常见螺旋线的曲率和挠率

唐楠　许峰

【摘 要】螺旋结构的广泛使用使得对于螺旋线几何特征的精确描述具有重要的理论意义。常见的螺旋线主要由圆柱螺旋线、圆锥螺旋线等。为了更好地描述螺旋的几何特征，本文利用Frenet标架，建立了以弧长为参数的螺旋线方程，精确地对几类常见螺旋线的曲率、挠率进行了描述。

【关键词】螺旋；曲率；撓率；Frenet标架

0 引言

螺旋结构[1]不仅是机械设备中常用的构件，而且在农业生物工程上也有着广泛的应用。如粮仓使用的螺旋式输送器，生产配合饲料所用的螺旋式配料器.加工膨化食品的螺旋式膨化机以及螺旋式桑苗制钵机等，为了更好的利用螺旋结构，首先需要了解螺旋线的几何特征。螺旋线[2]是一种常见的空间曲线。若沿着螺旋中心线方向截面保持不变，则可将螺旋线扩展为螺旋结构。弹簧是最为常见的螺旋结构。传统弹簧采用恒定直径的圆截面，且截面与旋转轴并不共面。当截面半径尺寸远小于螺旋半径时，得到的一阶螺旋杆近似可以看成圆杆。

1 螺旋线的几何建模

螺旋运动是由直线运动和圆周运动合成的，下面介绍最常用的圆柱螺旋线。如图1所示，当空间一动点P从P0（a，0，0）处出发，在圆柱面x2+y2=a2上以等角速度？棕绕Z轴旋转。同时又以等线速度v沿平行于Z轴正向上升，点P的轨迹即为螺旋线。由螺旋线的形成过程可知，其参数方程为x=acos？棕t，y=asin？棕t，z=vt若记？兹=？棕t，则螺旋线参数方程可化为x=acos？兹，y=asin？兹，z=vt。式中，参数表达式均为二阶连续可微函数。

螺旋中心上任一点的位移矢量可表示为：R（s）=x（s）i+y（s）j+z（s）k，s为沿着螺旋中心线的弧长，则螺旋线可表示为：x（s）=Rcoss，y（s）=Rsins，z=±式中，L为螺距，l为螺旋杆一个螺距内对应的弧长，R为螺旋半径，正负号的选择与捻制方式有关，规定右螺旋线为正。其中螺旋线的螺旋角？茁=arctan曲率和挠率分别为：

为了使数学模型能比较准确地反映其几何特征，必须选择相应的任意坐标系。以（N，B，T）建立如图2的Frenet标架[3]，彼此正交的单位切向量T，法向量N，副法向量B分别定义为：

由伏雷内公式，

其中？资为螺旋杆中心线的曲率，为螺旋杆中心线的挠率。利用公式进行计算，可知圆柱螺旋线的曲率和挠率均为常数。

2 常见螺旋线的曲率与挠率

由微分几何可知， 曲率与挠率之比为常数的曲线为一般螺旋线。常见的螺旋线还有圆锥螺旋线，如图3所示。圆锥螺旋线[4]的参数方程可表示为x=aetcost，y=aetsint，z=bet。通过上述的计算可得，圆锥螺旋线的曲率和挠率分别

【参考文献】

[1]钟世金，莫江涛，王静文，等.基于ANSYS的螺旋结构参数化建模[J].有色设备， 2005（1）：9-11.

[2]ManfredoP.doCarmo， Carmo，田畴.曲线与曲面的微分几何[M].机械工业出版社，2005.

[3]包图雅，张陆.曲线上的Frenet标架[J].湖北民族学院学报（自科版），2015，33（3）：245-246.

[4]夏鼎立.等倾角变螺距圆锥螺旋线的几何特性及其作图方法研究[J].合肥工业大学学报：自然科学版，1992（4）：138-144.

[责任编辑：田吉捷]