一道高考题反思如何进行高三数学复习

蔡爱钦

中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2017）06-0245-01

2017年考试大纲在能力要求内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求，增加了数学文化的要求。因此，我们要引导学生重视基础知识、基本技能和基本的数学思考方法，对习题要举一反三，一题多解，解题中要不断优化解题思路、加大思维量减少运算量，在数学文化方面，要求学生注重这方面知识的积累，注重实际应用。

为了适应新考试大纲要求，高三的复习不应该只是停留在就题讲题层面，而应该是在讲解习题的过程中寻找知识点之间的联系，进行思想方法的归纳总结，进行题目的挖掘和引申，构建专题的知识网络，在进行高效复习的同时培养学生的能力。下面我就以函数的对称性和函数的导数为核心，介绍如何进行高三数学复习。

母题：设点P在曲线y=12ex上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为2（1-ln2）。

分析：常规思路是设出动点坐标P（x1，12ex），Q（x2，ln2x2），列出|PQ|=f（x1，x2），再求最值。显然双动点难度很大，注意到指对数函数的关系，发现y=12ex与y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，则|PQ|≥d1+d2≥2d0其中d0是点P到直线y=x的距离。将问题转化为求“曲线y=12ex上的点到直线y=x的距离的最小值”。

整道题是观察并发现两函数的特性，根据它们互为反函数的图像特性，把所求的点点距离转化为点线距离，构造函数求解。观察、分析、转化，这就是考查能力。利用图形的对称性将问题转化为解析几何问题，在求最小值时又用到导数知识，从数到形的转化，将一类知识迁移到另一类知识情境中创造性解决，这就是创新能力，就是学科素养，学科价值。在教学过程中，要引导学生归纳处理双动点问题的基本方法：力求向单动点问题转化，解题过程要做到思路清晰，有法可依。

当然对于文科生来讲，由于对反函数要求比较低，导数方面也相对较弱，因此在讲解这道题时可以适当降低难度，比如可以先设计以下两个题目：

题1：设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N则当|MN|达到最小时t的值为2。

此题虽然两个点都是动点，但由于它们的横坐标相等，所以求MN的距离难度不大，设计这道题目的目的是要建立利用导数求最值的知识框架，让学生熟悉这个知识背景的前提下解决母题。

题2：设点P在曲线y=ex上，点Q在曲线y=lnx，则|PQ|的最小值为0.5。

此题学生较容易看出两个函数互为反函数，再复习反函数的性质，构建有关反函数的知识体系，学生解决此题自然就得心应手。

通过上面学生对利用函数导数求最值问题有了初步的了解，这时我们可以让学生归纳有关利用导数求最值的方法步骤，并以此为载体，引导学生回忆利用导数求函数单调性，极值，求切线的方法，这样通过简单的一道母题就復习了导数应用的知识点，构建起导数应用的知识体系，这也再次体现了这道题的学科价值。

通过上面学生对曲线关于直线对称的曲线问题也有了了解，这时我们可以顺便复习有关直线对称其他类型问题，比如关于x轴、y轴对称等，建立起有关对称的知识体系，拓展学生的应用能力，大大提高高三复习的效率。

接下来我们可以再设计两道姐妹题，让学生进一步巩固刚才所建立的知识体系。

姐妹题1：已知函数f（x）=lnx2+12，g（x）=ex-2，对于使得g（a）=f（b） 成立，则b-a的最小值为ln2。

解法分析：设g（a）=f（b）=m，从而可求出b，a，再求出b-a，令b-a=h（m），再利用导数求最值的方法求h（m）的最小值即可。

此题是构造新函数，再用导数求最值的方法解题，这考查了学生观察、分析、转化的能力，同时也再次巩固了利用导数求最值知识点。

姐妹题2：已知函数g（x）=a-x2（1e≤x≤e，e， 为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数 α的取值范围是[1，e2-2] 此题不仅考查了对称问题，还考查了构造函数，函数求极值问题，正好巩固了本节的两个重要知识点。

我们还可以进一步深化，提高学生的迁移能力。

深化题1：函数f（x）=ex+x2+x+1与g（x）的图象关于直线2x-y-3=0对称，P与Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为2 5。

解法分析：根据函数f（x）的图象与g（x）关于直线2x-y-3=0对称，所以函数f（x）到直线的距离的最小值的2倍，即可|PQ|的最小值。

深化题2：若实数a，b，c，d满足（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0 则（a-c）2+（b-d）2的最小值为8。

解法分析： 根据b+a2-3lna=0，c-d+2=0构造函数y=3lnx-x2设c=x，d=y转化为曲线y=3lnx-x与直线y=x+2之间的最小距离的平分值即可。

高三学生的时间是非常宝贵的，课堂上能否高效教学直接影响着学生的高考分数，所以我们在设计课堂教学时不能具有随意性，而应该精心备课，构建专题知识网络，进行系统教学，教学中我们可以设计一题多变，一题多解，归纳解题方法，提高复习效率。