允许有残次品和缺货的供应链模型

邱少英，李小申

允许有残次品和缺货的供应链模型

邱少英，李小申

(河南科技大学数学与统计学院，河南洛阳471023)

构建了一个有残次品、允许缺货的由单个制造商和单个零售商构成的供应链模型。研究了供应链中各成员的运作和决策。应用更新报酬定理，获得制造商和零售商的平均利润函数。证明其利润函数为凹函数，得到制造商和零售商的最优决策和最大利润。通过数值实验，对影响决策的重要参数进行了灵敏度分析。分析结果显示:当缺货成本增加时，制造商与零售商的利润都下降;价格弹性指数对制造商与零售商利润的影响明显，需要在价格和需求之间寻求一个平衡，使制造商和零售商均得以生存;次品率对制造商利润的影响更为明显。

供应链;决策;允许缺货;残次品

0 引言

在供应链研究中，通常假设产品是完美的，现有的库存总是能满足顾客的需求。在实际中，产品不可能没有次品，库存也可能出现短缺。制造商由于种种原因不能对产品进行全部检查，所以常常给零售商以优惠，如送货上门，而零售商也不专门对产品进行检查，通常在销售给顾客的时候才进行检查。供应链的研究，主要集中在3个方面:第1个方面是研究供应链中订购和产品生产决策的协调。文献［1］于1976年对该问题进行了研究，系统地推导出最优订货量，用来计算销售商和供应商的总年成本函数。第2个方面是研究供应链中的价格决策，这方面的一个开创性的研究是在供应链中考虑顾客的价格敏感需求。文献［2］于1955年把价格敏感考虑到库存模型中，是最早考虑顾客价格敏感的研究之一。但很多模型中都没有考虑产品质量不完美的情形。第3个方面是关注供应链中产品的不完美或缺货。文献［3］于1986年在批量生产模型中考虑到产品的不完美情形，并进行了研究。

文献［4］找出了传统折扣模型存在的问题，即订货次数必须取整数。文献［5］提出精确的年度期望利润可以由更新报酬定理计算出来。文献［6］基于改进的逼近理想解排序法，对供应商的评价和优选问题建立了数学模型，提出了相应的评价流程。文献［7－11］针对供应链网络强化模型做了进一步的研究。到目前为止，产品不完美、允许缺货和需求价格敏感等情况还未被结合起来进行研究，本文综合考虑这些情况，构建了一个制造商-零售商供应链模型。

1 模型建立

1.1 模型假设

为了使供应链模型的建立更加简单，本文只考虑单一品种的商品，基本假设如下:

(Ⅰ)只有一个制造商和一个零售商，而且他们各自独立决策。

(Ⅱ)市场允许缺货，最大的允许缺货数量为b，缺货需求从接下来的进货中得到满足，并且这些用来补足缺货的商品是没有缺陷的［12］。但缺货时零售商需要支付一定的缺货费用，单位产品的成本为π。

(Ⅲ)每一批货物的次品率为y，制造商支付的残次品的质保金为Cw，y均匀地分布在(L，J)上，0≤

(Ⅳ)零售商每次的订货批量Q相同，零售商的进货周期T与次品率y有关。在每一次交货中，期望的合格品的数量与订货周期中的需求是相等的，即(1－y)Q=DT［13］。

(Ⅴ)需求率D是零售价格s的减函数:D(s)=αs－β，其中，α是换算因数(比例因子)，α＞0;β是价格弹性指数，β＞1。为了简化符号，D(s)和D在本文中可互换。

(Ⅵ)零售商订购的商品由制造商及时送达，制造商下一周期送货时，零售商把合格品的进货成本付给制造商，同时不合格产品由制造商带回。零售商每次的订货费用为A，制造商每次的运输费用为F。

(Ⅶ)制造商的单位生产费用为C，每次生产nQ件产品，每次的生产准备费为S。

(Ⅷ)设备使用率ρ被定义为市场需求率与生产率的比值，即ρ=D/R，ρ是给定的固定值，ρ＜1。为了完全满足需求，且有一个可行性问题，假设R≥D/(1－y)，也就是说ρ≤(1－y)。

1.2 零售商的利润

在采购价格给定的情况下，零售商的决策与制造商的生产周期无关，因此有优先决策权。

1.2.1 利润函数

零售商的平均进货周期为:E［T］=E［(1－y)Q/D］=(1－Y)Q/D。

图1 零售商的库存变化情况

由模型假设可得零售商的库存变化情况，如图1所示。图1中:虚线表示合格品的库存情况，横坐标轴下方为缺货;Q－b表示周期初库存量;(1－y)Q－b表示周期初合格品的数量;T0表示合格品售完的时刻，T0由(1－y)Q－b=DT0推导;T表示零售商的进货周期。

根据更新报酬定理［5］，由图1可知，零售商的平均年库存费用为:

根据更新报酬定理，零售商的年期望利润ETPr由销售收入、进货成本、订货费用、库存费用和缺货成本构成，其计算公式为:

其中:hr为零售商单位产品单位时间的库存费用。

1.2.2 最优解分析

最大解分析目的是确定b，Q，s的值，使利润函数ETPr(b，Q，s)取得最大值。该利润函数的Hessian矩阵为:

1.3 制造商的利润

1.3.1 利润函数

设制造商每个生产周期生产的产品数为nQ，用Tm表示制造商的生产周期(年)，则制造商的平均生产周期为:E［Tm］=E［n(1－y)Q/D］=n(1－Y)Q/D=nT。制造商的平均年库存费用［14］为:

根据更新报酬定理，制造商的年期望利润ETPm由销售收入、生产准备费、生产费用、质保金、库存费用和运输费用组成，其计算公式为:

其中:hm为制造商单位产品单位时间的库存费用。

1.3.2 最优解分析

最优解分析目的是确定n，使利润函数ETPm(n)取得最大值。因为所以该利润函数是n的凹函数，从而有最大值。其最优解满足:

2 灵敏度分析

为了研究模型中参数的变化对最优解和期望利润的影响，进行了灵敏度分析。本文使用文献［14－15］中的参数值:零售商的订货费用A=100元/次，固定运输费用F=100元/次。制造商的生产准备费S=1 200元/次，制造商的生产费用C=2.5元/件，制造商支付的残次品质保金CW=11元/件。零售商的采购成本p=7元/件，单位时间的缺货成本π=1.5元/件，零售商单位时间的库存费用hr= 0.86元/件。制造商单位时间的库存费用hm=0.25元/件。设备使用率ρ=0.8，换算因数α=300 000。价格弹性指数β=1.25，次品率y是一个连续的随机变量，一致地分布在(0，0.04)。

2.1 单位缺货成本π的灵敏度分析

缺货成本是由于库存产品不足，导致供应中断而给企业带来的损失。一方面，缺货会影响到生产经营活动;另一方面，在允许缺货的供应链中，缺货可以减少库存量，降低库存水平，从而降低库存持有成本。本文研究的是允许缺货的情况，对于零售商来说，缺货成本与订货量是反向相关的，缺货成本关系着零售商订货批量的决策，单位缺货成本π的灵敏度分析如表1所示。

表1 单位缺货成本π的灵敏度分析

由表1可知:零售商的订货批量随单位产品缺货成本的增加而减少，而最大允许缺货量也越来越小。这是因为单位产品缺货成本的增加给零售商带来的缺货损失越来越大，所以，零售商就会减少最大允许缺货量。为了降低缺货损失，零售商会增加订货次数，通过减少每次订购的产品数量来降低缺货水平。虽然缺货水平下降了，但是，因为零售商频繁订货，给零售商带来较大的订货费用，制造商和零售商的利润都会下降。

2.2 价格弹性指数β的灵敏度分析

价格弹性指数反映的是产品的需求变化对零售价格变化的敏感度，或者说零售价格增加1%所导致的需求减少的百分比。价格弹性指数对定价机制有非常重要的影响，因此，探讨价格弹性指数对定价和进货决策的影响有重要的意义。表2为价格弹性指数β的灵敏度分析。

表2 价格弹性指数β的灵敏度分析

从表2中可以看出:零售价格随β的变化较大，且随β的增加而减少，所以，零售商的利润必然越来越少，制造商的利润先是缓慢增加后又迅速减少，当β=2.50时该模型已经没有解。这显然不是一个好的趋势，但却与实际情况一致，当零售商无利可图时，制造商也将面临破产倒闭，这就需要在价格和需求之间寻求一个平衡。

2.3 次品率y的灵敏度分析

次品率不仅影响企业的利润，而且影响企业的信誉和发展。因此，研究次品率对企业决策和利润的影响是很重要的，表3为次品率y的灵敏度分析。

表3 次品率y的灵敏度分析

由表3可看出:随着次品率y越来越大，缺货量、最优订货量、零售商及制造商的利润都随之减少，但零售价格反而随之变大。这说明次品率高时，零售商会增加进货次数、减少进货量，并提高零售价格，这些对制造商极为不利。次品率y的变化对制造商利润的减少更加明显，所以考虑减少次品率对制造商在市场竞争中是更加有益的。

3 结论

(1)缺货成本的大小不仅影响零售商的决策和利润，而且影响制造商的决策和利润。随着缺货成本的增加，零售商和制造商的利润都减少。为了弥补成本增加带来的损失，零售商减少进货量和允许缺货量，同时增加进货次数和零售价。

(2)需求的价格弹性指数对零售商的利润影响更加显著。随着价格弹性指数的增加，零售商不得不降低零售价格以增加市场需求，但市场需求的增加并不能弥补价格降低所造成的利润损失。由于价格下降，多售出一个产品的利润并不比多一个缺货的费用多很多，因而允许缺货的意义就变小了。

(3)次品率的变化对制造商的影响比对零售商的影响更加明显。

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F253.4;F224.3

A

1672－6871(2017)05－0080－05

10.15926/j.cnki.issn1672－6871.2017.05.017

国家自然科学基金项目(11471102)

邱少英(1983－)，女，河南洛宁人，硕士生;李小申(1964－)，男，河南平舆人，教授，博士，硕士生导师，主要研究方向为运筹学与控制论.

2016－12－12