基于分数阶导数的经济波动模型的稳定性研究*

林子飞 徐伟† 韩群

(1.西北工业大学应用数学系, 西安 710072) (2.华中农业大学理学院, 武汉 430070)

基于分数阶导数的经济波动模型的稳定性研究*

林子飞1徐伟1†韩群2

(1.西北工业大学应用数学系, 西安 710072) (2.华中农业大学理学院, 武汉 430070)

分析了含有分数阶导数的经济波动模型,其中分数阶导数描述了经济变量的长记忆性质.将随机动力系统的概念引入到了经济波动模型以理解经济波动的本质特征.主要研究了经济波动问题中的平衡状态的稳定性以及经济波动的波动幅度问题.首先,我们研究了经济变量的记忆性质对经济波动的稳定性和波动幅度的影响.结果表明,经济变量的长记忆性延长了经济系统到达平衡状态的时间,这对宏观经济调控提供了一个新的视角和观点.其次,我们研究了分数阶导数如何影响和改变经济波动的波动幅度.结果显示相比于经典模型,经济变量的时间记忆特性会产生不同的令人惊奇的现象.

经济波动模型, 分数阶导数, 随机激励, 多尺度方法

引言

经济波动一直是宏观经济研究中的核心问题之一.研究经济波动的稳定性以及经济波动幅度具有十分重要的理论意义.20世纪50年代,Goodwin[1]改进了希克斯模型并且在文章“The Nonlinear Accelerator and the Persistence of Business Cycles”中取得了突破性的进展.Sasakura[2]给出了Goodwin模型含有唯一的稳定的极限环的证明.Kaldor[3]和Kalecki给出了一个非线性模型来描述经济系统的波动问题.Puu和Sushko[5]给出了一个包含引致投资函数以抵御经济衰退的经济波动模型.Franke等[6]研究了收入分配在经济波动中的作用.Matsumoto[7]通过研究发现,连续的时间滞后效应比固定的时间滞后效应对于系统稳定性的影响更大,而且当平衡点在局部稳定的条件下,可以存在多个极限环.Yoshida和Asada[8]研究了政府调控以及政策滞后效应对于经济系统的影响.

经济变量的时间记忆性使得分数阶导数适合描述经济变量的这种长记忆性.许多学者在分数阶导数的应用型研究方面做出了很多出色的工作.Nick Laskin[9]研究了含有分数阶导数的金融系统并且得到了回报的概率分布.Chen[10]分析了一个分数阶金融系统的动力学行为以及混沌机制.Wang等[11]提出了一个含有时滞的分数阶金融系统,并且分析了该系统的动力学行为.Marius-F[12]提出了参数切换方法来研究分数阶金融系统的动力学特性.Indranil Pan[13]提出了带有正向控制策略的分数阶金融系统.Sachin Bhalekar[14]研究了变量的时滞效应对于系统混沌的影响.Yin[15]设计了一种滑模控制方法来控制分数阶系统的混沌行为.

在现实环境中,外部的随机扰动是不可避免的.同样,这些外部的随机扰动也会影响经济系统的运行.李佼瑞[16]研究了带有时滞反馈控制的非线性经济波动模型的响应问题.李爽[17]研究了确定性以及带有随机激励情形下的经济波动模型的混沌控制问题.Spanos和Zeldin[18]提出了频域方法来研究带有分数阶导数的系统的随机动力学行为.许勇和李永歌[19]提出了一种新的摄动方法来获得分数阶随机系统的近似解析解.刘迪[20]研究了带有分数阶导数的含参数激励的随机系统的共振响应问题.陈林聪和朱位秋[21]应用随机平均方法研究了带有周期激励以及白噪声激励的分数阶非线性系统.黄志龙研究了强非线性分数阶系统的随机响应以及随机稳定性问题[22].Dimatteo等[23]提出了一种新的解析方法,可以获得系统非平稳响应的概率密度函数.

本文由以下几个部分构成.在第二节,考虑到经济变量的时间记忆特性,我们建立了一个带有分数阶导数的经济波动模型.在第三节,我们研究了带有分数阶导数的经济波动模型平衡状态的定点稳定性.在第四节给出了窄带噪声激励下的分数阶经济波动模型.应用多尺度方法得到了经济系统的波动幅度.其次,进行数值模拟来验证了解析方法的有效性,并且分析了分数阶导数对经济波动幅度范围以及经济波动幅度的概率密度的影响.

1 模型

文献[3]中,Goodwin提出了一个数学模型来研究经济系统的经济波动问题.该模型如下：

(1-β)y(t)=O*(t)

(1)

其中O*(t)代表自发的投资.这里我们将其设定为常数O*.由此可以得到下式：

(1-β)z(t)=0

(2)

其中,

z(t)=y(t)-O*/(1-β)

(3)

在经过变换之后,方程(2)可以写成下面的形式：

(4)

其中,

(5)

(6)

2 经济系统的稳定性

2.1 稳定性影响

经济系统的平衡态即动力系统的定点.为了研究经济变量的时间记忆性质对于系统稳定性的影响,方程 (6) 可以写为如下形式：

定理2.1 根据文献[24]提出的稳定性定理,系统(7)的特征方程可以写为：

(8)

其中qi为分数阶导数0

(9)

系统(7)有唯一的定点(0,0,0).在(0,0,0)点的系统的雅各比矩阵为：

(10)

方程(8)变为:

10λ4+3λ+10=0

(11)

可以得到：

(12)

因此定点是渐近稳定的[24],这意味着经济系统可以在平衡点运行.

如果我们设α=1,雅各比矩阵为：

(13)

特征方程为:

10λ2+3λ+10=0

(14)

特征值可以计算得到λ1,2=-0.15±0.99i,也是渐近稳定的.

2.2 到达平衡态的过程

从图1中可以看出,随着分数阶导数阶数的减小,到达平衡状态所需的时间变长了.这就是说,在制定宏观调控政策时必须考虑到经济变量记忆特性的影响,否则会错误地估计经济政策对经济系统的效用.

3 经济波动的幅度

3.1 近似解析解

通过上面的分析,方程(6)可以写为如下形式:

图1 时间历程Fig.1 Time history

=fcos(Ωt+γW(t))

(14)

其中f>0表示随机激励的振幅,Ω表示周期激励的频率,W(t)代表标准维纳过程,γ≥0表示随机激励的噪声强度.

为了应用多尺度方法,引入小参数0<ε<1,所以方程 (14)可以写为：

(15)

(16)

对于分数阶导数[26],我们选取黎曼-刘维尔定义：

(17)

利用多尺度方法, 方程(15)的解可以写成如下形式：

x(t)=x0(T0,T1)+εx1(T0,T1)

(18)

其中T0=t代表快变时间变量,T1=εt代表慢变时间变量.记：

(19)

则有：

(20)

将方程(18)和(19)代入方程(15) 比较ε的系数, 可以得到：

(21)

(22)

方程(21)的解可以写成：

(23)

cc表示前面各项的复共轭.将方程(23)代入方程(22), 可以得到：

(24)

对于黎曼-刘维尔定义,方程(24)右边的第三项可以写成如下形式：

(25)

其中方程(25)右边的第二项不产生久期项,因此不影响最终的解[27].

(26)

A可以表示为极坐标的形式：

(27)

方程(26)中,一个基本的公式要应用到：

(28)

将方程(27),(28)代入(26)并分离方程(26)的实部和虚部,可以得到:

(29)

通过解方程 (29),可以得到振幅a和相位θ.由此可以得到方程(7)的一阶近似解：

x(t)=a(εt)cos(Ωt-θ(εt))+O(ε)

(30)

(31)

消去θ0我们可以得到频率响应方程：

(32)

a=a0+a1,θ=θ0+θ1

(33)

其中a1和θ1都是摄动项.将方程(33)代入方程(29) 可以得到(a0,θ0)处的线性化方程,由此随机微分方程可以写为：

(34)

其中“(·)′”表示对a的导数.

利用矩方法,可以得到一阶稳态矩和二阶稳态矩.从而有：

(35)

因此,一阶稳态矩满足：

E(a1)=0

(36)

二阶稳态矩a1满足：

(37)

其中,

(38)

由此可以得到方程(29)的一阶稳态矩和二阶稳态矩：

E(a)=E(a0+a1)=a0

E(a2) =a02+E(a12)

(39)

(40)

从(29)可以得到方程(40)的振幅和相位方程：

(41)

而且通过方程(39)可以得到方程(41)的一阶稳态矩和二阶稳态矩:

E(a)=E(a0+a1)=a0

E(a2) =a02+E(a12)

(42)

其中,

(43)

3.2 方法有效性分析

本节中,我们借助数值模拟来说明解析方法的有效性,并分析了经济变量的记忆特性对于经济波动幅度的影响.

图2 频响曲线Fig.2 The frequency-response curve

应用预估校正算法[28],图2显示数值结果与解析结果相一致,这证明了解析方法的有效性.图3(a)和(b)表示经济变量的记忆性可以影响到达平衡状态的过程,并且在一定的周期激励的频率范围以内,系统波动的幅度是减小的;而在另外的频率范围以内,系统波动的幅度反而是变大的.图3(c)可以看出,随着分数阶阶数的减小,与整数阶系统的波动幅度相比(包括不稳定解的波动幅度),系统的波动幅度是减小的,经济变量的记忆性增强了系统的稳定性,但是加大了系统稳态的波动幅度.而且在分数阶阶数减小后,系统不稳定解消失了.图4显示分数阶项的系数是如何影响经济系

图3 频响曲线Fig.3 The frequency-response curve

图4 阻尼系数变化时的振幅均值变化曲线Fig.4 The amplitude curve with variation of damping coefficient

图5 分数阶系数α变化时的振幅变化曲线Fig.5 The amplitude curve with variation of fractional order α

图6 振幅a的稳态概率密度Fig.6 Stationary probability density function of amplitude

统的波动幅度的：随着分数阶项系数的增大, 系统的波动幅度减小,而且分数阶系统的波动幅度小于整数阶系统.图5显示了分数阶导数的阶数变化如何影响经济系统的波动幅度,当改变分数阶阶数α, 随着分数阶导数阶数的增大,经济系统的波动幅度首先变大然后再变小.并且可以引发系统瞬态响应的剧烈波动.

稳态概率密度描述了经济波动幅度的分布.我们利用蒙特卡洛模拟得到经济波动幅度的稳态概率密度以及时间历程来阐释经济变量的记忆特性对于概率密度的影响.图6表明随着分数阶阶数α的减小, 稳态概率密度峰值所对应的经济波动幅度变大了,但是稳态概率密度的峰值变小了.图7的时间历程图给出了直观的视角.

图7 时间历程Fig.7 Time history

4 结论

本文成功地建立了含有分数阶导数的经济波动模型,并且研究了由于经济政策,物价变化科技进步过程引发的经济变量的长记忆性质对于经济波动的影响.与经典的模型相对比,本文研究了带有分数阶导数的经济波动模型的稳定性质,结果表明分数阶导数下的经济系统到达平衡状态的时间大大延长了.并且研究了带有分数阶导数的经济波动模型的波动幅度,在不同参数条件小,分数阶阶数对于系统波动幅度的影响是不同的,某些参数条件下减小了经济波动的范围,但是在某些参数下却增大了经济波动的范围.并且分数阶导数阶数的变化可以改变经济系统由非平衡状态到平衡状态的进程.

1Goodwin R M. The nonlinear accelerator and the persistence of business cycles.Econometrica, 1951,19(1):1～17

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*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(11532011)

† Corresponding author E-mail:weixu@nwpu.edu.cn

17 March 2017,revised 18 April 2017.

STABILITYANALYSIS OF ANECONOMIC FLUCTUATION MODEL WITH FRACTIONAL DERIVATIVE*

Lin Zifei1Xu Wei1†Han Qun2

(1.DepartmentofAppliedMathematics,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi′an710072,China) (2.CollegeofScience,HuazhongAgriculturalUniversity,Wuhan430070,China)

This paper analyzes the dynamics of economic fluctuation model with fractional derivative of order α (0<α<1), in which fractional derivative depicts the viscoelasticity of the economy system (the so-called memory and hereditary properties of economic variables). Dynamical system concepts are integrated into the business cycle model for understanding the economic fluctuation. Stability and amplitude of an economy system with fractional derivative are studied and comparedwith classical Goodwin model. Firstly, the influence of the memory property of economic variables on the stability of the economy system is investigated. The result show that an economy system with fractional derivative cost more time to be the equilibrium state. It proposes a new view on the macroeconomic regulation and control policy. Secondly, how fractional derivatives influence and transform the amplitude of the economic fluctuation is studied, and the results show that memory property of economic variables can lead to some different phenomena comparing with the model without considering the memory property of economic variables.

economic fluctuation model, fractional derivative, random excitation, multiple scale method

*国家自然科学基金资助项目(11532011)

10.6052/1672-6553-2017-029

2017-03-17收到第1稿,2017-04-18收到修改稿.

† 通讯作者 E-mail:weixu@nwpu.edu.cn