数学建模在应用型本科“线性代数”教学中的应用探索

鲁 鑫

（营口理工学院电气工程系 辽宁·营口 115014）

数学建模在应用型本科“线性代数”教学中的应用探索

鲁 鑫

（营口理工学院电气工程系 辽宁·营口 115014）

2014年我国提出将50%左右的高校转型为培养应用型人才的高校，应用型高校以教学为主，培养的是社会急需的专业型技术人才。本文从应用技术型高校的线性代数的教学现状出发,探讨将数学建模思想方法融入线性代数课堂教学，介绍数学建模在应用技术型高校线性代数教学中的作用及经典的数学建模应用于线性代数教学的例子，为线性代数的课程改革提供思路。

数学建模；线性代数；数学建模案例

1 数学建模

人们学习知识的本质是为了解决工作、生活中的实际问题，数学建模正是这样一个非常好的工具，它首先将工作、生活中的实际问题进行抽象、简化，然后利用数学知识、数学语言将实际问题“翻译”成数学式子，也就建立了数学模型，然后再利用数学知识，以及应用一些数学软件如MATLAB,SPSS, LINGO等对所建立的数学模型进行求解，解决后用生活的语言对所求得的结果进行总结，并在实践中对所得的结论进行检验，如果合理即证明所建立的数学模型是正确的，如果与实际偏差较大，则说明对模型的简化不合理，要对模型进行修改，直到建立模型所得的结论能够通过实践检验为止。

全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届。它的发展速度非常迅猛，到2016年，来自全国33个省/市/区(包括香港和澳门)及新加坡的1367所院校、31199个队 （本科28046队、专科3153队）、93000多名大学生报名参加该项竞赛。中国高等教育学会会长周远清教授对该竞赛给予非常高的评价，称其是“成功的高等教育改革实践”[1]。李大潜院士在2005年呼吁在数学类课程中融入数学建模的思想和方法[2]。全国大学生数学建模竞赛的赛题一般来源于工程技术和管理科学等方面的经典问题，再将其经过适当简化加工成竞赛试题，参赛者是不同专业的学生，所以很多题目是学生没有接触过的问题，这就需要参赛者有很强的自学能力，通过查阅资料了解赛题的相关知识，能够有效提高学生的自主学习和获得新知识的能力。数学建模竞赛要求学生根据问题，运用数学知识建立数学模型。这样能够培养学生的发散思维和创造力。另外建模要求学生要将问题的建模过程、求解过程、模型解释用论文的形式提交，这可以大大提高学生科技论文的写作能力。

如果能够将数学建模的思想和方法融入到线性代数的教学课堂，不仅能够提高线性代数的教学质量、提高学生的学习主动性和学习兴趣，而且对数学建模本身也有很好的促进作用。因此，研究如何将数学建模思想方法融入线性代数课堂教学以及建模内容融入线性代数课堂具有重要意义，其融入的方式方法是本文的主要研究内容。

2 应用型本科“线性代数”教学的现状

线性代数课程是目前我国高等院校是一门是非常重要的基础理论课，它在培养学生逻辑思维能力、解决抽象问题的能力、计算能力方面有非常重要的作用，同时，线性代数的知识在学生今后学习、工作的诸多方面包括在经济管理、线性规划、图论、图像处理技术等有广泛的应用。但线性代数大多数院校规定的学时非常少（只有32学时），因此，大部分院校的线性代数课堂只能够完成教学任务，教学内容以及教学形式都是一成不变的。教学上基本都是教师讲解抽象的理论知识，很难涉及到知识在实际中的应用。又由于应用型本科院校所招的学生以二本生为主，学生的整体学习素质不高，学习基础不牢固，学习主动性不强，对于线性代数一类的基础课学习兴趣和动力不足。

目前，国内大部分线性代数的教材注重理论知识的传授，教材的主要内容包括行列式、矩阵、方程组、向量、特征值、特征向量、二次型等几个部分。课本中关于线性代数的理论及其推导都介绍的非常详细，具有非常强的逻辑性，但缺少线性代数在实际应用中的案例。大多数院校的线性代数教学也是以理论性教学为主，线性代数的教学课堂上，教师占主导地位，课堂“满堂灌”，教师按照大纲要求讲解抽象的数学定义、引理和定理，以及抽象的题目，全是数学知识的传授及其逻辑推导，这样的教学方法使得学生在学习时只是机械、枯燥的计算，很难和知识的实际应用结合起来，对知识单纯的死记硬背，不能深刻理解知识的内涵达不到融会贯通的学习目地，更找不到学习的乐趣，导致学生认为该门课堂没有用，只为是为完成学分而学，不考研根本用不上。为改变这种“教”与“学”得不到很好配合，教学效果不佳的教学现状，需要对现行的线性代数课堂教学进行改革。

3 数学建模对应用型本科“线性代数”的教学的促进作用

3.1 将数学建模引入课堂能够促进学生学习“线性代数”的兴趣

历年的数学建模的试题都来源于实际生活，例如“最优化问题”人们在实际生活中都有一种优化思想，例如，外出办事选择一条最短的路线，再如，一个企业要投资生产一种新的产品，如何规划才以最小的投入获取最大的利润呢？类似的问题还有很多，而要求解此类问题,就要用到线性代数,线性规划和最优化等数学知识,这种与生活和今后工作密切相关的问题同时还能够引起学生学习的主动性和学习的兴趣。

例如，在讲解矩阵乘法和逆矩阵知识时可以给学生讲解密码问题如下：

26个字母与数字1～26建立1-1顺序对应的编码规则如下：A-1,B-2,C-3,…,Z-26.想要发送信息ANSWER，按照编码规则，只需发送代码1、14、19、23、5、18共6个代码即可.接收信息的人按照已知的编码规则，就可以根据代码的内容译出发送过来的信息.但是，这种做法已经不能保证信息的安全性了，在一个长消息中，密码破译者根据数字出现的频率，来估计它所代表的字母，很容易破译这样的信息.这样，我们可以利用矩阵乘法对所要传送的消息进一步加密.例如,按上面确定的编码规则，发送信息ON TIME.

首先将要发送的信息按照字母的顺序两两分成一组，即

根据编码规则，每组字母都对应一个向量，即

其次任取一个二阶可逆矩阵，如选取，

下面用矩阵A左乘上面每一组列向量，即

因此只要发送代码：44、29、49、29、31、18即可.收信息者只要将收到的信息按照原来的顺序两两组成一个列向量，再分别左乘以A-1，即

最后再根据编码规则，重新调整字母的顺序，就可以知道发送过来的信息的内容。

通过经典例子的讲解，可以使学生更容易体会线性代数知识在解决实际问题中的用途。增加了学习兴趣，同时也消除了数学知识无用的观点。下表中列出了一些将数学建模思想融入线性代数教学的经典例子。

表1 在线性代数中融入数学建模的经典例子

3.2 将数学建模引入课堂能够培养学生的团队精神和合作意识

数学建模的参赛是以3人小组组成一队的模式参赛，想要在建模竞赛中取得良好的表现，这三个人分工和合作是非常重要的，在整体建模以及形成作品的过程中需要3个人分工明确且通力合作。通过建模的过程能够培养学生明确分工、通力合作的团队精神，这种精神在未来的学习甚至工作中都是非常重要的。

3.3 将数学建模引入“线性代数”课题能够促进任课教师的自我提升

要将数学建模的思想和方法融入到线性代数的课堂中，不仅要求任课教师对课程的理论知识能够熟练掌握、良好讲授、更要了解线性代数解决工作、生活中实际问题的精典例子，这就要求教师要不断的自我提升、进行科学和教学的研究，了解最新的技术和新应用，把知识更新传授给学生。

结束语：

将数学建模思想方法融入到线性代数教学，能够培养学生用数学知识解决实际问题的能力，同时还能够提高学习兴趣、增强学生的学习主动性，显然是线性代数教学改革行之有效的方法。同时，也要注意到，如何将数学建模思想方法与线性代数的教学内容和教学目标有机的融合，这种融合应当循序渐近，同时还要注意融合的结合点要恰如其分，这都需要不断的摸索和积累，仍需要广大数学教师的共同努力。

[1]袁红.尝试数学建模发展学生数学应用能力——从西方国家小学数学建模教学的一则案例谈起 [J].外国中小学教育,2009 (5)：56-61.

[2]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].工程数学学报,2005,22(8)：3-7．

[3]鲁鑫等.技术应用型高校“线性代数”课程改革与探索[J].中国冶金教育,2015,6：1-3.

[4]David C Lay.线性代数及其应用[M].沈复兴,傅莺莺,莫单玉等译,北京：人民邮电出版社,2009．

[5]刘国志等.线性代数及其MATLAB实现[M].同济大学出版社,2016.

责任编辑：张克柱

审 稿 人：程家超

G642;O151.2-4

A

1009-8534（2017）03-0148-02

鲁鑫，营口理工学院讲师，理学硕士，研究方向：高等数学教学改革研究。