中国古代杰出的布衣数学大师刘徽

甘志国

刘徽（约公元3世纪），由于资料所限，其籍贯身世、生卒年月则无可详考，只能根据不多的一些记载断定他是魏晋时代淄乡（今山东临淄或淄川一带）人。刘徽是中国数学史上一位伟大的数学家，在世界数学史上也占有杰出的地位。他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国宝贵的数学遗产。

《九章算术》约成书于东汉之初，是由国家组织力量编纂的一部官方性数学教科书，对两汉时期数学的发展产生了很大的影响。它不仅在中国数学史上占有重要地位，对世界数学的发展也有着重要贡献。

《九章算术》共叙述了246个问题的解法。在解方程组、分数四则运算、正负数运算、几何图形的体积面积计算等许多方面都位于世界前列。但是，有些解法比较原始，并且缺乏必要的证明。

刘徽于魏景元四年（公元263年）注《九章算术》九卷，并撰《重差》（作为《九章算术注》的第十卷，唐初单行，改称《海岛算经》）、《九章重差图》（已失传）各一卷。刘徽在《九章算术注》中对许多重要数学概念给出了严格的定义，并对《九章算术》中的公式和解题方法作出证明、论述或修正，显示了他多方面的创造性。完成了齐同术理论并推广到用齐同术去求几个分数的平均值，解释衰分术，解“均输”、“盈不足”和“方程”等问题。阐明了图验法和綦验法。证明了《九章算术》中勾股数组的一般公式为1/2（m²-n²），mn，1/2（m²+n²）。在中国数学史上第一次提出了“不定方程”问题，论述了“五家共井”问题有若干组解。在线性方程组的解法中，他创造了比直除法更简便的互乘相消法（与现今解法基本一致），提出方程组解法的理论根据，得出互乘相消法及“方程新术”。

在算術方面，他是世界上最早提出十进制小数概念的人，并用十进制小数来表示立方根的近似值。在开方不尽的问题中提出“求徽数”的思想，该方法与后来求无理根的近似值方法一致，这不仅是圆周率精确计算的必要条件，也促进了十进制小数的产生。他还发现了比例定理。

在代数方面，他给出了等差级数前n项和公式，提出并定义了“幂（面积）”、“方程（线性方程组）”等许多数学概念。

在几何方面，指出通过牟合方盖解决球体积的正确途径。提出了“割圆术”，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法，利用割圆术正确地求出了圆周率的两个近似值157/50（=3.14），3927/1250（=3.1416），在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”及用无穷小分割证明阳马和鳖膈的体积公式均可视为中国古代极限概念的佳作。

刘徽还提出了许多公认正确的判断作为证明的前提。他的大多数推理、证明都合乎逻辑，十分严谨，从而把《九章算术》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基础之上。虽然刘徽没有像欧几里得（Euclid，公元前300年左右）的《几何原本》一样写出自成体系的著作，但他的《九章算术注》所运用的数学知识，实际上已经形成了一个独具特色、包括概念和判断、并以数学证明为其联系纽带的理论体系。

刘徽在《海岛算经》中对“重差术”进行了研究，精心选编了9个测量问题，编写成“重差”章，这些题目的创造性、复杂性和代表性，在当时都为西方所瞩目。

刘徽的治学思想，也倍受世人推崇。首先，他有孜孜不倦的学习态度，从《九章算术注》的序中所言“徽幼习九章，长再祥览”可见一斑。其次，他钻研学术严谨、求实，讲究“析理以辞，解体用图”，“约而能周，通而不黩”。对别人的错误绝不姑息，自己不懂也实言相告。另外，在数学教学方面，他善于启发，主张“告往而知来，举一隅而三隅反”；还告诫后学者要抓住关键、提纲挈领。

刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生。他终生未曾做官，故称为“布衣”。但他人格高尚，治学严谨，堪称楷模，万世师表。他给我们中华民族留下了宝贵的财富，不愧是中国古代一位杰出的布衣数学大师。endprint