构建基本模型，举一反三

刘东

摘 要：本文从一道复合场经典例题出发，通过改变条件，演变出各种相关模型，旨在提升学生的知识迁移能力和建模能力，体验物理模型的巨大作用，更深刻地理解一题多解和一题多用。

关键词：复合场；基本模型；一题多用；建模能力

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2017）6-0028-3

近些年的高考题不断的推陈出新，将许多生活中的现象与物理知识相结合，加深了试題的难度，相当一部分学生处理起来总是比较吃力。其实根本原因在于学生的建模能力不够，不能快速地从物理现象中提炼出物理模型，导致无从下手、毫无思路的现象出现。因此，我们在高三复习过程之中必须强调基本模型的作用，同时要让学生学会从一个模型（一道题）入手，引申出与此相关的模型（题型），提升知识之间的联系，做到举一反三。本文从一道复合场经典例题出发，通过改变条件，演变出各种类似的相关模型，希望借此提升学生的知识迁移能力，使学生不仅仅局限于题目本身的问题，并能延伸到与此相关的各类题型，加深对知识的理解和应用。

1 题目及解题过程

本题是重力场和电场的复合场中的经典例题，题目如下：

例1 如图1所示，一条长为l的绝缘细线，上端固定在O点，下端系一质量为m的带电小球，将它置于一个足够大的匀强电场中，电场大小为E，方向水平向右。已知当细线离开竖直方向的偏角为α时，小球处于平衡状态，重力加速度为g，求：

（1）小球带何种电荷？带电量多少？

（2）若使细线的偏角增大到β，然后将小球由静止释放，则β应为多大时才能使小球到达竖直方向的最低点时速度恰好为零？

解析如下：

（1）如图2，由受力分析可知，电场力水平向右，因此小球带正电，由平衡条件有：qE=mgtanα

则小球带电量q=

（2）可按常规解法求解，如图3所示，从B点到C点过程重力做正功，电场力做负功，由动能定理有mgl（1-cosβ）-qElsinβ=0

代入q可求出β=2a

我们仔细分析小球的受力情况，发现小球在恒定的重力和电场力以及一直都不做功的绳子拉力作用下运动，与单摆运动类似，单摆在恒定的重力和不做功的绳子拉力作用下运动，运动特点具有对称性：关于运动中的最低点左右对称。对小球在最初的平衡位置A时进行受力分析，将重力和电场力等效为一个力mg'=，也就是等效重力，于是就可以等效为一个单摆运动。根据单摆运动的对称性，可知A为其平衡位置，也就是所谓的“最低点”，于是有当β=2a时释放小球，它到达最低点时速度恰好为零。

这里用到了等效的思想。等效法是把复杂的物理现象、物理过程转化为简单的物理现象、物理过程来研究和处理的一种科学思想方法，它是物理学研究的一种重要方法。在中学物理教学中，合力与分力、合运动与分运动、总电阻与分电阻、平均值、有效值等，都是根据等效概念引入的。常见的等效法有“分解与合成”、等效类比、等效替换、等效简化等，从而化繁为简，化难为易。可以使物理问题的分析和解答变得简捷，而且对灵活运用知识，促使知识、技能的迁移，都会有很大的帮助。

2 延伸与拓展

在解决完本题的两个问题后，我们可就近拓展出几个相关问题，加深对本题的理解和迁移能力的训练和培养。

拓展1：上题中，若α很小，小球的摆动可视为单摆，则其振动周期多大？

解析：小球相当于在等效重力作用下的简谐运动，根据单摆的周期公式T=2π（其中l为摆长，g为当地的重力加速度）可知等效单摆运动的周期公式为T=2π。这样不仅解决了小角度情况下复合场运动的时间问题，还对前面的简谐运动的知识进行了一定的复习，有了更深入的理解和掌握。

拓展2：在悬线偏离竖直方向α角小球静止时剪断绳子，且给小球一个垂直于悬线方向的初速度v0，小球会做什么运动？

解析：绳子剪断后，小球在等效重力的作用下，具有一个与等效重力垂直的初速度v0，与平抛运动几乎完全相同，因此小球会做类平抛运动，轨迹为抛物线。

拓展3：如图4所示，在悬线偏离竖直方向α角小球静止时，突然给小球一个垂直于悬线方向的初速度v0，要使小球恰能做圆周运动，v0应为多大？

解析：分析这个问题时，我们首先要分析清楚小球恰能做竖直平面内的圆周运动，与例题第2问的分析一样，用等效重力场的知识来处理问题就会简洁明了。物体只在等效重力和不做功的绳子拉力作用下运动，与竖直平面内的轻绳模型完全一样，过最高点的临界条件是在最高点速度为。因此，本题中的“最高点”为与A关于圆心对称的D点，在这点速度为vD=。于是我们可以根据动能定理求出在A点的速度，求解过程依然用等效重力的思想。

从A到D有 -2mg'l=mv-mv

解得：v0==

本题用等效重力的知识很快地就求解出答案，思路清晰，计算简便。如果用常规方法，分别去计算重力和电场力所做的功，一方面两者位移不同，另一方面过程复杂容易出现计算错误，而且物理思想与等效重力场相比就差了很多。这样处理之后，一方面对力学中竖直平面内的圆周运动进行了一定的复习，另一方面加深了对相关知识的理解和运用，知识和方法都上了一个台阶。

拓展4：将小球移至O点的左方且悬线恰好水平拉直，然后静止释放小球，试分析小球的运动情况。

解析：如图5所示，将小球移至O点的左方且悬线恰好水平拉直，根据受力分析（依然采用等效重力的思想）可知，在等效重力的作用下，不需要绳子提供拉力（绳子拉力是被动力，根据需要产生），因此小球会沿直线FG运动，直到绳子拉直。在沿直线FG运动过程之中，由于只受到恒力mg'的作用，因此小球一直做匀加速直线运动，在G点速度达到最大。到达G点后绳子绷紧，沿着绳子方向的速度突变为零，垂直于绳子方向的速度不变。之后就沿着圆弧做圆周运动。

在这里，我们还可以引申出很多问题，比如，求出在G点的速度的大小，从F到G所用时间，在G点绳子绷紧瞬间绳子拉力的冲量的大小，绳子绷紧后瞬间拉力的大小，小球运动到A点时速度的大小，之后能运动到右侧的最大距离等等。如果学生能顺利地求解出这些问题，那么对竖直平面内圆周运动涉及到力、动量、能量的知识又会有更加深刻的理解和掌握，对复合场的认识更加清楚，就能真正理解和掌握复合场的所有问题。

在本题的处理以及拓展研究过程之中，我们着重强调了等效的思想，将平衡类问题、单摆问题、平抛运动、圆周运动扩展到了复合场中的平衡问题、类单摆问题、类平抛运动、类竖直平面内的圆周运动。一方面迅速准确地求出了所求问题，另一方面加深了对以前所学知识的理解和前后知识的联系与沟通，站在一个更高的角度来看物理，对整个中学物理的逻辑关系和知识脉络有了一个全新的认识，达到了书由厚到薄的过程。

3 总结与归纳

通过对上述问题的分析和讨论，学生对复合场中带电粒子的运动会有更加深刻的理解和掌握，同时多种题型放置在一起，通过对比，找出区别，对于学生分析问题的能力和处理问题的方法以及迁移能力都有一个较大的提高。

在牛顿力学里面我们有很多基本模型，比如连接体问题、板块问题、传送带问题……；在曲线运动中，有圆周运动（水平面的圆周运动，竖直平面的圆周运动）、平抛运动、类平抛运动、单摆运动……；在动量能量中，有碰撞类问题、弹簧类问题、板块类问题……；在电场和磁场中有复合场问题。这些综合性的问题都有一些基本的经典例题，每个例题我们都可以引申出各种不同的变换。在复习过程之中，我们应该有意识地将这些模型反复应用，多加一些变化，达到学生熟练掌握、灵活运用的目的。

在整个高三复习过程中，我们都应该注意一题多用、一题多解。每个题目都可以从不同的方面进行理解，这样一方面有助于学生真正理解和掌握知识，另一方面培养了学生的建模能力。当他们在遇到生疏的题目的时候，就能根据已经学过的知识和题型迁移过来，进行对比，就能迅速找到题目的切入点和突破口。这样，才能真正培养学生的能力。

（栏目编辑 李富强）