线段图不应被视为“鸡肋”

徐映+郑惠庆

人教版《数学》教材十分注重对学生学习能力的培养，编者介绍了许多解决数学问题的辅助手段，而画图则是其中十分重要的一种。在三年级上册《解决问题》的两个例题中，教材引导学生由示意图过渡到线段图辅助解题，但第二个例题中线段图的绘制和使用却显得有些“鸡肋”。实际教学调查显示，很多学生不采用图示分析也能顺利解答归总问题，线段图似乎成了教学中可有可无的部分。于是在教学中就面临“图示教学有什么重要作用”“图示教学为解决问题提供了什么帮助”等问题的探讨。

那么，线段图在《解决问题》教学中究竟有没有作用呢？笔者以《解决问题》一课的例题二教学为例，谈谈自己的思考。

一、借助线段图预测结果，可以更好地培养学生的数感

课文中的例题内容如下：妈妈的钱买6元一个的碗，正好可以买6个。买9元一个的碗可以买几个？在画图时，学生为了确保线段图表示题意的准确性，需要对线段的画法与长短做出判断，而这个判断的过程正是对学生数感的培养过程。学生在画出一条线段表示碗的总价钱后，需要将线段平均分成6份表示每个碗的价格。有的学生选择将线段总长画为6厘米，平均分成6份，每份1厘米。有的学生根据数的特征发现：如果教师在黑板上画60厘米也很容易平均分成6份。以此类推，学生们触类旁通想到了54厘米、48厘米等等，更清晰了数量之间的关系，也进一步培养了数感，对于6的倍数有了更清楚的认识。还有的学生想到了将线段先平均分成2份，再把每份平均分成三份，这是对数“6”的进一步剖析。

之后，学生需要画一条线段表示9元。学生想到“表示9元的线段应该比表示6元的线段长一些”。此时，教师顺势提出“应长多少”的问题，以培养学生的数感。学生在思考的过程中需认真分析9和6的关系，“9比6多3，而3又正好是6的一半，所以应该比表示6的线段长它的一半”。学生以数促图，又以图明数，加深了对于9就是一个半6的理解，线段图画出后又促进了数感的形成。

线段图画出后，学生即可对答案进行初步感知，并预测到答案的范围。学生推测“9元一个的碗所买个数一定比6元一个的碗要少”，有的学生结合线段图还能清晰地说出自己的推理过程：“如果9元一个的碗买6个，每个都比6元贵，线段总长就会变长，总价变多，而题目要求总钱数不变，所以不可能买6个，更不可能比6个多了。”这样的猜测在线段图上可以很直观地观察出来。

在画图、看图、预测等活动中，学生经过细致观察与分析，数感得到了进一步提高。学生学会了根据数据的倍数关系选择线段总长及平均分的方法，学会了根据数据大小及倍数关系的特点正确截取线段长度，学会了根据线段图对可能结果进行猜测。培养数感是一个庞大而不易的工程，借助线段图培养数感是一种很有效的途径。

二、借助线段图，学生叙述题意、解析每一步算式的意义时，思维表达更有序、更清晰

学生在分析数量关系和解决问题表达思路时，可借助线段图。数形结合可帮助学生理清思路，降低表达难度。用线段图的辅助，学生的思维表达更有序、更清晰。

归总问题题意的理解、关键隐藏信息的寻找及数量关系的正、逆向运用对于学生的思维要求很高。部分学生会附和他人，却不是真正理解意义。这部分学生能列出算式，是因为就学生现阶段掌握的知识来说，算式和计算的合理性会给他一定的提示，但对每个算式的含义理解却并不透彻。有的学生说出了自己的理解，可是若有错误想要纠正却苦于没有载体而无法说清，而线段图的出现消除了这些困扰。

借助线段图，学生将能更好地表述题意，也能让听者更清楚叙述者的意思，两者之间有了一个沟通的桥梁。借助线段图，每一步的意义看得见也摸得着。描述题意的学生讲哪里指哪里，突出自己要表达的重点。线段图中，上下两条线段清楚地展现了总价钱相同前提下的两种不同购买情况，“总钱数不变”在线段图中显得十分清晰和突出。学生在叙述“6×6求得的是什么”时在图中能找到“6×6”这个算式及积的意义，可以感受到“单价×数量=总价”的数量关系，同时也能找到“6×6”的积所表示的“总价钱36元”不仅在第一条线段里有，在第二条线段中也有。接下来，借助线段图对“36÷9”的意义叙述则让学生感受到了“单价×数量=總价”的逆向运用。对学生来说，这样具体的载体无疑是一个很好的帮手，学生们的表述不再那么的艰涩。

在这样一个过程中，学生的思路被图引导着慢慢理清。在“先求什么，再求什么”的讨论中，有的学生是从信息入手思考问题，有的则是从所要解决的问题入手思考，而这两种情况借助线段图表述时指向是正好相反的，一种是从第一条线段说起顺藤摸瓜，一种是从第二条线段说起追根溯源。借助线段图把分析法和综合法这两种思考方式及其逆向性具体形象地呈现了出来，这对学生来说比用文字叙述更能让人接受。

三、借助线段图，可以更好地训练学生的逆向思维，检验问题答案

结果的检验对于学生来说是逆向思维，难度较大，学生们对于检验总是缺乏耐心，对其作用理解得也不够深刻。有了线段图的帮助，可清晰展现检验的逆向思维过程，对于各个思维层次的学生来说应该都有所收获。

本课将检验过程的起因设置为，妈妈得到求出的答案后进行反思：“真的可以买4个吗？”这体现了检验的逻辑价值，激发学生想尽办法想向“妈妈”证明我们解答的正确性。检验的方法很多种，教师将其中的两种通过课件用线段图的形式展现，帮助学生把自己的想法在线段图上用不同的方法表达出来，清晰而又明了。

学生们想到，“6元一个的碗买6个要花36元，9元一个的碗买4个正好也是36元。总价钱不变所以答案是正确的。”这种方法是借助还原隐藏信息“总价钱不变”来检验的。学生们也想到了：“9元一个的碗买4个共36元，而这36元用来买6元一个的碗正好可以买6个。所以答案是正确的。”当学生恢复出6个6元时，这题的检验过程也顺利完成了。

这两种检验方法选择了题目原有的不同信息进行还原，是对原题的一次逆向思维。使用动画手段在线段图中进行展示，可以对逆向思维有一次感性认识，这胜过教师的千句万句。

四、借助线段图，可更清楚地观察数量间的关系，展现数学思想

数量关系是数学学习的核心内容，数学思想是数学学习的灵魂。本课例中清晰地展现了“当总钱数不变时，单价越低数量越多”的函数关系，“变与不变”“变化是因不变而生”的数学现象及“守恒”的数学思想，并将之形象、生动地留在了学生的脑海之中，而线段图在其中起到了不可替代的作用。

“超市里的碗绝不止这两种，妈妈心里的盘算也不止这两条”，教师以“碗的价格在不停地变化，碗的数量也在变化。变化中有没有什么规律呢？”引导学生进行观察，添补上线段图的纵向维度。对比中学生不难发现：“每一份越来越短，份数就越来越多。”“碗的单价越来越贵，买的数量越来越少。”

接着，教师又以“变化中有没有什么是不變的呢”引导学生进一步深入观察。学生发现总钱数是不变的。教师适时提出“只有当我们的总钱数不变时，才是每一份越少，买得就越多！每一份越多，买得就越少！”这样一句蕴含函数思想的话语，对于学生来说听到时感觉到很有规律、韵味十足，可是其中反比例的关系，能理解多少呢？不得而知。教师在此再次使用线段图，展现这样一个反比例的函数关系，十分清晰，一看便知。而这其中“变化中的不变”呼之欲出！

教师引导学生思考“一开始没有谁告诉我们总钱数”，让学生发现总价钱是利用变化中的单价与数量求得的。最后以一句耳熟能详、简单而又含义丰富的“变化中求不变，以不变应万变”总结归总问题的解答方法与思想精髓，这其实就是守恒思想的体现与应用。其实，学生在总观这些线段后就不难发现，“无论选用哪一条线段图上的信息作为已知信息，都可以求出总价钱，从而求出另一种情况下的数量。”

可见，线段图在本课教学中并非鸡肋，也并非仅在分析数量关系时有用，线段图的使用可以贯穿整节课，并对整节课的知识架构有很好的辅助作用。

经过课前思考、课中实践与课后反思，笔者更加坚定了自己的想法。线段图在解决问题中的作用十分广泛，其意义远远超越了学画图、解题意，它在培养学生的观察、思考、分析能力方面都有不可替代的作用，是学生理解数学思想的拐杖，是学生借以表达的良师益友，是培养学生数感的绝佳途径。在解决问题的教学中用好线段图对于培养学生的数学核心素养有着不可估量的作用！

（作者单位：徐映，武汉市育才可立小学；郑惠庆，武汉市江岸区小学教研室）