菱形微位移压电作动器输入输出杂交建模

张春林, 贺国京, 易 锦

(中南林业科技大学土木工程与力学学院 长沙，410004)



菱形微位移压电作动器输入输出杂交建模

张春林, 贺国京, 易 锦

(中南林业科技大学土木工程与力学学院 长沙，410004)

针对某定位装置，研究了一种新型菱形微位移压电作动器，该压电作动器由压电堆、菱形位移放大机构以及柔性铰链组成。菱形微位移压电作动器的核心驱动部件为压电堆，由于压电材料的迟滞特性，菱形压电作动器具有非线性迟滞特性。为了消除迟滞对压电作动器在后续控制中的影响，发展了一种Preisach杂交建模的方法,该方法在传统Preisach模型的基础上，有效结合了Preisach离散模型和支持向量机(support vector machine，简称SVM)，建立了微位移压电作动器输入输出杂交模型。试验结果表明，SVM有效解决了因1阶滞回曲线数量不足而导致Preisach模型精度低的问题，同时与传统Preisach模型相比，杂交建模能更准确地描述迟滞特性，具有更高的精度。

位移放大机构； 压电作动器； 迟滞； 杂交建模

引 言

压电作动器作为一种微位移、力输出机构被广泛应用于工程各领域。由于压电作动器的微位移输出特性限制了其应用范围，因而压电作动器的应用通常伴随有位移放大机构[1]。国外学者对放大机构进行了大量的研究，现存的一些位移放大机构主要有杠杆机构[2-3]、Scott-Russell型位移放大机构[4]、cymbal-type压电作动器[5](钹型压电作动器)以及蜂窝杆式位移放大机构[6]等。国内关于位移放大机构的研究主要有：王隆太等[7]研究的柔性铰链位移放大机构；吴家龙等[8]关于液压微位移放大器的设计与研究；李万全等[9]基于液压微位移放大机构的压电陶瓷执行器的设计。笔者的菱形微位移压电作动器与钹型压电作动器结构类似，由压电作堆、菱形位移放大机构以及柔性铰链组成，同时也具有微位移特性、较好的放大系数以及提供压电堆抵抗横向干扰力的能力[10]。

由于压电作动器作为整个位移放大机构的核心驱动部分，压电材料的非线性迟滞导致整个作动器具有非线性迟滞特性，同时压电堆在使用中表现出的响应和驱动电压之间的迟滞非线性的不准确描述会严重影响控制精度。针对压电材料具有非线性迟滞特性，对含有菱形放大机构的压电作动器进行了杂交建模研究。国内外学者提出了很多关于描述迟滞非线性的技术方案，如多项式拟合模型[11]，可以简单求得逆多项式，用于消除控制系统中的迟滞非线性，但是只能准确描述大环迟滞曲线，小环迟滞描述很难精确，从而整体精度不够高。对于Maxwell[12]模型，环境参数的变化会导致该模型无法准确描述作动器迟滞非线性。Preisach[13-14]模型能准确描述形式复杂的迟滞非线性，而且能很方便地转化为离散形式并应用于控制，然而其精度很大程度上取决于1阶滞回曲线的精度与数量，但实际中很难获得大量1阶滞回曲线。因此，笔者建立了Preisach杂交模型，引入支持向量机来解决1阶滞回曲线数量不足而导致Preisach模型精度低的问题，并将该方法应用于菱形微位移压电作动器输入输出建模问题中，使菱形微位移压电作动器能更准确地应用于后续的控制处理。

1 微位移压电作动器工作原理

位移放大器通常都具有紧凑的结构和一定的输入输出放大倍数，并且都需要与特定的目标装置相连。图1为菱形压电作动器中菱形放大机构工作前后的示意图，菱形放大机构为对称结构，可认为由8根杆件与8个柔性转角组成。假设8根杆件为刚性结构，即忽略作动器在工作过程中杆件的弹性变形。当给压电堆一个输入电压，压电堆在轴向方向将输出一定位移ΔL，菱形放大机构将会输出一个竖向位移2H，从而实现横向变竖向的位移放大。

图1 菱形微位移压电作动器结构示意图Fig.1 Schematic diagram of rhombic micro-displacement amplifier

2 压电作动器输入输出试验

图2为菱形微位移压电作动器实物图，在微位移压电作动器中，使用的压电堆为Physik Instrumente P-885.91，该压电堆正向饱和电压为120 V，负向饱和电压为-20 V。压电陶瓷作动器不能承受大的拉伸载荷，而且收缩驱动性能要显著弱于伸长驱动性能，为保证作动器安全稳定，实际工作电压范围取为0～120 V。试验系统如图3所示，其组件包括1台KEYENCE LK-G80激光位移计，测量精度为0.1μm，此外还包括1台预装SIMULINK的计算机、dSPACE系统和由西安交通大学自制的功率放大器。

图2 菱形微位移压电作动器实物图Fig.2 Prototype of rhombic micro-displacement amplifier

图3 1阶滞回曲线试验系统Fig.3 Schematic of the experimental setup for the first-order hysteresis curve test

图4 测试试验原理结构框图Fig.4 The principle flowchart of experimental system

图5 压电作动器的输入电压Fig.5 Input voltage of PA

图4为1阶滞回曲线测试结构框图。为了测量1阶滞回曲线，首先在计算机生成一组线性分段折返电压曲线。电压曲线如图5所示，尽管压电堆可施加一定量的负向电压，但为了系统稳定，仅允许系统的最低电压为0。输入电压包含了一组主迟滞回线信号：首先由初始电压0增大到正向饱和电压，再降低到0；然后为每次正向饱和电压增加20 V的折返电压信号。计算机通过dSPACE系统把数字信号转化为电压信号，再经过功率放大器把电压施加于微位移压电作动器。激光位移计测量作动器输出位移，并通过dSPACE系统把电信号转变为数字信号。图6为信号处理后所得到的压电作动器输出位移。

图6 菱形压电作动器输出位移Fig.6 Output displacement of rhombic micro-displacement amplifier

图7为菱形压电作动器1阶滞回曲线，结果表明，机构输出位移在电压上升阶段和下降阶段具有不同的输出值。导致此种现象的原因是压电堆压电迟滞特性，因此需要精确的模型来描述菱形微位移压电作动器的输入输出关系。

图7 菱形压电作动器1阶滞回曲线Fig.7 First-order reversal curves of amplifier

3 压电作动器Preisach杂交模型

Preisach 模型能准确描述形式复杂的迟滞非线性，而且能很方便地转化为离散形式并应用于控制，但其精度很大程度上取决于1阶滞回曲线的精度与数量。为了准确描述压电作动器具有非线性迟滞特性的输入输出关系模型，将建立Preisach杂交模型。Preisach 杂交模型是基于离散经典Preisach模型以及SVM基础上的。SVM以数值的方法解决了Preisach模型需要大量1阶滞回曲线的问题。

Preisach杂交模型的建立主要分为以下两步：

1) 离散Preisach模型的建立；

2) Preisach与SVM杂交建模获得更精细的权值矩阵En(i,j)。

3.1 经典Preisach模型

(1)

其中：f(t)为模型输出；μ(α,β)为Preisach权函数，即单元迟滞算子权值分布函数；u(t)为输入电压。

图8 Preisachα_β平面Fig.8 The Preisach α_βplane

3.2 离散Preisach模型

离散Preisach模型比经典模型更具优势：首先，减少了权函数求面积积分，节省大量时间；其次，避免了试验数据得到Preisach权函数时需要对试验数据求二阶导的问题。

将图8所示的三角平面的电压在α方向(电压上升)和β方向(电压下降)等步长分为n小份，则每个步长的电压为Δu=(umax-umin)/n。Preisach平面被分成n(n+1)/2个单元，每个单元表示1个Preisach迟滞算子。显然，随着n的增加，模型计算的时间复杂度会大幅度增加，所需要的1阶滞回曲线数量也会大量增加。

离散Preisach模型的公式可表达为

(2)

其中：T(i,j)为Preisach平面上的一个单元；En为n×n的矩阵，它表示离散后的权值分布；c为Preisach 模型的一个偏移量，即当系统处于负向饱和状态时，Preisach 模型输出为c。

元素En(i,j)对应单元T(i,j)的权值，它是权函数在单元T(i,j)内的面积积分

(3)

权值元素En(i,j)可以通过n条1阶滞回曲线确定，当输入电压从负向饱和状态上升到αp，然后由αp下降到βq时系统的输出位移为

(4)

通过等步长的变换输入电压，1阶滞回曲线对应点的输出被记录下来，从而得到维数为n(n+1)/2的方程组，求解方程组，n(n+1)/2个位置的权值元素可以被求解出来。以n=3的Preisach模型为例，不同加载过程下对应的一系列fap,βq在Preisach平面上的演化如图9 所示。

图9 n=3的离散Preisach模型的几何描述Fig.9 The geometric description of discrete Preisach model(n=3)

3.3 支持向量机SVM

对于给定的训练数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xl,yl)∈Rn×R，用线性函数f(x)=wx+b拟合数据(其中w，b为变量)，代入不敏感损失函数，可以得到对应的线性回归的优化问题

(5)

其中：ξi为允许错分的松弛变量;C>0为惩罚因子。

引入拉格朗日函数，并求其鞍点，可得式(5)优化问题的对偶问题

(6)

其中：a为拉格朗日乘子。

取值非零的乘子对应的样本即为支持向量，最优超平面只取决于非零的拉格朗日乘子和支持向量，这也是支持向量机的解具有稀疏性的原因。对应的决策函数为

(7)

3.4 Preisach与SVM杂交建模

利用SVM，根据由n条1阶滞回曲线确定的相对粗糙的权值分布矩阵En(，)，预测得到一个相对细致的权值分布矩阵Em(，)。试验中1阶滞回曲线的数目n=6，预测得到的相对精细的权值分布矩阵中m=60。权值E60(i,j)为分布于单元T60(i,j)中的权系数μ(α,β)的面积积分

(8)

权系数矩阵En(i,j)可以表示为所处单元Tn(i,j)内权系数μ(α,β)的平均值与单元面积的乘积，因此对于n=6的权系数矩阵

(9)

(10)

该过程可以描述为以下几步：

2) 求得每个单元形心处的坐标，将这些坐标构成支持向量机训练集的输入部分，对应位置的权系数构成支持向量机训练集的输出部分，选取合适的训练参数，训练得到描述权值函数的支持向量机模型；

原理图如图10所示。

图10 SVM-Preisach杂交模型原理图Fig.10 The principle flowchart of the hybrid model

4 Preisach杂交模型试验验证

通过试验测得的6组上升阶段和下降阶段的数据见图6，联立式(2)，求得的单元权值E6(i,j)为

(11)

在开始训练之前，需要确定支持向量机的训练参数，过程如下。

1) 对于多维问题，若输入特征的维数为d，则径向基函数(radial basis function，简称RBF)核的宽度系数χ满足χd∈(0.1,0.5)，这里1/2χ2=γ。文献[15]证明了这样取值可以使SVM训练得到的模型在回归问题中有良好的表现。本研究中，训练数据集的输入部分为形心在Preisach平面中的坐标值，因此维数d为2，则γ∈(1,5)。

确定训练参数后，就可以通过训练得到能够描述权系数分布的SVM模型，通过这个模型就可以预测出限制三角形内任意一点的权系数。通过SVM预测得到精细的E60权值分布如图11所示。

图11 SVM预测得到的权值分布Fig.11 Predicted weighting distribution of SVM

检验一：为了检验获得的杂交模型的性能，一组(0 V，120 V)三角波形电压信号被施加于压电作动器上，电压的变化率du/dt为8 V/s。经典离散模型、杂交模型和实测的实际输出位移之间的对比如图12所示。其中：图12(a)为位移输出对比图；图12(b)给出了两种模型的输出同实际输出之间的满刻度范围(full scale range，简称FSR)误差的对比；图12(c)为输出位移-输入电压的滞回曲线对比图。

检验二：以1阶迟滞试验为检验对象。图13(a)为Preisach经典离散模型、杂交模型和实测的实际输出位移之间的对比图；图13(b)给出两种不同模型FSR误差；图13(c)为输出位移-输入电压的滞回曲线。

图12 三角波激励下经典离散模型、杂交模型和实测输出对比图Fig.12 Comparison of classical discrete model, hybrid model and the actual output under triangular wave excitation

图13 线性分段折返激励下经典离散模型、杂交模型和实测输出对比图Fig.13 Comparison of classical discrete model, hybrid model and the actual output under linear piecewise turn-back excitation

通过杂交模型输出位移与实际位移的对比，检验一中Preisach经典离散模型的平均FSR误差为1.06 %，最大误差为7.13%；杂交模型的平均FSR误差为0.797 6 %，最大误差为2.76 %。检验二中Preisach经典离散模型的平均FSR误差为1.501 %，最大误差为4.46 %;杂交模型的平均FSR误差为0.881 6 %，最大误差为3.954 %。Preisach经典离散模型与杂交模型相比，杂交模型的误差低，模型更精确。

5 结束语

针对某定位装置的位移输出问题，笔者研究了一种新型菱形微位移压电作动器。为了消除迟滞对压电作动器在后续控制中的影响，发展了一种Preisach杂交建模的方法。该方法在传统Preisach模型的基础上，有效结合了Preisach离散模型和SVM，并建立了微位移压电作动器输入输出杂交模型。其中，SVM有效解决了因1阶滞回曲线数量不足而导致Preisach模型精度低的问题，同时与传统Preisach模型相比，杂交建模能更准确描述迟滞特性，具有更高的精度。试验结果表明，在两种不同电压输入情况下，Preisach经典离散模型的平均FSR误差分别为1.06 %和1.501 %，杂交模型的平均FSR误差分别为0.797 6 %和0.881 6 %，具有较高精度,说明了杂交模型在迟滞现象的建模上有着很好的准确性和独特的优势。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.03.016

国家自然科学基金资助项目(E080503)

2015-04-27；

2015-07-09

TP183； TH703.65

张春林，男，1988年2月生，博士生、讲师。主要研究方向为振动主动控制、智能结构设计等。曾发表《Active control of honeycomb sandwich plate using MFC piezoelectric actuators》(《Applied Electromagnetics and Mechanics》2014,Vol.45)等论文。

E-mail：zhangchunlin01@126.com