“导演”激发“演员”的“表演”热情，探究式教学案例

王玉秀

学生是学习的主体，只有让主体发挥能动性，学习才能精彩。如何发挥学生的能动性？老师要从演员退居到幕后，而作为导演的我们如何让演员演好戏，那就要适时地对演员予以肯定并加以指导。

一、教学案例描述

问题1.数列的前4项为： ， ， ， 。求数列的通项

公式。

学生：易知此数列中的项是分数，且分子都是2，分母依次组成等差数列，从而得an= 。

老师：这位同学非常好地运用了“通过前几项排列的规律，获知第n项结果”这种从具体到一般的数学思想方法，完成得很

精彩。

（话锋一转）但我总有这么一种担心，a5是不是仍符合前四项的这个规律？

学生：我算过a5= 老师：那a6呢？（静观学生中的反应）然后a7呢？

应该承认，以后的项是否仍有这样的排列规律，的确不知，在没有找到这样的保证之前，这位同学的结果，只能算是对an的一个猜测。

老师：你们都确信an= 是正确的吗？

学生：是。

老师：这只是我们通过数列的前四项得到的数列通项的猜想，正确与否，必须要给出证明。

老师小结：在数列问题中，算前幾项，猜后面的项是行之有效的解决方法。请大家看下面一道题。

问题2.数列{an}中，a1=4an=2an-1-1（n∈N*，n>1），求an。

老师：能不能先求出几项，找找规律？

学生兴奋地求解：a1=4，a2=7，a3=13，a4=25，a5=49。有规律吗？

突然一个学生大叫：老师，我找到规律了！前四项的每一项减1后分别为3，6，12，24，48它们成等比数列。

老师：这位同学回答得很好，规律找得很准确。但是是不是所有的项都符合这个规律呢？

学生思考了两分钟，又一学生高呼：老师，我能证明。

学生在黑板板书：an=2an-1-1∴an-1=2an-1-2∴an-1=2（an-1-1）。

老师：以上公式说明了什么？

学生：{an-1}是以3为首项，2为公比的等比数列。

老师：让我们为自己的努力和发现鼓掌吧。

老师小结：对于符合an=kan-1+b的数列{an}，我们可以通过构造等比数列求解。问题3.已知数列{an}的前n项之和Sn=2n-2n，

求an。

给予学生适当的思考时间后，开始交流和讨论，汇报他们的所做所得。

老师：是不是与上题一样，也通过算几项，猜一猜？

学生：是。

老师：好！那么a1=？a2=？a3=？a4=？

学生：a1=0，a2=0，a3=-2，a4=-8

（老师在算法上有意识地征求大家的意见，并在a1、a2、a3、a4的值旁注上所获得的最佳探求过程：a1=S1，a2=S2-S1，a3=S3-S2，a4=S4-S3。）

老师：根据前四项的数值，很难找出其中排列的明显规律（上一题的方法）。请大家开拓思路，扩大观察的视野。

学生：从算的式子看，可以得到规律：an=Sn-Sn-1，进而得an=2-2n-1。

老师：太好了！先猜测列出的会是什么样的式子，进而推测出会有的结果，学会分步完成非常好！对这个猜测的结果，大家有没有异议？

学生：n=1时，不是这个形式，而是a1=S1，因而要分类写。

老师：也就是an=2-2n-1（n≥2，a1=0）

学生：对。

老师：这个结果当然仍是猜测，想想怎么证明？（一会儿后）其实也非常容易证明：Sn=a1+a2+…+an-1+an，Sn=a1+a2+…+an-1（n>1），就可以推出Sn-Sn-1=an（两式相减），而n=1时，a1=S1显然不适合！

老师小结：本例获得了数列前n项和与通项之间的关系an=2-2n-1，这很重要，希望同学们重视，并学会应用。也留一个题，供大家课后练习：

已知数列{an}满足下列条件a1+2a2+3a3+…+nan=5-2n求an。

问题4.求数列1，3，7，13，21，…的一个通项公式。

老师提示：相邻两项的差有没有规律？

学生运算后回答：有。

学生黑板板书：a2-a1=3-1=2，a3-a2=7-3=4，a4-a3=13-7=6，

……

an-an-1=2（n-1）

老师：我们由上面的n-1个式子如何求通项公式？

学生：以上n-1个等式左右两边分别相加。

学生板书：an-a1=2[1+2+3+…+（n-1）]=（n-1）n，

∴an=n2-n+1。

老师：我们的解答有什么问题吗？学生思考：n=1时，要检验a1=1是否适合上式。

老师小结：若数列{an}满足an+1-an=f（n）（n∈N*），其中{f（n）}是易求和数列，那么可用累差法求an。我们应验证n=1时a1=1适合an=n2-n+1式。

二、案例反思

在本案例实施过程中有的学生活动积极性不高，这些学生多为成绩较差者，他们长期形成了悲观的学习态度，针对这些学生，可建立一个小档案，把他们每一天的进步都记录下来，让他们看到自己的进步，体会到学习的乐趣，重新树立学习的自信；在活动中多开展分组讨论的环节，通过交流加深自己对问题的理解和印象，同时锻炼自己的表达能力和掌控能力。

教师从演员变为导演对学生的发展至关重要，学生能力的提升，灵魂的升华，对数学的理解，学习数学兴趣的提高都在这一转变中得到实现。同时教师本身对数学艺术的理解也会加深，何乐而不为呢？

编辑 李建军