理想子环及其相关理论的探讨

徐 兰

(新疆昌吉学院 数学系，昌吉，831100)



理想子环及其相关理论的探讨

徐 兰

(新疆昌吉学院 数学系，昌吉，831100)

理想(子环)是一类重要的子环，它在环的理论中起着重要的作用。本论文以理想子环为基本语言，研究了理想子环以及极大理想与素理想的相关定义及性质。

环；理想子环；极大理想；素理想

与群中不变子群平行的理论研究就是环[1]中的理想(子环)。所以,理想[5-9]在环论中占有特别重要的地位。

子环同理想也是这样，经过一个同态映射也是不变的。

1 理想

1.1 问题的提出

设N是环R的一个子环[2],那么由子环的定义知:{N,+}是加群{R,+}的一个子加群,又因{R,+}是可换群，N◁R(表示N是R的不变子加群)，于是得到商群R/N，

其中R/N={a+N|∀a∈R}。

商群[3]中的加法运算为：(a+N)+(b+N)=(a+b)+N。

对于R/N已有加法,是否可以再定义一个乘法并使R/N成为环呢?如果乘法已规定好,那么必有”两个陪集之积仍是陪集”自然地想到:

(a+N)(a+N)=ab+N。

(1)

要使上式(1)真正成立,N应满足什么条件呢?

首先,ab+N⊆(a+N)(b+N)=ab+N+aN+Nb。

所以，公式(1)成立的关键是:(a+N)(b+N)⊆ab+N。

定理1：设N如上所示.那么(a+N)(b+N)⊆ab+N

⟺aN⊆N且Nb⊆N。

证明:(⟹)因对任意的a,b,都有(a+N)(b+N)⊆ab+N。

那么特取b=0⟹(a+N)·N⊆N⟹aN⊆N。

特取a=0⟹N(b+N)⊆N,Nb+N⊆N。

所以，Nb⊆N.总是有aN⊆N且Nb⊆N。

(⟸)(a+N)(b+N)=ab+aN+NN

⊆ab+N+N+NN=ab+N。

从而，(a+N)(b+N)⊆ab+N。

1.2 理想的定义

定义1.设N是R的非空子集.如果满足条件则称N是R的一个理想

①∀a,b∈N,a-b∈N，

②∀r∈R,rN⊆N,且Nr⊆N。

注意1:容易发现:定义2中的②“r1N⊆N⟺∀n∈N。

有r1n∈N”,“Nr2⊆N⟺∀n∈N,nr2∈N”。

所以定义2可改为:

①∀a,b∈N,a-b∈N，

②∀r∈R,∀n∈N,rn∈N且nr∈N。

①∀a,b∈N,a-b∈N,

②∀r∈R,∀n∈N,rn∈N且nr∈N。

注意2:由定义3可知,理想必是子环,但子环未必是理想，理想要比子环的条件要强些。

定理2 任一个除环R[4]只有平凡理想(域也是如此)。

证明 设N是除环的R非零理想,那么∀0≠n∈R，

∵n必可逆⟹∃n-1∈R,由理想的定义⟹1R=n-1n∈N。

∴1R∈N.于是∀r∈R,r=r1R∈N,由r的任意性⟹R⊆N,∴R=N。

这表明R只有平凡理想。

证明:∀x∈I,∀r∈R，则rx=r(1Nx)=(r1N)x∈I，

xr=(x1N)r=x(1Nr)∈I至于I是子环是显然,因此有

定理3 设N1,N2都是环R的理想。那么

也是R的理想,叫做N1与N2的和理想。

∀x=a1+b1,y=a2+b2∈N1+N2。则

x-y=(a1+b1)-(a2+b2)=(a1-a2)+(b1-b2)∈N1+N2。

又若r∈R,则有ra1∈N1,rb1∈N2，

a1r∈N1,b1r∈N2。

rx=r(a1+b1)=ra1+rb1∈N1+N2，

xr=(a1+b1)r=a1r+b1r∈N1+N2。

所以,由理想的定义知N1+N2◁R,习惯上称N1+N2为理想N1与N2的和。

类似地,可以考虑:当N1,N2都是R的理想时，N1∪N2和

N1N2={ab|∀a∈N1,∀b∈N2}会是理想吗[5]?事实上,因为它们对加法都未必封闭,所以都不一定能成为理想。但若这样定义:

N1N2={a1b1+a2b2+...+anbn|ai∈N1,bi∈N2,n为自然数}。

1.3 理想的传递性问题

不能保证2a1x+za2是4的除数， ∴I未必是R的理想。

上例告诉我们，理想有时不能传递。

下面介绍一个能传递的充分条件。

证明:∀x∈I,∀r∈R，则rx=r(1Nx)=(r1N)x∈I，

xr=(x1N)r=x(1Nr)∈I。

2 环的两类特殊的理想

在环的理想中有两类特殊的理想：极大理想与索理想[10-14]，它们在环论的研究中占有重要地位。

2.1 极大理想

定义3 设I是R环的一个理想且I≠R,如果除了R和I以外,再也没有能包含I的其它理想,那么称I是R的一个极大理想。

定义3 换个说法，就是:

(1)验证I≠R(即∃r∈R但r∉I) 一般当lR∈R,证1R∉I。

例3 设素数p∈Z,那么由p生成的理想I=(p)必是极大理想。

证明：因为(p)={np|∀n∈Z}⟹1∉(p) (p不整除1),

所以，p≠Z。

换句话说，

sp+tg=1。 因为

p∈I⊄J,且g∈J⟹1=sp+tg∈J⟹J=R=Z。

例4 设{0}≠R为任一个环,则R为单环⟺零理想{0}是极大理想。

(所以，除环的极大理想只有{0})

事实上,

①∵2∈R但2∉I⟹I≠R；

∵I⊄J⟹∃j∈J但j∉I。令j=2m而m=2k+1。

2.2 素理想

对于素理想的某些特征，文献[15-18]做了一些研究。

∀n,m∈Z,则m·n(p)⟹p|m·n⟹p|m或p|n⟹m∈(p)或n∈(p)，

所以，(p)是Z的素理想。

注意:当p为素数,那么(p)既是Z的极大理想也是Z的素理想。

例7 显然零理想{0}是Z的素理想,但不是极大理想。

定理7 设R是一个环，那么

R必然是素理想⟺零理想{0}是Z素理想⟺R是无零因子环。

定理8 设R是有单位元的交换环，则R的每个极大理想都是素理想。

证明 设I为R的极大理想，设ab∈I,aI。令N=(a)+I，则N为R的理想，且I⊆(a)+I⊆R，但I≠(a)+I。 因为I为R的极大理想，所以N=R，从而IR∈I，故存在t∈R,c∈I，使得

IR=at+c。

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Research on ideal and its properties

XU Lan

(Department of Mathematics，Changji College，Changji 831100，China)

Ideal is a kind of important subring，and it plays an important role in ring theory.For basic language，the maximal ideal with grain ideal related definition and properties was studied.

ring; ideal; great ideal; grain ideal

1672-7010(2017)03-0018-05

2017-02-25

新疆自然科学基金项目(2015211A003)；新疆昌吉学院教研资助项目(14jyyb018)

徐兰(1964-)，女，江苏苏州人。教授，硕士，主要从事代数与图论的研究。E-mail:xulan6400@163.com。

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