪斯道夫分形距离的径向基函数方法可用于数据重构和图形处理、数值解豪斯道夫微分方程、神经网络和向量支持机.

（5）基于豪斯道夫分形距离也可以发展非局部的豪斯道夫微积分.

（6）时间豪斯道夫导数的力学模型及其数值仿真相对比较成熟，而空间豪斯道夫导数模型的工程应用不多，特别是有关的数值仿真还很少.

致谢：本文三维豪斯道夫分形距离扩散方程基本解的证明和图1～3的制作得到蔡伟博士的帮助，在此表示感谢.

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（編辑 武晓英）