公倍数与最大公倍数
2017-07-06张彤
张彤
应用创新点
本节课围绕着尾巴重新接回的5个动画游戏的情景，利用白板软件强大的交互功能，解决“是什么”，“为什么”，“怎么求”3个数学大问题。课堂容量大，效率高，抽象的数学概念变得清晰了。
学生在4个小动画游戏中猜测、验证、探究尾巴重新接回的次数的过程中，不是简单重复，尤其是第三次学生亲手动手操作交互软件，提高了小组合作的效率，解决“是什么”大问题，知道了尾巴重新接回的次数就是两个数的公倍数和尾巴第一次重新接回的次数就是最小公倍数的概念。
面对4组数据，深入思考“图形的边数不相同，转的次数满足什么条件，尾巴就接回呢？”，体验到了探究的乐趣，解决了“为什么”的问题。举例说明生活中应用实例如浇花时间，几种果树结果时间，体会到了生活中到处都有数学。
在第5个动画闯关游戏中，掌握求两个数的公倍数和最小公倍数的方法，找出两个互质数，倍数关系的最小公倍数的2种特殊类型规律，动画游戏“抗击海盗”体会到了数学好玩。第2次的“闯关游戏反馈”主要体现了“及时学习”、“即求即应”的互动学习模式，“玩”游戏变成了“学”数学。
让学生自主探究游戏活动背后的数学原理，师生通过三次游戏活动，得到四组数据，这时，学生隐约感觉游戏背后有规律、有诀窍、有奥秘，教师顺势让学生以小组为单位去讨论、交流、汇报、质疑，最终找到奥秘。整个学习过程中，学生真正地成为自主探究的实践者、问题发现和解决的学习者。
教材分析
教学内容：人教版小学五年级下册第四单元相关内容（教科书P68-69）
教材对于理解公倍数与最小公倍数的意义尤其是对解决问题的应用，比较抽象，不利于建立对概念的理解。新课程标准要求教材选择具有现实性和趣味性的素材，采取螺旋上升的方式，由浅入深地促使学生在探索与交流中建立公倍数与最小公倍数的概念。在此之前，学生已经了解了整除、倍数、因数以及公因数和最大公因数。本节课的重点应放在学生对公倍数的概念的认识上也为今后的通分、约分学习打下的基础，具有科学的、严密的逻辑性。
学情分析
本节课是在学生已经对因数、倍数和最大公因数有了较深的了解的基础上，进一步来学习几个数之间倍数的关系。确定教学重点“公倍数与最小公倍数的概念建立”的理由是：《标准》中要求4—6年级的学生能找出10以内任意两个自然数的公倍数与最小公倍数，因此，学生的学习内容应该是现实的、有意义的、富有挑战性的；其次，有效的数学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上；再者，结合教学内容特征，创设富有生活情趣的问题情境，利用学生的生活经验与知识背景，鼓励学生解决简单的实际问题，激活学生的数学思维，提高解题技能。
教学目标
知识与技能目标：
让学生充分经历公倍数与最小公倍数概念的产生过程，激发学习兴趣，建立概念，掌握找两个数的最小公倍数的基本方法，掌握求有特殊关系的两个数的最小公倍数的方法。
通过解决实际问题，使学生初步了解两个数的公倍数和最小公倍数在现实生活中的应用。
过程与方法目标
学生亲历猜想、动手操作验证、记录过程。学生根据观察数据，培养学生数感，提高数学素质，正确理解公倍数和最小公倍数的概念，探究找公倍数的方法，会利用列举法等基本方法找出两个数的公倍数和最小公倍数。
情感态度与价值观目标
学生在充分经历公倍数概念的产生过程，感受到数学学习的快乐。学会用数学的眼光观察生活，多角度的思考问题。积极参与对数学数学问题的探究过程，体验到学习数学的快乐和价值。
教学环境与准备*
微机教室，一人一机 准备鸿合白板软件、PPT、小动画、网页
教学过程
一、游戏导入，猜想、验证
（1）猜想
今年是鸡年，有一个跟鸡有关的游戏，想玩吗？（白板演示播放小动画）
请看，这是一个正六边形和一个正方形！正方形也可以说是正四边形。接下来我们就用这两张图片来玩游戏。我把正六边形固定不动，让正四边形绕正六边形按一个方向转动。你们注意到没有，当正四边形开始转动的时候，里面这一只可爱的傲骄大公鸡的尾巴——（断开了！）
我想请大家来猜一猜，从这个时候接着算，会不会有那么一个时刻，尾巴又能重新接来回了，你来猜一猜得转动几次？
同学猜（6次，9，次，24次，12次，18次），到底是几次？怎么才能知道？
我来转，你们大声数！
（2）验证 白板演示播放小动画1
师：刚才转到第几次重新接回？（12次。）
如果继续转，看看转到第几次，图形才能恢复正常状态，尾巴还能重新接回？（24））
只有这一种答案吗？继续转动下去到第多少次，尾巴还能重新接回？（36...）
我們把刚才的活动记下来。
师板书：6、4：12 24 36 ...
这个游戏好玩吗？
（设计部意图：游戏情景导入，猜想公鸡尾巴重新接回的次数，在播放动画验证中也为下面的几个环节进行了铺垫。通过做尾巴重新接回的游戏，把知识融进生活，吸引学生。《数学课程标准》中要求：“要培养学生的数感，数感中重要的一点就是能用数学思想、从数学的角度来解决生产、生活中的问题。”在游戏中使学生考虑到这里面有数学因素，这就是一种数学意识，通过这个游戏使学生感受到我要通过数学方法来解决问题，我觉得这无形中提高了学生的数学素养。）
（3）学生操作亲历猜想、验证、记录过程。
这么好玩的游戏，你们想不想自己来玩一玩？ 下发操作动画文件
请看屏幕。动物变了，更重要的是——图形也变了。
转动几次，尾巴又能重新回复常态？ 来看看谁猜对了？
你们以小组为单位，也像刚才那样，先猜，再转，最后将数据填在表格里。开始！
设计意图：
其实是齿轮的原理让我想起了这个多边形转动的游戏，，学生不知道用公倍数的知识来解决它，所以第一次很容易猜错，没有关系，我想学生在课堂上没有问题，没有矛盾那这堂课的价值又如何体现呢？通过孩子们的动手操作、小组合作，他们慢慢的会发现，其实就是用最小公倍数的知识来解决问题。第一次猜错，很容易激起学生的强烈猜第二次的欲望，这次游戏不是简单的重复，从多边形的边数看，第一次选择的是6和4，既不是倍数关系也不是互质关系，第二次选择的是8和5，是互质的关系；重新接回的次数看，先是12次，比较小，后是40次，比较大；在电脑上操作节省时间。
（4）数据汇总
随机展现学生小组的操作过程，教师监控学习过程
操作结束，教师直接将数据分别展示在“教师机的桌面上” 播放学生的过程、动画4
6，4：12、24、36、……
8，5：40、80、120、……
8，4：8、16、24、……
5，4：20、40、60、……
（5）驗证
师生共同验证，并记录数据。白板演示播放小动画2
刚才认真的看了同学们的记录，我发现各小组数据都是一样的，我已经把它显示出来。
设计意图：这两组多边形的边数，也是有意设计，一组是5和4，是互质关系，一组是8和4，是倍数关系，看了前面教师作了两次示范，并且对小组怎么玩作了比较细致的要求和说明。第三次玩这个游戏是以小组的形式进行的猜了，又亲自动手玩了！这样有利于学生从多种不同情况的接回次数中去归纳发现奥秘。
二、操作中的新发现，引出公倍数和最小公倍数的概念
1.提出问题
我们总共玩了三次尾巴重新接回的游戏，得到了这样一些数据。（师将数据整理到屏幕上。）
下面我们来研究研究，为什么转动这么多次，这是一种偶然的结果呢？还是一种有规律的结果？
2.小组讨论
先请大家在小组内说一说，我们再请小组代表来汇报。
学生小组讨论，师时而巡视时而参与学生的讨论。
3.汇报交流：
你能不能结合数据说说你们的发现？
师：你又有什么发现？
（两个数的公倍数都是最小公倍数的倍数，没有最大的公倍数...）
师：两个数有这么多的公倍数，你觉得哪个最重要？为什么？
（最小公倍数，知道了最小公倍数就可以求出其他的公倍数。 ）
生举例，师将学生举例的数字圈起来。屏幕批注、漫游扩大版面
生：两个图形边数乘起来，能够得到其中一个重新接回的数字。
师：你能不能也像刚才那位同学一样，结合电脑的数据来说明？（展示学生在桌面上的说明过程）
生：比如说12、24、36，都是尾巴重新接回的次数，然后呢，12既是6的倍数又是4的倍数，24是6的倍数，也是4的倍数，36也是6的倍数和4的倍数。
其它组数据也是一样的，40是8的倍数也是5的倍数，80是8的倍数也是5的倍数，120是8的倍数也是5的倍数。
师：这是他们小组的发现，你们对他们的发现有什么看法？你还有什么疑问吗？
学生可能会问：如果边数多的图形围着边数少的图形转，那也会是这样的数据吗？
（以公鸡为例 演示反转的动画）
4.引出公倍数和最小公倍数的概念
同学们，通过刚才大家的讨论和汇报，看来尾巴重新接回的次数与图形的边数有关。
同学们，像这样的数，同时是两个数公共的倍数，在数学上叫——公倍数！
那黑板上这么多的公倍数，你们觉得哪一个最重要？为什么？
（指着公倍数中最小的那些）像这样的数，在公倍数中是最小的，它们就叫——最小公倍数。
师：原来，尾巴重新接回的次数就是多边形边数的边数的公倍数，第一次接回就是边数的最小公倍数！
师：原来尾巴重新接回有这样数学奥妙！
设计意图：用重复来突出教学重点和难点还是很有必要的。费尽千辛万苦之力揭开了尾巴重新接回的奥秘，同时也就引入了公倍数和最小公倍数的两个概念。让学生用举例的方式来作补充说明，这种学法指导，指导学生在表达自己的观点的时候要尽量用举例的形式来佐证 。小组讨论后要选小组代表来汇报交流，先选一个典型错误的小组代表来汇报，可以更多地展示知识的形成过程，更多地照顾到中后进学生。
三、自主探究，尝试求两个数的最小公倍数。
那如果现在还让你们玩这个游戏，有把握吗？
比如说8边形和6边形，我们要知道8边形和6边形至少转动几次尾巴重新接回，其实就是求8和6的——最小公倍数。
请在电脑中，把你们找8和6的最小公倍数的过程写下来。
学生在白板软件上操作，
老师用电脑监控学生的解答过程。
老师用电脑监控学生的解答过程
交流时向全班同学转播一学生的做法。
向全班同学转播一学生的做法
师：你来说说你是怎么找8和6的最小公倍数的。
生：答……
师：为了让大家看得更清楚，我把他的想法在屏幕上再演示一遍。
老师课件演示学生的做法。
刚才老师发现还有一种很特别的做法，老师在屏幕上展示，看看你们能不能看懂？）
PPT课件演示另一种做法
他的做法其实就是先依次将6的倍数写下来，看看它是不是同时也是8的倍数。6的第一个倍数6不是8的倍数，12不是8的倍数，18不是8的倍数，24是8的倍数。这样24就是8和6的最小公倍数。
师：同学们真聪明！能够积极思考，灵活变通，开拓创新出这么多求最小公倍数的好方法，真是不简单哪！我们在计算的时候可以根据情况，灵活应用。
设计意图：学生代表汇报后教师又作了课件演示，这是学生第一次学习找两个数的最小公倍数，有必要先学后教，但教师还得要教。教师用课件演示找最小公倍数的过程和方法，学生静静地看不说话，过后再让学生说说是怎么找到的，能凝聚注意，提高效率。
四、巩固提升
下发动画游戏
1.试着闯关，找到求最小公倍数规律是阻击海盗强有力的武器，闯关开始！
2.你能找出闯关武器——规律吗？
第一次是闯3关。
每一关随机出10道题，每关时间限制在1分钟之内。第一关是两个大小数有倍数关系，第二关是互质的两个数，要求学生输入算式正确结果，电脑最终出示练习成绩。
第三关是不互质的两个数，快速解答较难，引起学生思考：“有没有更简便的方法？”
3.1分钟后统计第一关闯关结果，有闯关成功的吗？你拥有的武器是什么？
如果没成功，看第一组“海盗”有什么特点？ （两个数是倍数关系）
再闯一次，你肯定成功！
第二次闯关。
设计意图：学生与多媒体计算机的交互技术和实时作业反馈技术是整合的亮点，是表现在学生的“学”上，“闯关游戏反馈”主要体现了“及时学习”、“即求即应”的互动學习模式，这也是本课对信息化学习的一点探索和尝试。
五、举例联系生活，帮助学生理解公倍数的概念
同学们，我们通过玩尾巴回复常态的游戏，认识到了两个新的概念，公倍数和最小公倍数。那么，你们能否用举例的形式说明什么样的数是两个数的公倍数？
生：24是6的倍数，24也是4的倍数，24是6和4的公倍数。
师：谁还再来举出生活中应用最小公倍数的例子？
3路汽车：每隔6分钟发一次车；5路汽车：每隔8分钟发一次车，这两路汽车同时发车后，过多少分钟两路汽车还会同时发车。
（2种浇花同时浇的时间、2种果树同时结果的时间）
设计意图：举例是理解概念的一种基本方法！学生举的都是数字例证时，老师举了两个生活实例作为补充。
六、总结全课
看来同学们掌握得不错。那么关于公倍数和最小公倍数，大家还有什么问题想问的吗？
其实老师也有一个问题。如果边数多的图形围着边数少的图形转，这个问题，就请大家课后去思考、去讨论、去探究！今天这节课就上到这里。下课！
