概率论中几个事件之间的联系与区分

杨彦琴++王娜

摘要：对事件之间的关系理解与掌握是学好概率论与数理统计的基础，本文主要从概率论中几个易混淆事件及其概率做了区别与联系，起到对概率论与数理统计的教学有帮助。

关键词：概率论与数理统计；事件；区别；联系

概率论与数理统计课程在我校是经管类、理工类专业学生的一门必修课程，也是全国研究生入学考试内容之一，在学习概率论与数理统计这门学科时涉及到很多的基本概念，尤其是对于初学者来说在第一章会遇到对几个事件之间的关系区分有所困难，导致遇到实际问题无法解决。本文主要从概率论中几个易混淆事件及概率：不可能事件与概率为零的事件；互斥事件与相互独立事件；条件概率、无条件概率与交事件的概率做研究，探究他们之间的联系与区别，在教学时应注重对它们概念之间的详细讲授与区分。

一、不可能事件与概率为零的事件

在学到概率密度函数时会遇到若 为离散型型随机变量， 为任意常数，则 ，若 为连续型随机变量， 为任意常数，则 ，说明 但是{ }是可能会发生的事件，且在前面也学过 ，即不可能事件的概率为零，概率为零的事件不一定是不可能事件，很多同学刚学时对这部分内容理解起来有困难，认为概率为零即事件发生的可能性为零，事件怎么可能会发生呢？ 在指导学生解题时经常会遇到这样的问题： ，学生会认为A与B互斥。

一般情况下用定积分的几何意义去解释，积分区间趋于零，值趋于零。对任给 ，总有

令 ，得上式右端趋于零。所以 。

这里的概率为零分为两种情况：1、概率恒为零的事件：概率恒为零，说明不管试验多少次，事件总是不会发生，这类事件是不可能事件2、概率趋于零的事件：比如抛掷一枚硬币一次，币值面向上的概率为 ，当抛掷无穷多次时，每次都是币值面 向上的概率为 ，像这样的事件就是概率趋于零的事件，但抛掷无穷多次时每次都是正面向上却是一个可能会发生的事件。事件的概率是对事件发生的可能性大小描述，概率值大，即事件发生的可能性大，概率值小，即事件发生的可能性小.概率趋于零称为零概率事件，但是是可能会发生的事件，只是发生的可能性趋于零。

二、互斥事件与相互独立事件

两个事件A，B互斥指的是A，B不可能同时发生，即 ，两个事件A，B相互独立指的是A，B中一个事件的发生与另一个事件发生的概率无关，即 。两事件独立与两事件互斥这两者之间没有必然联系。在教学中，发现学生对他们之间的关系不清楚。一般情况下，互斥的事件是一个系统内的两个事件，这两个事件没有共同的样本点。而相互独立的事件是两个系统的两个事件，从概率的角度看为一个事件的发生与另一个事件发生的概率无关，且 且由条件概率的公式 推出 ，同理也可推出 ，它表示一个事件的发生并不影响另一个事件的发生。

例如：某年级有两个班，共有85人，其中一班有40人，男生人数为10人，女生人数为30人，二班有45人，男生人数为15人，女生人数为30人，又设 为“抽到的是第i班男生”， 为“抽到的是第i班女生”， ，现从中任意取出一名同学。

这里 与 为两个系统的事件，相互之间没有影响，这两个系统之间的事件相互独立，所以 与 相互独立， 与 相互独立。 为同一个系统的两个事件，且两者之间没有交集， ，所以 与 互斥，同理 与 互斥。互斥与独立是两个不同属性的概念，他们之间没有必然的联系。

三、条件概率、无条件概率与交事件的概率

条件概率是概率论中很重要的概念之一。在初学时容易将条件概率、无条件概以及交事件的概率相混淆。设A，B为两个随机事件，从概念上理解交事件P（AB）指是A，B同时发生的概率，条件概率 P（A|B）是在事件B发生的条件下事件A发生的概率，无条件概率P（A）指的是在没有任何条件下事件A发生的概率。设n：样本空间 中基本事件的总数， ：事件A包含其中k个基本事件，从概率运算上理解无条件概率： ，条件概率： ，交事件的概率： ，发现 和 样本空间都是 ，所包含的的基本事件数不一样， 与 所包含的基本事件数一样，而 的样本空间缩小为B，这三者之间的区别很显然。

例 某年级有两个班，共有85人，其中一班有40人，男生人数为10人，女生人数为30人，二班有45人，男生人数为15人，女生人数为30人，现随机的抽取一名同学。

由上例，并设A为“抽到的是男生”，B为“抽到学生来自一班”，易知n=85， =25，事件AB为“指抽到的是来自一班的男生”，它所包含的基本事件的个数 =10，所以P（A）= ，P（AB）= ，而P（A|B）= ，事件B发生的条件下，样本空间包含的总的基本事件数缩减为40，即为B所包含的基本事件数。

结论

对这三个典型问题结论的理清可以考验学生对概念的理解程度，只有理解了遇到问题就不会陷入困扰之中，从概念归纳出问题所属类型直接掌握概率论这门课程。教学时，用上述方法把这三个问题讲解清楚，让学生容易理解和掌握各个概念，使学习更有效率，增强学生的学习兴趣。

参考文献：

[1]肖海霞 胡政发 喻方元，概率。论与数理统计中几个易混淆概念的教学方法[J]，赤峰学院学报（自然科学版），2015，11.

[2]朱秀娟 概率统计问题150题[M].长沙：湖南科学技术出版社，1982.

[3]申兰珍 对为什么概率为0的事件不一定是不可能事件的解释[J]，唐山高等专科学校学报.

[4]吴赣昌，概率论与数理统计（第四版）[M]中国人民大学出版社，2011