通过极值问题浅谈高中物理学科核心素养的培养

戴艳明

摘要：物理学科核心素养是学生在物理课程学习过程中逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要的必备品和关键能力，包括物理观念、科学思维、探究能力、科学态度等要素。极值问题由于其涉及知识面广、知识综合性强的特点，是高中物理教学的重难点，如何发挥物理核心概念的引领作用，关注科学思维方法的实际应用，使学生如何能更好的对原始物理问题进行抽象、简化、分解建立模型，找到解决问题的物理概念与规律，帮助学生形成物理学科核心素养。

关键词：极值问题；高中物理；核心素养

中图分类号：G633.7文献标识码：B文章编号：1672-1578（2017）06-0240-02

所谓极值问题的求解，指的是在高中物理中，在关于某一物理量的变化过程中，不管它处于何种状态或者何种过程，其发展都可能会受到不变的物理规律和物理条件的制约，为了更好的達到符合物理问题的实际，其取值只能确定在一定的数值范围内，就可能为物理极值问题，极值问题一般是在物理模型的基础上借助数学手段和方法，讨论中常用的方法有：二次函数的极值法，三角函数极值法，均值不等式法等。

例1.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s 2的加速度开始行驶。恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。汽车从路口开动后，在追上自行车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？

解析：根据题意，自行车做匀速运动，汽车做匀加速运动。汽车与自行车的位移之差是一个关于时间的二次函数，所以可以用二次函数极值公式求极值。

解：经过时间t后，自行车做匀速运动，其位移为S1=Vt

汽车做匀加速运动，其位移为：S2=1/2at2

两车相距为：ΔS=S1-S2

这是一个关于t的二次函数，因二次项系数为负值，故ΔS有最大值。

当t=2（s）时ΔS有最大值6m。

例2.甲、乙两地相距L=200km，汽车以速度v1=40km/h从甲地向着正西方的乙地开行，同时有一摩托车以速度v2=30km/h从乙地向着正南方开行，两车何时相距最近？最近距离为多少？

解析：设经时间t后两车相距为s，则由图4可知：

s2=（L-v1t）+（v2t）2=L2-2Lv1t+v12t2+v22t2=（v12+v22）t2-2Lv1t+L2

因：v12+v22>0，根据二次函数的性质，s2有极小值。即当：

t=-b2a=2Lv12（v12+v22）=200×401600+900h=165h时，两车相距最近，由S2min=4ac-b24a=4（v12+v22）L2-4L2v124（v12+v22）

所以：Smin=14400km=120km

评：二次函数的通式：y=ax2+bx+c，当a>0时，取x=-b2a，则y有最小值，当a<0时，取x=-b2a，则y有最大值。运用数学二次函数的极值问题求物理解，对锻炼学生的科学思维能力和理论联系实际能力有很大的帮助。在匀变速运动中位移与时间的关系、遵守动量守恒和动能守恒的弹性正碰问题及有关电功率的计算等问题时常会用到，此类问题同样要注意检验是否出现增根。

例3.一物体质量为m，置于倾角为α的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值。

解析：设拉力与斜面的夹角为θ，物体的受力分析，如图3所示。

由物体的平衡条件可得：

Fcosθ-μ（mgcosα-Fsinθ）-mgsinα=0

即：F=（sinα+μcosα）mgcosθ+μsinθ

令1/μ=tanβ，则

cosθ+μsinθ=1+μ2sin（β+θ）≤1+ μ2

拉力的最小值：

评：三角函数知识在物理中也有广泛的应用，如力的合成与分解，运动的合成与分解、机械振动以及电场强度、磁感应强度的矢量叠加都有所应用。此题构造了两角和的正弦，有效地解决了极值问题的求解，方法直观易懂。对于学生物理观念、探究能力等核心素养的培养至关重要。

例4：在一个盛水容器的侧壁上开一个小孔，试问小孔应开在离水面多高处，才能使得从小孔中喷出的水射程最远？

解析：从小孔中喷出的水做平抛运动，设容器中水面离桌面高H，小孔离水面为h，如图4

由机械能守恒定律易得从小孔射出的 水流初速度为：v=2gh

从小孔喷出的水在空中运动时间为：t2（H-h）g，

则有：x=vt=2gh·2（H-h）g=2h（H-h），

所以当h=H-h，即：h=H2时，水平射程x有极大值，其值为： Xmax=H

例5.在电视节目中，我们常常能看到一种精彩的水上运动——滑水板，如图5所示，运动员快艇的水平牵引力作用下，脚踏倾斜滑板大水上匀速滑行，设滑板是光滑的，若运动员与滑板的总质量为m=70kg，滑板的总面积为S=0.12m2，水的密度为P=1.0×103kg/m3。理论研究表明：当滑板与水平方向的夹角为θ（板前端抬起的角度）时，水对板的作用大小为FN=PSv2sin2θ，方向垂直于板面。式中v为快艇的牵引速度，S为滑板的滑水面积。求：为使滑板能在水面上滑行，快艇水平牵引滑板的最小速度。

解析：选取滑板和运动员作为研究对象，对其受力分析，滑板和运动员共受三个力的作用，即：重力G，水对滑板的弹力FN（方向与滑板板面垂直）及绳子对运动员的拉力F。

由物体的平衡条件可得：FNcosθ-mg=0

又由题中所给的理论模型：FN=PSv2sin2θ，

可得： 由式中可知：快艇的最小速度只由θ决定。

令y=sin2θcosθ，则有：y2=12sin2θsin2θ（2cos2θ）

由基本不等式可得：y2≤12（sin2θ+sin2+2cos2θ3）3

当且仅当shi2θ=2cos2θ，即θ=arctan2=54.7°时，y有最大值：ymax=239。

快艇最小速度的表达式为：Vmin=33mg2PS

代入数据，得：Vmin3.9m/s

评：运用均值不等式求解极值问题是高中物理常用的数学方法，在物理解题过程中运用相当广泛，有利于学生处理问题时科学严谨态度的培养。

总之，综合灵活地运用多种数学方法求解物理的极值问题，是中学物理问题解决中的一个难点，在物理教学过程中可通过求解极值问题发挥物理核心概念的引领作用，关注科学思维方法的实际应用，培养学生的探究能力和严谨的科学态度，使学生能更好的对原始物理问题进行抽象建立模型，找到解决问题的物理概念与规律及数学方法，帮助学生形成物理学科的核心素养。