《概率论与数理统计》课程教学的探索与实践

顾丽娟+张术东+董超

摘要：结合多年的《概率论与数理统计》课程的教学实际，就如何根据飞行学员的数学基础教好概率论与数理统计这门课程阐述自己的一些探索与实践.

关键词：概率论与数理统计；飞行学员；随机现象

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）27-0148-02

《概率论与数理统计》是海军空间科学与工程专业飞行学员必修的课程，该课程为飞行学员传授后续专业课学习和解决工程实际问题所必需的基本数学工具，进而提高飞行学员的数学素养、培养学员的创新精神、增强飞行学员分析和处理军事领域存在着大量的随机问题的能力。一方面，《概率论与数理统计》不同于《高等数学》、《线性代数》等课程，它是研究随机现象规律性的一门学科，在理论和方法上有其独特的风格。另一方面，飞行学员的数学基础比较薄弱，平时需要进行高强度的体能训练，在自习时间上相对紧张。这些都使得大部分学员们普遍反映这门课程比较难学，学员考试及格率相对偏低。针对这些实际情况，结合教学实践与理论思考，我就如何根据飞行学员的数学基础教好概率论与数理统计这门课程给出几点看法。

一、掌握概率论与统计的思想实质

在现实世界中存在两类现象：确定性现象和随机现象。《高等数学》、《线性代数》等课程是研究确定性现象的数学分支，有其鲜明的特殊性。《概率论与数理统计》的研究对象是随机现象，这种现象不能用“因果关系”加以严格控制和准确预测，也不能用一些简单的定律加以概括，而需要从大量观测中综合分析找出规律性[1，2]。在概率论中，人们总是通过研究随机试验来研究随机现象的。所以，探讨随机现象中隐藏的规律，实际上就是探求随机试验的规律，在具体授课中，教员要引导学员认识概率论和统计学研究的对象以及概率论与数理统计的关系：概率论与数理统计是数学科学的重要分支，概率论是数理统计的基础，数理统计是概率论的应用。它们都以随机现象的统计规律性为研究内容，其理论和方法已经广泛地应用于自然科学、社会科学和工程技术等众多领域。

二、系统分析教材与教学内容

《概率论与数理统计》课程选用教材为新编的飞行学员系列教材之一，教学内容为一至八章，可以分成五个部分。

第一部分“随机事件及其概率”是教材的第一章，它不仅是概率论部分的基础，也是整个课程的基础。这一部分的主题就是计算随机事件的概率。无论是事件的关系和运算、古典概型、几何概型，还是条件概率、全概率公式、贝叶斯公式，独立性，都是围绕事件的概率计算进行的。在这个过程中，关键的因素是复杂事件的分解，事件分解的目的是通过简单事件的概率得到复杂事件的概率。加法原理、乘法原理、事件的关系和运算正是分解复杂事件的有力工具，掌握这些知识点是正确计算概率的前提。古典概型、几何概型、条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式则提供了计算概率的途径，教学中要使学员熟练掌握这些知识。不能正确地把复杂事件表示为简单事件的集合运算，从而不能得出正确的事件概率是许多学员常犯的错误。

第二部分“随机变量及其分布”由教材中第二章和第三章组成，这是本课程核心部分。随机变量概念的引入，使得研究随机事件的概率问题在数学方法上跃上了新的台阶，即从初等运算变为微积分运算。本部分是第一章的深入，也是第四章和数理统计的基础。随机现象的统计规律性可以通过随机变量的概率分布反映出来，要研究统计规律性，就必须研究随机变量的概率分布。从一维到多维的变化，与高等数学中一维到多维的变化一样，体现了从有限到无限的转变过程中，有些正確的结论可能不正确了。确定随机变量的概率分布是本部分内容的主题，围绕这个主题，先讨论了一些常见的概率分布，然后介绍了利用已知分布求未知分布的分布函数法，后者是本课程的难点。

第三部分“随机变量的数字特征”研究和讨论随机变量隐含在概率分布中，但不能由分布立刻观察到的特性，在某些情形下，这些特性反映了事物的本质。本部分的计算与数学分析密切相关，离散型随机变量的数字特征计算就是级数运算，连续型随机变量的数字特征计算就是积分运算。数学期望和方差的性质及计算是这一章的重点，对相关系数概念的理解及应用是本章的难点。切比雪夫不等式是大数定律证明的基础，在许多场合有重要应用。矩是最一般的概念，期望、方差、协方差、相关系数都是特殊的矩。同时，矩也是随机变量函数的数学期望。

第四部分“大数定律及中心极限定理”从理论上解释了频率的稳定性，也说明了把正态分布作为最主要分布来研究的合理性。本章是数理统计的理论基础，整个数理统计学的三块基石，有两个出自这一章。因而这部分知识起承前启后的作用。新的课程标准中，第四章增加了特征函数一节，其目的就是为了给出大数定律的完整证明，使学员对这部分知识的理解有一定的深刻性。

第五部分数理统计学包括第六到八章，数理统计学是一门应用性十分广泛的学科，它研究如何以有效方式收集、整理、分析带有随机性的数据，并做出判断和预测，为决策者决策提供依据。第六章“样本和抽样分布”介绍了常见统计量的三大分布和四个抽样分布定理，这是统计推断的基础，是学好是数理统计的关键。第七、八两章讨论了统计推断的两种基本形式——参数估计和假设检验，寻求估计量的方法和估计量的优良性准则，假设检验的基本思想是本部分内容的重点，而对假设检验中两类错误的理解和检验中犯两类错误的概率计算则是难点。由于数理统计的许多计算可以在计算机上实现，所以在教学上对这部分内容采取的策略是重在讲清思想和讲透原理。

在讲授中，教员要抓住横向和纵向两条主线，纵向是指五大部分这些概念发展的主线，横向是指随机变量的各种特性及它们之间的关系和实际背景。在本课程众多的知识点好比珠子，教员只有提炼教学内容，掌握主线，才能有一根主线穿起这些珠子，传授给学员。

三、改进与优化教学设计

1.《概率论与数理统计》课程以数学分析、高等代数与空间解析几何为基础，研究随机变量的概率分布及其应用，这个特点往往误导教员在授课过程中注重用纯数学教学形式，对相关的理论证明和相关结论进行详细的推导，从而忽视了应用性练习的重要性。繁复和抽象的证明不仅会使授课过程枯燥难懂，影响到飞行学员的学习兴趣，而且会使他们的学习重点落在严密的理论证明上，弱化了理论知识的实际应用，也加大了学员学习《概率论与数理统计》课程的难度。而《概率论》学科的起源也源于解决实际问题[3]。因此，结合的教学实际，教员在课程设计上应当“轻理论，重应用”，进而改进和优化教学设计。“轻理论”是指教员适当地弱化理论推导和复杂的证明，“重应用”是指应当充分利用课堂教学的有限时间，重点培养学员掌握基本公式和方法，从应用的角度体会概率论数理统计的数学思想和方法的美妙之处，并逐步将这些思想和方法应用到实际问题中。

2.適应院校转型需要，增加应用性强，尤其是军事素材的教学内容，在知识的深度和广度方面加强教学，培养学员“用数学”的能力。实际教学中，在例题讲解、补充习题等方面增加许多军事素材的内容。例如，一艘潜艇上所有艇员的身高是一个随机变量，潜艇舱门设计者就很关心全体艇员的平均身高，也需要了解艇员身高与平均身高的偏离程度，数学期望就是描述随机变量取值的平均大小，方差就是度量这个偏离程度。军事实例的引入使得学员加深了对概率统计思想的理解，培养学员“数学就在我们身边”的思想，从而提高学员学习数学的积极性，提高分析和处理随机问题的能力，也促进了飞行学员全面和谐发展，为胜任具体工作奠定了基础。

军事领域存在着大量的随机现象，认识和把握其规律性，是飞行学员在执行飞行任务和日常工作中做出正确决策的基础。在新时代军事环境下，军校教员更应该认真思考如何上好《概率论与数理统计》这门应用性课程。教员一方面要把握概率与统计的思想实质，另一方面要结合学员实际情况，一定要因时、因景、因反馈及时调整教学策略，实现教学效果的最优化，保证教学目标的顺利完成。

参考文献：

[1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].第4版.北京：高等教育出版社，2008：1-10.

[2]梁之舜，邓集贤，杨维权，等.概率论及数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2005：1-5.

[3]朱家生.数学史[M].北京：高等教育出版社，2004：121-127.

Abstract：With our teaching practice for many years on the curriculum of "Probability Theory and Mathematical Statistics"，we give some advance and teaching method to solve the actual problem that student pilot in mathematic have weak foundation.

Key words：probability theory and mathematical statistics；student pilot；random phenomenon