一个不等号的启示

丁建明

【摘 要】 数学教学具有其特殊性的地方，有的概念在不同的层次有不同的定义。在低年级的时候，有些定义不完整，甚至严格说来是错的。考虑到接受的限制，这样实施是符合教学规律的。也许我们当老师的觉得学了很多，也许学生的成绩还不错，但是，在做很简单的题目的时候也会出错。

【关键词】 不等号；符号

【中图分类号】 G64.3 【文献标识码】 A 【文章编号】 2095-3089（2017）14-00-01

在一次数学考试选择题中，我出了这样一道题目：下列不等式成立的有：

A、 B、≤ C、 D、

有一位数学教师拿着卷子来问我，这些答案都不成立，是不是题目出错了？你说呢？这位老师的疑问，对于我在数学教学中无不是一个好的启示，像这样简单的不等号（主要是：≦和≧）稍加不注意就会出错，这个老师肯定是随便看看。而学生呢，更是普遍都认为是错的。对于初学者来说，不奇怪，是好事，抓住这样的机会激发学生的学习积极性，强调符号、≥、>、<的含义，再让学生判断下列对错：自然就会选C，一点就通。这样简单而又常用的不等号，连我们都会出现判断不准这样的情况。从而使我想起，在漫长的教学或学习过程中，有些概念的接受是允许有误差的。我们在教学过程中，有时会出现这样或那样错误的教学规律，如学生只能了解的却要求理解，甚至要求掌握，到头来影响了教学效果，学生该学的没有学到，竹篮打水一场空。例如，对称性从小学到大学都要学习，但是学习的方法和深度不一样，小学只要求感性认识对称图形，初中以后逐步的从感性认识向理性认识深入学习发展，从未知向感知升向认识最后才走到探索研究之路。有些知识的接受是受相关学科或者是知识的系统性影响的，随着知识的增加或学习时间的延长，回过头来在理解就会一点即通。例如函数、极限的概念的理解，直线、角度概念的理解，…，是分阶段性的。在初中定义是不完整的，但又是允許的，要到高中甚至大学才会学到严格的定义。

首先通过以下复习方式，让学生轻松地理解符号“”的含义。

下列不等式成立的有：

A、 B、 C、

在课堂上让学士回答，只答B的占大多数，有少数答A、B。没有一个答A、B、C。正确答案是：A、B、C。发现学生主要是对符号“”的理解。对学生强调：“”符号成立，只要“”和“=”中有一个成立即可成立。如A中虽然不成立，但有成立，所以，成立。如C中有成立，所以就成立。事实上，我们是把“”

看成“或”命题。我们还可以再把A、B、C三个不等式反向，、、。让学生判断回答，情况是又对又快。下面我们出这样的题，学生可能会有些问题；若且求。很快答出0，1，2，3，4，5。但是学生会在数轴上错误标出。若或求。学生也许会错误的答出0，1，2，3，4，5.数学老师同时还是一位数学符号和中文文字翻译工作者。

在教学或是学习中，急于求成或者一学就通都是办不到的。循序渐进，温故知新，才是符合认知的过程。在长期的学习进步过程中，大大小小的错误和误解都是难免的，也是正常的。下面通过两个例子来看不同阶段对同一概念的定义。例如直线的定义，小学的定义是“有公共端点的两条射线的组成的图形叫作角”；中学的定义是“角是由一条射线绕它的端点旋转而成的”。小学的定义使角度的大小受到限制，是不严格的；中学的定义使角度的大小任意化，是完善的。再看函数的定义，第一种，也是长期而普遍的定义，就是把变量看成函数；第二种，函数是一种特殊的关系，即函数关系：，其中，序偶的集合是右单值的；还有一种认为函数是一种对应，后两种是现代解释。就中学数学对函数概念的形成和发展分四个阶段。即引入函数概念之前的预备阶段；初步形成函数概念阶段；认识深化阶段；研究函数性质阶段，这四个阶段的认知层次是逐步提高的，符合从感性到初步理性，然后深化，在进一步发展的认知过程。有些学生学到函数的时候就有困难而放弃学习数学，可能是在教学中违背了学生的认知过程。所以，我们要选择好实例，运用好实例，由浅入深，只有获得了感性认识，才能上升到理性认识。

参考文献：

李求来，昌国良编著。《中学数学教学论》。湖南师范大学出版社。2006，1