剩余格上n-重滤子的特征及结构

刘莉君

(陕西理工大学 数学与计算机科学学院，陕西 汉中 723000)

剩余格上n-重滤子的特征及结构

刘莉君

(陕西理工大学 数学与计算机科学学院，陕西 汉中 723000)

在剩余格中引入和讨论了n-重蕴涵滤子、n-重极滤子、n-重正蕴涵滤子和n-重布尔滤子的概念及特征性质，证明了剩余格上这几类n-重滤子之间相互转化的充要条件，研究结果拓展了剩余格上的滤子理论，并使剩余格上n-重滤子概念间的层次关系更加清晰和完善。

剩余格；n-重蕴涵滤子；n-重极滤子；n-重正蕴涵滤子；n-重布尔滤子

在信息科学、计算机科学、控制理论、人工智能等很多重要的领域中，逻辑代数是其推理机制的代数基础。为给不确定信息处理理论提供可靠且合理的逻辑基础，许多学者提出并研究了非经典逻辑系统。目前，大多数学者都认同剩余格为一种最广泛的逻辑代数结构[1-2]，而滤子是非经典逻辑代数研究领域的一个重要概念，它们对各种逻辑系统及与之匹配的逻辑代数的完备性问题的研究发挥着及其重要的作用。裴道武[3]研究了MTL代数的模糊滤子，ZHU Yi-quan等[4]研究了剩余格上的几类滤子，BORZOOEI R A[5]在BL代数上引入了n-重极滤子并研究了它们的性质，而这些被提出来的各种滤子[6-8]之间又存在相互的联系与区别，因此，系统地分析出各种滤子概念之间的相互关系就显得尤为重要，基于此目的本文在上述工作的基础上将滤子的重理论进一步推广到剩余格上，通过研究剩余格上n-重蕴涵滤子、n-重极滤子、n-重正蕴涵滤子和n-重布尔滤子的特征及性质，获得剩余格上这几类n-重滤子之间的相互关系，以及这几类滤子之间相互等价的充要条件。

下面先给出本文将用到的几个定义。

1 预备知识

定义1.1[2]219称(2，2，2，2，0，0)-型代数L=(M,∧,∨,⊗,→,0,1)为剩余格，若以下条件成立：

(1)(M,∧,∨,0,1)是有界格； (2)(M,⊗,1)是交换的幺半群；

(3)对于任意的x,y,z∈M,x⊗y≤z⟺y≤x→z。

性质1.1[2]222设L=(M,∧,∨,⊗,→,0,1)为剩余格，对于任意的x,y,z∈L,以下条件成立：

(7)y→x≤(z→y)→(z→x),x→y≤(y→z)→(x→z)；

(10)x∨y=((x→y)→y)∧((y→x)→x),x∨y≤(y→x)→x；

(11)(x∨y)→z=(x→z)∧(y→z),x→(y∧z)=(x→y)∧(x→z)。

定义1.2[4]3617设L=(M,∧,∨,⊗,→,0,1)为剩余格，F为L上的非空子集，则非空子集F被称为剩余格L上的滤子，如果对于任意的x,y∈L,有(1)x∈F，x≤y时，y≤F；(2)x,y∈F时，x⊗y∈F。

定义1.3[4]3617设L=(M,∧,∨,⊗,→,0,1)为剩余格，F为L上的非空子集，则非空子集F被称为剩余格L上的滤子当且仅当：(1)1∈F；(2)x,x→y∈F时，有y∈F。

定义1.4[7]829设L是剩余格，非空子集F为剩余格L上的滤子，则F是L上的一个n-重蕴涵滤子(n=1，2，…)，如果对于任意的x,y,z∈L,有(1)1∈F；(2)当xn→(y→z)∈F,xn→y∈F时，有xn→z∈F。

定义1.5 设L是剩余格，非空子集F为剩余格L上的滤子，则F是L上的一个n-重正蕴涵滤子(n=1，2，…)，如果对于任意的x,y,z∈L,有(1)1∈F；(2)当x→((yn→z)→y)∈F且x∈F时，有y∈F。

定义1.6 设L是剩余格，非空子集F为剩余格L上的滤子，则F是L上的一个n-重极滤子(n=1，2，…)，如果对于任意的x,y,z∈L,有(1)1∈F；(2)当z→(y→x)∈F且z∈F时，有((xn→y)→y)→x∈F。

定义1.7 设L是剩余格，非空子集F为剩余格L上的滤子，则F是L上的一个n-重布尔滤子(n=1，2，…)，如果对于任意的x∈L,有(1)1∈F；(2)x∨xn∈F。

2 剩余格上几类n-重滤子的结构与关系

引理2.1[7]830设L是剩余格，非空子集F为剩余格L上的n-重蕴涵滤子当且仅当

xn→x2n∈F。

引理2.2[7]830设L是剩余格，非空子集F为剩余格L上的n-重蕴涵滤子当且仅当

xn→xn+1∈F。

引理2.3 设L是剩余格，非空子集F为剩余格L上的n-重正蕴涵滤子，则对于任意的x,y∈L,当(xn→y)→x∈F时，有x∈F。

证明 由假设条件、定义1.5和性质1.1(2)，有1∈F和1→((xn→y)→x)=(xn→y)→x∈F；从而再次由定义1.5，有x∈F。

定理2.1 设L是剩余格，非空子集F为剩余格L上的n-重正蕴涵滤子，则F也为剩余格L上的n-重极滤子。

证明 欲证非空子集F为剩余格L上的n-重极滤子，则需设z→(y→x)∈F且z∈F，即y→x∈F。因为对于任意的x,y∈L，在剩余格上有x≤((xn→y)→y)→x，则xn≤(((xn→y)→y)→x)n，进而(((xn→y)→y)→x)n→y≤xn→y，因此

又由定义1.3可知((((xn→y)→y)→x)n→y)→(((xn→y)→y)→x)∈F，而又因为非空子集F为剩余格L上的n-重正蕴涵滤子，故由引理2.3可得((xn→y)→y)→x∈F，因此综上可知,当z→(y→x)∈F且z∈F时，有((xn→y)→y)→x∈F，由定义1.6可知非空子集F为剩余格L上的n-重极滤子。

定理2.2 设L是剩余格，非空子集F为剩余格L上的n-重正蕴涵滤子，则F也为剩余格L上的n-重蕴涵滤子。

证明 设L是剩余格，欲证非空子集F为剩余格L上的n-重蕴涵滤子，则对于任意的x,y,z∈L,需设xn→(y→z)∈F且xn→y∈F。

因为xn→(y→z)=y→(xn→z)≤(xn→y)→(xn→(xn→z))，则(xn→y)→(xn→(xn→z))∈F，又因为xn→y∈F，故xn→(xn→z)∈F。而xn→(xn→z)=((xn→z)→z)→(xn→z)≤((xn→z)n→z)→(xn→z)，故((xn→z)n→z)→(xn→z)∈F，由引理2.3可知xn→z∈F，即对于任意的x,y,z∈L，当xn→(y→z)∈F,且xn→y∈F时，有xn→z∈F。

综上,由定义1.4可得非空子集F为剩余格L上的n-重蕴涵滤子。定理得证。

定理2.3 设L是剩余格，非空子集F为剩余格L上的n-重布尔滤子，则F也为剩余格L上的n-重极滤子。

证明 设L是剩余格，欲证非空子集F为剩余格L上的n-重极滤子，则需设z→(y→x)∈F,且z∈F，即y→x∈F。

因为非空子集F为剩余格L上的n-重布尔滤子，则由定义1.7知x∨xn∈F，而

故(y→x)→(((xn→y)→y)→x)∈F，又因为y→x∈F，((xn→y)→y)→x∈F，综上,由定义1.6可知非空子集F为剩余格L上的n-重极滤子。定理得证。

定理2.4 设L是剩余格，非空子集F为剩余格L上的n-重布尔滤子，则F也为剩余格L上的n-重蕴涵滤子。

证明 设L是剩余格，欲证非空子集F为剩余格L上的n-重蕴涵滤子，则对于任意的x,y,z∈L,需设xn→(y→z)∈F且xn→y∈F。因为对于任意的x∈L，在剩余格上有

由性质1.1(9)可知x∨xn≤xn→xn+1，又因为x∨xn∈F，故由定义1.2知xn→xn+1∈F，综上,由引理2.2可知，F为剩余格L上的n-重蕴涵滤子。即当非空子集F为剩余格L上的n-重布尔滤子时，F也为剩余格L上的n-重蕴涵滤子。定理得证。

定理2.5 设L是剩余格，非空子集F为剩余格L上的滤子，则剩余格L上的n-重布尔滤子与剩余格L上的n-重正蕴涵滤子之间相互等价。

证明 (1)先设非空子集F为剩余格L上的n-重布尔滤子，欲证F为剩余格L上的n-重正蕴涵滤子，则需设x→((yn→z)→y)∈F且x∈F，即(yn→z)→y∈F。又因为

故(y2n→yn)→y∈F，又因为非空子集F为剩余格L上的n-重布尔滤子，由定理2.4可知F为剩余格L上的n-重蕴涵滤子，根据引理2.1可知y2n→yn∈F，则y∈F。综上可知，当x→((yn→z)→y)∈F且x∈F时，y∈F，故由定义1.5可知非空子集F为剩余格L上的n-重正蕴涵滤子。

(2)再设非空子集F为剩余格L上的n-重正蕴涵滤子。由引理2.1可知x2n→xn∈F，因为

x2n→xn≤x2n→xn=(xn⊗xn)→xn=(xn→xn)→xn，

故(xn→xn)→xn∈F。又根据定理2.1可知非空子集F为剩余格L上的n-重极滤子，故当z→(y→x)∈F且z∈F时，即y→x∈F时，有((xn→y)→y)→x∈F。而又因为在剩余格L上y→((y→x)→x)=(y→x)→(y→x)=1∈F，因此可得

((((y→x)→x)n→y)→y)→((y→x)→x)∈F。

又因为

而对于任意的x,y∈L，在剩余格上有

连续重复n-1次上述过程，则(x∨y)n→y=xn→y。故可得

又因为(xn→xn)→xn∈F，则(x∨xn)∈F。综上,由定义1.7可得非空子集F为剩余格L上的n-重布尔滤子。

综合(1)和(2)可得：剩余格L上的n-重布尔滤子与剩余格L上的n-重正蕴涵滤子之间相互等价。定理得证。

3 结束语

滤子是研究逻辑代数的有效工具，本文在剩余格中引入了n-重蕴涵滤子、n-重极滤子、n-重正蕴涵滤子和n-重布尔滤子的概念，通过研究它们的特征及性质，系统分析并获得了这几类n-重滤子概念之间的相互关系。在下一步的工作中我们将继续研究剩余格上的其他n-重滤子之间的关系，为剩余格上的滤子理论奠定理论性的基础。

[1] HAVESHKI M，SAEID A B，ESLAMI E. Some types of filters in BL-algebras[J].Soft Computing，2007，10(2)：657-664．

[2] 周红军.概率计量逻辑及其应用[M].北京：科学出版社，2015．

[3] 裴道武.MTL代数的特征定理[J].数学学报，2007，50(6)：1201-1206．

[4] ZHU Yi-quan，XU Yang. On filter theory of residuated lattices[J]. Information Sciences An International Journal，2010，180(19)：3614-3632．

[5] BORZOOEI R A. Fuzzy n-fold fantastic filters in BL-algebras[J].Neural Computing and Application，2014(18)：378-385．

[6] BUSNEAG D，PICIU D. A new approach for classification of filter in residuated lattices[J].Fuzzy Sets and Systems，2014，260：121-130．

[7] BUSNEAG D，PICIU D. Some types of filters in residuated lattices[J].Soft Computing，2014，18(5)：825-837．

[8] MOTAMED S，SAEID A B. N-fold obstinate filters in BL-algebras[J]. Neural Computing and Applications，2011，20(4)：461-472．

[责任编辑：谢 平]

Characterization and structure ofn-fold filter in the residuated lattice

LIU Li-jun

(School of Mathematics and Computer Science，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723000,China)

In this paper,the concept ofn-fold implicative filter,n-fold fantastic filter,n-fold positive implicative filter andn-fold boolean filter are introduced in residuated lattice. By studying their properties and characterizations,the relations among thesen-fold filter are discussed systematically. The results of the study further extend the filter theory of the residuated lattice,The relationship between the concept of then-fold filter on the residual lattice is clearer and perfect.

residuated lattice；n-fold implicative filter；n-fold fantastic filter；n-fold positive implicative filter；n-fold boolean filter

2096-3998(2017)03-0081-04

2016-12-05

2017-02-17

国家自然科学基金资助项目(11401357)；陕西理工大学科研基金资助项目(SLGKY16-02)

刘莉君(1980—)，女，陕西省城固县人，陕西理工大学讲师，硕士，主要研究方向为模糊数学与逻辑代数。

O159

A