(2+1)维广义Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程的所有单行波解的分类、表示及分叉行为

杜兴华

( 东北石油大学 数学与统计学院，黑龙江 大庆 163318 )

(2+1)维广义Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程的所有单行波解的分类、表示及分叉行为

杜兴华

( 东北石油大学 数学与统计学院，黑龙江 大庆 163318 )

利用多项式完全判别系统法，求出(2+1)维广义Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程的所有单行波解的分类和表示(包括新解)，显示参数变化导致的分叉现象，从局域运动转变到周期波动，体现模型丰富的物理内涵。

多项式完全判别系统； 行波解； 广义Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程； 分叉现象

0 引言

求解非线性发展方程的精确行波解是非线性科学中的主要课题，已发展出来反散射法[1]、Backlunud法[2]、Darboux变换法[3]、延拓法[4-5]、Painleve分析法[6]、 Lie群法[7-8]、 Tanh函数法[9]。刘成仕提出多项式完全判别系统法[10-14]，即通过化所求方程为初等积分形式，利用多项式完全判别系统构造非线性发展方程的精确行波解，可以求得多种非线性发展方程丰富的精确行波解。对于某些非线性发展方程，可以得到所有单行波解的分类，其中包含其他方法得不到的新解。笔者利用多项式完全判别系统法，研究(2+1)维广义Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff(GCBS)方程[15-17]，求出GCBS方程的所有单行波解的分类和表示，其中包含新解，同时讨论解的物理意义及物理模型丰富的动力学行为。

1 单行波解分类

考虑(2+1)维广义Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff(GCBS)方程

αuxt+βuxuxz+δuzuxx+uxxxz=0,

(1)

式中：α≠1；β、δ为任意非零常数。

式(1)是由Bogoyavlenskii O I利用Calogero F建议修改的Lax格式构造的，是Schiff J利用约化规范场论中的Yang-Mills方程得到的[18-20]。当令α=4，β=4，δ=2时，式(1)变成Bogoyavlenskii-Schiff方程；当α=4，β=8，δ=4时，式(1)变成(2+1)维Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff(CBS)方程。如文献[15]利用广义Riccati方程展开法获得一些精确解；文献[17]构造无穷序列类孤子新解。

对式(1)做行波变换

u(x,z,t)=u(ξ),ξ=kx+lz-ωt。

(2)

将式(2)代入式(1)得到非线性微分方程

-αkωu″+βk2lu′u″+δk2lu′u″+k3lu(4)=0。

(3)

对式(3)进行关于ξ积分得

‴=c1,

(4)

式中：c1为积分常数。

做变换

ν=u′,

(5)

将式(5)代入式(4)并积分得

(6)

式中：c0为积分常数。

做变换

(7)

则式(6)变成

(8)

令

F(w)=w3+d2w2+d1w+d0,

(9)

其中

(10)

将式(8)化为初等积分

(11)

式中：ξ0为积分常数。F(w)完全判别系统为

(12)

根据三阶多项式完全判别系统Δ和D，分为四种情形讨论。

情形1Δ=0，D<0，F(w)=0有一个二重实根和一个单重实根，即

F(w)=(w-α1)2(w-α2),

(13)

式中：α1、α2为实常数，且α1≠α2。对式(11)进行积分得

(14)

(15)

如果w>α2，则式(6)的精确解为

(16)

(17)

(18)

情形2Δ=0，D=0，F(w)=0有一个三重实根，即

F(w)=(w-α1)3。

(19)

式(6)的精确解为

(20)

情形3Δ>0,D<0,F(w)=0，有三个不同的实根，即

F(w)=(w-α1)(w-α2)(w-α3),

(21)

式中：α3为实常数，且α1<α2<α3。式(12)变为

(22)

当α1

(23)

当w>α3时，式(6)的精确解为

(24)

情形4Δ<0,F(w)=0有一个实根和一对共轭复根，即

F(w)=(w-α1)(w2+pw+q),

(25)

式中：p、q为实常数,且p2-4q<0。式(12)变为

(26)

当w>α1时，式(6)的精确解为

(27)

定理 式(1)的所有单行波解的分类：

(1)如果ν1(ξ)是式(6)的解，那么式(1)的行波解为

(28)

(2)如果ν2(ξ)是式(6)的解，那么式(1)的行波解为

(29)

(3)如果ν3(ξ)是式(6)的解，那么式(1)的行波解为

(30)

(4)如果ν4(ξ)是式(6)的解，那么式(1)的行波解为

(31)

(5)如果ν5(ξ)是式(6)的解，那么式(1)的行波解为

(32)

(6)如果ν6(ξ)是式(6)的解，那么式(1)的行波解为

(33)

(7)如果ν7(ξ)是式(6)的解，那么式(1)的行波解为

(34)

式(28-30)为孤波解，表示能量在无穷远衰减的波动现象，类似于量子力学中局域波函数，表示粒子运动的一种局域现象。式(31)是有理解，也在远处衰减，但是没有式(28-30)衰减的迅速，表示一种较大范围的局域效应。式(32-34)是椭圆函数解，表示周期的波动现象。

对于不同的参数，式(1)解的形式是完全不同的。特别是当判别系统的值达到临界点时，解开始发生分叉现象，从局域运动转变为周期运动，体现模型丰富的动力学行为。

2 单行波解实现

(35)

(36)

当α<0时,式(1)的行波解为

(37)

(38)

(39)

当w>0时，式(1)的行波解为

(40)

(41)

3 结束语

利用多项式完全判别系统法，将(2+1)维广义Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程化为积分形式，利用三阶多项式完全判别系统，求出方程的所有单行波解的分类，其中包含其他方法没有得到的新解，如式(32-34)。 在不同等参数条件下解是可以实现的，根据解的分类，对于不同的参数选取，解的形式发生变化，即发生典型的分叉现象，从局域运动到周期运动变化，显示模型丰富的物理内涵。对于不同的环境条件，模型显示不同的物理图像，比一般的动力系统相图法更简单直接。

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2017-05-02；编辑：任志平

国家自然科学基金项目(11375030)

杜兴华(1969-)，女，硕士，教授，主要从事数学物理方面的研究。

O192； O189.1

A

2095-4107(2017)03-0111-06

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2017.03.012