具有时滞的SIR计算机病毒模型的稳定性分析

雷学红　许云霞

【摘 要】研究了一类具有非线性发生率的时滞SIR传染病模型. 确定了决定计算机病毒消失或继续存在的基本再生数， 通过分析系统对应的特征方程，得到无病平衡点与地方平衡点的局部稳定性。通过构造适当的Lyapunov函数，利用LaSalle不变原理，证明当基本再生数小于1时，无病平衡点是全局渐近稳定的； 最后，通过MATLAB进行数值模拟验证了所得理论分析结果的正确性。

【关键词】时滞； 传染病模型；全局稳定性； Lyapunov函数；基本再生数

Stability Analysis of a Delayed SIR Computer Virus Model

LEI Xue-hong XU Yun-xia

（Department of mathematical science， Kaili College， Kaili Guizhou 556011，China）

【Abstract】In this paper， A delayed SIR epidemic model with nonlinear incidence rate is investigated. the basic reproduction number is determining whether the disease dies is found， and the existence of the model is discussed. By analyzing the corresponding characteristic equation.the local stability of a disease-free equilibrium and endemic equilibrium are discussed. According to the suitable Lyapunov function and LaSalle invariance principle， it is proved that the disease-free equilibrium is globally asymptotically stable as the basic reproduction number for viral infection is less than unity， Finally，the theoretical results obtained are verified by numerical simulations for the numerical model with a specific incidence by MATLAB.

【Key words】Time delay； Epidemic model； Global stability； Lyapunov Function；Basic Reproduction Number

0 引言

在過去的几十年里，互联网的迅速普及。然而，随着计算机迅速普及也极大提高了计算机病毒的传播能力。由于计算机病毒具有极大的破坏性、不可预测性，多态性等特点， 早已成为现代信息社会的重要威胁之一。随着计算机与通信技术的快速发展，计算机病毒程序也变得越来越复杂，人们开始运用传染病动力学中仓室模型来了解计算机病毒传播的一般规律，并得到了大量的研究成果[1-2]。最典型的仓室模型是Kephart借鉴经典的传染病SIS模型建立了最早的计算机病毒传播仓室模型，宣告计算机病毒传播动力学的诞生。SIS模型则用来描述计算机康复后不具有免疫力再次被病毒感染的情况。大量的临床研究发现，由于个体的免疫系统完善水平不同，对于相同的病毒，并不是每个个体感染后都能产生抵抗被该病毒再次感染的免疫力。因此 ，更合理的发生率应该是非线性的。随着研究的不断深入，人们开始引入不同的非线性传染率；如带有非线性传染率为βSqI的SIS传染病毒模型；带有非线性传染率的的SIR或SIRS模型，带有非线性传染病毒βI（1+αIk-1）S的SIR模型，带有非线性传染率的的SEIV模型，带有非线性传染病毒的模型和带有非线性传染率的SIR模型；本文研究如下

S'（t）=？撰--μSI'（t）=-（μ+r+ε）IR'（t）=rI-μR（1）

其中S（t），I（t），R（t）分别表示在t时刻因特网中易感节点、感染节点，免疫节点所占的比例。设？撰表示单位时间内新增加易感节点的数量，μ表示因故障等引起的宕机率，β表示平均有效接触率，ε表示因病毒感染病引起的宕机率，r表示为感染节点到免疫节点的恢复系数。τ为时滞，即表示病毒的潜伏期，0

系统（1）满足初始条件：

S（θ）=φ1（θ）；I（θ）=φ2（θ）；R（θ）=φ3（θ），φi（θ）≥0；θ∈[-τ，0]；（i=1，2，3）（2）

其中（φ1（θ），φ2（θ），φ3（θ））∈C（[-τ，0]，R3）， R3+={（x1，x2，x3）：xi≥0}。

引理1设（S（t），I（t），R（t））是系统（1）满足初值条件（2）的解，对任意的t≥0时，都有（S（t）≥0，I（t）≥0，R（）≥0）。

令Ω={（S，I，R）：S≥0，I≥0，R≥0，S+I+R≤？撰}，则Ω是系统（1）的正向不变集。

1 平衡点的局部稳定性分析

显然，系统（1）总存在未感染平衡点P0（，0，0），若β？撰e-δτ>μ（μ+r+ε）时，还有一个病毒平衡点P*（S*，I*，R*）.I*=；S*=；R*=.

令R0=为系统（1）的基本再生数。

在本节，通过讨论系统（1）对应的特征方程来讨论平衡点的局部渐近稳定性。

定理1：当R0<1时，系统（1）的无病平衡点P0（，0，0）是局部渐近稳定的；当R0>1时，系统（1）的无病平衡点P0是不稳定的。

证明：系统（1）的无病平衡点P0的线性特征方程为（λ+μ）2（λ-βe-（δ+λ）+μ+r+ε）=0（3）

λ1=λ2=-μ，

λ3β？撰e-（δ+λ）τ-（μ+r+ε），

令方程f（λ）=λ-β？撰e-（δ+λ）τ+（μ+r+ε）（4）

由文献[5]定理1当R0<1时，系统（1）在P0处是局部渐近稳定的。

若R0>1时，

f（0）=-e-δτ+（μ+r+ε）<0，而f（+∞）=+∞.

f（λ）在（0，+∞）上至少存在一个正实部。故当R0>1时，系统（1）不稳定的。

当R0>1时，系统（1）在病毒平衡点P*处的特征方程为

λ3+a1λ2+a2λ+a3+（b1λ2+b2λ+b3）e-λτ=0（5）

其中：a1=3μ+ε+γ+；

b1=-

a2=3μ2+2με+2μγ+（2μ+ε+γ）

b2=-

a3=μ（μ+ε+γ）（μ+）；

b3=-；

当τ=0时，有λ3+c1λ2+c2λ+c3=0.（6）

c1=（3μ+ε+γ）αI*+，

c2=

c3=I*；

此时有c1>0，c2>0，c3>0，

容易计算c1c2-c3>0.

因此，由Routh-Hurwitz判断定理可知，平衡点P*局部渐近稳定性的。

当τ>0时，设λ=iω（ω>0）是方程（4）的一个根，分离实部与虚部，得

b2ωcos（ωτ）+（b1ω2-b3）sin（ωτ）=ω3-a2ω（b3-b1ω2）cos（ωτ）+b2ωsin（ωτ）=a1ω2-a3（7）

（7）式两个平方和，得ω6+r1ω4+r2ω2+r3=0

其中：r1=a21-2a2-b21；

r2=a22-2a1a3+2b1b3-b22；r3=a23-b23；

令z=ω2，Δ=r21-3r2，

g（z）=z3+r1z2+r2z+r3（8）

定理2 若R0>1成立；

（1）当τ=0时；

（2）当τ>0时，r3>0且Δ≤0；

（3）当τ>0时，r3<0；

则系统（1）在病毒平衡点P*是局部渐近稳定的。

证明方法见文献[6]。

2 平衡点的全局稳定性

在这一节中，主要通过构造Lyapunov函数， 利用Lyapunov-Lasalle不变集原理证明

系统（1）平衡点的全局平衡性。

定理3 若R0<1，则无病平衡点P0（，0，0）是全局渐近稳定的。

证明：设（S，I，R）是系统（1）满足初始条件（2）的任意正解。

令V（t）=（S-S0-S0ln）+eδτI+dθ

V'（t）=（1-）（？撰--μS）-eδτ（μ+r+ε）I+

=（？撰-μS）（1-）+eδτ（μ+r+ε）I（-1）

≤（？撰-μS）（1-）+eδτ（μ+r+ε）I（R0-1）

≤μ（-μS）（1-）+eδτ（μ+r+ε）I（R0-1）

≤0

即：V't≤0，由LaSalle不变原理可知，当R0<1时，平衡点P0是全局渐近稳定的，定理得证。

3 数值分析

为了验证上述理论分析的结果，本节给出一个仿真示例，系统（1）选取参数r=0.15；δ=0.45；ε=0.6；β=0.2；

α=0.15；？撰=10，μ=0.2此時R0=0.2876。当时滞τ=0时。系统（1）变成常规的传染病模型。此时系统S、I、R都瞬间上升，然后、随着时间达到平衡位置如图1。

当τ=0，R0<1时S，I，R的运动趋势

当时滞τ=8时，病毒有病毒引起的宕机率ε大于因故障而引起的宕机率μ。易感节点经过潜伏期仍然然存活的数量e-δτ=0.0273，满足要求。此时，易感病毒S数量急剧上升达到某个一个平衡位置，而I，R任然平衡在0点上，R0<1无病平衡点是全部渐近稳定的。

当R0<1，τ=8时S，I，R的运动趋势

4 结束语

本文主要研究的是一类具有非线性发生率和时滞的SIR计算机病毒模型，通过分析模型的基本再生数。通过Hurwitz判断定理可知，分析了R0<1，R0>1时解是局部渐近的。通过构造Lyapunov函数，利用LaSalle不变原理，证明当R0<1时，无病平衡点不仅局部稳定的，且是全局渐近稳定的。当R0>1时，得到了地方平衡点稳定的充分条件。最后，选取适当的数值，通过MATLAB进行数值模拟，进一步验证了所得的主要结果。

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[责任编辑：朱丽娜]