《不等式及其解集》教学实录与评析

郑佩芳　刘小红

一、创设情境，探索发现

师：今天，我很开心能够和大家一起上这节课。大家知道我来自哪里吗？

生：不知道。

师：先留个悬念吧，一会儿我请大家看一段视频，同学们要认真看，因为我们将要完成导学案的第1题。（播放音乐视频《坐上高铁去贺州》）

师：同学们，现在你们知道我来自哪里了吗？

生：贺州。

师：没错！贺州有很多漂亮的风景区，口碑也很不错，欢迎同学们邀上爸爸妈妈、亲朋好友乘坐高铁到贺州——我的家乡来做客。

【评析】通过课前谈话、播放视频，学生对执教老师从陌生到熟悉。

师：看完了视频，请你们完成导学案第1题。

课件出示导学案第1题：五一劳动节快到了，小明准备和父母自驾去贺州市国家森林公园姑婆山游玩。

（1）若小明身高为a米，那么根据儿童门票身高新标准：①当a满足 时，他可以免票；②当a满足 时，他该买全票；③当a满足 时，他该买半票。

（2）已知小明家到贺州市国家森林公园姑婆山的距离为30千米，他们11∶20从家里出发，汽车以x千米/时的速度匀速前进：①若该车计划在中午12∶00准时到达，可列算式 ；②若该车计划在中午12∶00之前到达，可列算式 ；③若该车超过中午12∶00到达，可列算式 。

（3）请你将以上这些式子进行分类，并说明理由。

针对问题1（1），学生列出算式：①a≤1.1；②a1.5，a≥1.5；③1.1a≤1.5。师板书算式并进行简单分析：a1.5和a≥1.5哪一个正确？最终确定答案为a1.5。接下来，针对问题1（2）（3），教师引导学生回忆视频中出现的两个关键时间点11∶20和12∶00，（2）①可列算式（12-11）×60-20，经计算得出答案为40分钟，即[23]小时。两名学生列出了式子[23]x=30，若该车12：00之前到达，应有（2）②的答案[23]x[]30；若该车超过12：00到达，则有（2）③的答案[23]x30。教师指导学生从路程、速度、时间的关系去进行解释。

【评析】学生在小学阶段对不等量关系、数量大小的比较等已经有所了解，导学案中的第1（1）（2）题，可起到復习巩固旧知识和为学习新知做铺垫的作用。

师：我们得出了以上这些算式，你可以将它们进行分类吗？请说明理由。

学生独立完成导学案中的探索发现第1（3）题，完成后进行展示。

生1：我把它们分成了两大类，第一类是：a≤1.1，a1.5，1.1a≤1.5，[23]x30，[23]x30；第二类是[23]x=30。理由是根据算式的符号进行分类，[23]x=30是等式，其余含有“≤”“”“”符号的是不等式。

生2：我把这些算式分为三类，第一类是a1.5，[23]x30，[23]x30，第二类是[23]x=30，第三类是a≤1.1，1.1a≤1.5，理由是第一类是不等式，第二类是等式，第三类既不是不等式，又不是等式。

师：那它是什么？

生2：不知道。

师：这位同学不知道这一类式子是什么式子，那么我们这节课就来研究这一类式子吧。（引导学生归纳：用等号表示相等关系的式子叫做等式。）

师：你能类比等式的定义给这些式子下一个定义吗？

生3：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式。

师：这位同学说的对不对呢？请同学们翻开课本第114页，找到不等式的定义，并把它画出来（板书课题，生齐读课题）。

师：定义中有哪些关键词？

生：不等号、不等关系。

师：把它们圈起来。

【评析】学习了新的概念后，执教老师引导学生回归课本，让学生加深对概念的理解，学习用数学语言描述概念，这样做有利于提高学生的数学理解力。

师：在小学阶段，我们常见的不等号有哪些？

生：，，≥，≤，≠。

师：（板书常用不等号）这是我们学过的不等号，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式。这位同学，刚才你分出的第三类式子，现在有答案了吗？

生2：有了。

【评析】执教老师让学生经历将实际问题抽象出不等式的过程，用类比的方法引出不等式的概念，再从定义出发引导学生解决学习中遇到的问题，整个教学过程思路清晰，体现了较强的教学组织能力。

师：生活中有很多这样的不等关系，同学们可以说一说生活中不等关系的例子并用不等式表示出来吗？请同学们完成导学案第2题。

生讨论交流，学习小组进行展示。（过程略）

师：同学们列举了很多生活中的案例，这说明数学就来源于我们的生活。我们学习了数学，又该怎么做呢？

生：服务于生活。

【评析】执教老师请学生说一说生活中的案例，体现了以学生为主体的教学理念，让学生知道生活中处处有数学、数学服务于生活，从而体会数学的意义。

二、乘胜追击，再得新概念

师：继续回到小明的问题上来，姑婆山的庙会12点开始，小明跟爸爸说要在12点之前到达姑婆山。请问爸爸开车的速度应该满足什么条件？请看导学案第3（1）（2）题。

3.根据第1（2）②题的结论，知有不等式[23]x30。请思考下面两个问题。

（1）下列哪些数能够使不等式[23]x30成立？42 45 48 51

（2）请你再写出两个使得这个不等式成立的x的值，这样的值有多少个？

学生四人小组交流后展示。

生1：[23]×42和[23]×45的算式值分别是28、30，因此，当x等于42、45时，不等式不成立；[23]×48和[23]×51的算式值分别是32、34，所以当x等于48、51时，不等式成立。

生2：[23]×54和[23]×57的算式值分别是36、38，值都大于30，因此，当x等于54、57时，小明也可以提前到达姑婆山。

师：像这样的值有多少个呢？

生2：无数个。

师：同学们有不同的答案吗？

生：（齐）没有。

师：我有个疑惑，第一位同学说第（1）题是用代入法得到答案的，算式值分别是48、51，能够使不等式成立。我们在上册学习了方程，使方程成立的未知数的值称之为方程的解，48能够使这个不等式成立，那么我们可以类比方程的解的定义给48一个名称吗？

生：（齐）不等式的解。

师：不等式的解有多少个？

生：（齐）无数个。

师：我们把无数个解聚集在一起，是不是也可以给它一个名称呢？可以叫做什么？

生：解集。

师：对，这是不等式的解集。通过这两道题，我们得出了两个定义，这两个定义是类比哪一个知识点得到的呢？

生：方程。

师板书数学思想方法——类比。

【评析】执教老师在教学中引导学生领会数学思想方法，提升了学生的数学思维品质。

师：请同学们在课本中分别找出不等式的解以及不等式的解集的定义，把它们画出来。

师：刚才我们得出了两个定义，发现了x45这个不等式的解集，那么不等式的解和不等式的解集一样吗（课件出示问题）？

生：（齐）不一样。

生1：不等式的解只有一个，而不等式的解集有无数个。

生2：我不同意。不等式的解有无数个，不等式的解集就是把所有的解汇聚在一起。

师：这位同学总结得很到位，掌声鼓励。

【评析】执教老师及时对学生进行鼓励和肯定，增强了学生的学习自信心，能够促使他们更加积极地参与到学习活动中。

师：（总结）不等式的解是不等式的解集中的一个数。接下来，请同学们看这道题（课件出示题目）。

练习题：下列说法正确的是（ ）

A. x=3不是2x1的解。

B. 2x1的解是x=3。

C. x=3是2x1的解。

D. x=3是2x1的解集。

生1：答案是C。把x=3代入算式发现，选项A是错的，选项B的解不止一个，选项D的解集由很多个解组成，这是它的解而不是解集。

全体学生表示赞同该同学的说法。

师：看来同学们已经能够区分不等式的解和不等式的解集了。我们在学习方程时，把求方程的解的过程叫做解方程，那么求解不等式的解集的过程，应该把它叫做什么呢？

生：解不等式。

师：请同学们在课本中找到解不等式的定义。

生齐读解不等式的定义，师板书概念。

师：刚才我们得出了爸爸开车的车速要大于45千米/时才能准时到达目的地，为了安全起见，我们平时开车的车速可不能太快。

【评析】在讲解不等式的解集时，执教老师提到了开车时车速不能太快，把课堂教学延伸到了现实生活中的交通安全教育，发挥了数学的育人功能。

师：如何表示一个不等式的解集呢？请同学们看导学案第3（3）题。

生交流讨论，师巡视指导，四人小组进行展示。

生1：表示所有的值，我有兩个方法：一是通过计算得出x45，这个不等式成立；二是利用数轴，这是表示45的点（手指数轴），大于它的点表示的都是x的值。

教师询问小组内其他成员的意见。

生2：表示45的这个点不能画成实心，应该是空心的圆圈。

生3：可以用文字表示为“x大于45”。

师：其实，用数学式子表示更为简洁、直观。你还有别的表示方法吗？

生摇头表示没有。

师：我有一个疑问，刚才这位同学说用数轴来表示x的值，另一位同学说要用实心的点表示，但有同学提出要用空心的圆圈表示，这是为什么？

生2：因为空心的圆圈表示x45，实心的点表示x≥45。

师：为什么等于要用实心的点表示，不等于要用空心的圆圈表示呢？

生2：因为空心的点表示x大于45，实心的点表示x等于45。

师：（追问）为什么“等于”要用实心的点表示，“不等于”要用空心的圆圈表示？

生2：（挠挠头）老师，你来讲吧。

全班学生大笑。

师：（笑）看来我提出的问题还是得由我来解决。在上册学习数轴的时候，我们知道数轴上的每一个实心的点都表示一个数，那么包含了45这个数就应该用实心的点来表示，不包含45这个数又要怎么处理呢？这个数能取吗？

生：不能。

师：所以我们就得把它挖掉，用一个空心的圆圈来表示。我还有一个问题。为什么大于45，数轴的方向往右边走呢？

生3：因为右边是正方向，往左边走的话，数会变得越来越小。

师：在数轴上，越往右边的数越大，那么，问题又来了，如果x小于45，我们该怎么画呢？

生：（齐）往左边画。

师：45这个点怎么处理？

生：画成空心的圆圈。

师：如果是x≥45呢？

生：（齐）画成实心的点。

师：方向呢？

生：往右边。

师：如果是x≤45呢？

生：实心的点，往左边画。

师：我明白了。你们明白了吗？

生表示明白。

师：由这个小组的展示我们发现，不等式的解集有多少种表示方法？

师生共同归纳总结得出两种方法，师板书：有两种表示方法，一种是用数学算式表示，一种是用图形表示。

师：将数与形结合起来，也就用到了数形结合的数学思想。（板书：数形结合）问题又来了，既然我们可以用数轴表示不等式的解集，那么画数轴有哪些步骤？你能归纳出来吗？

生思考后，师生共同归纳得出用数轴表示解集的步骤。（1）画数轴；（2）定界点；（3）定方向，用数轴表示不等式的解集，记住以下规律：大于向右画，小于向左画；有等号（≥，≤）画实心点，无等号（，）画空心圆圈。

不等式的解集一般来说有以下4种情况（a表示一个具体的数）：（1）xa；（2）xa；（3）x≥a；（4）x≤a。四种情况都可用数轴表示。

【评析】执教老师从问题出发，让学生经历从特殊到一般的探究过程，得出三个概念，再引导学生思考如何表示不等式的解集的问题，突出了教学重点，突破了教学难点。在这个教学过程中，执教老师恰当引导，用层层递进的问题带动了学生的思考，师生互动融洽，学生思维活跃，使观课者对接下来的教学充满了期待。此外，学习了新知后，师生共同归纳得出结论并形成文字，强化了记忆，使学生对所学知识有了更深刻的理解。

三、小试牛刀

用不等式表示图中所表示的解集。

教师以“开小火车”的方式让学生口答，引导学生找出回答错误的原因。

【评析】执教老师设置这道练习题，让学生对不等式的解集的内涵有了更深刻的理解，也让学生对用数轴表示不等式的解集的方法掌握得更熟练。

四、总结反思，感悟提升

师：这节课你学到了什么？掌握了哪些數学思想？有什么困惑？

生：我有个问题，约等号是不等号吗？

师：约等号是不等号吗？关于这个问题，同学们先交流讨论，下节课老师再为大家解答。

【评析】执教老师在学生畅所欲言的时候，课件呈现一棵树不断生长出枝叶（以本节课所学知识为枝叶），直至长成茂盛的大树，这样有助于学生回忆本节课的学习过程，形成知识结构，提高归纳总结能力和反思能力。

五、布置作业，分层落实

必做题：课本第115页练习1、2、3。

选做题：已知关于x的不等式x1+a的解集如下图所示，则a的取值是多少？

【评析】设计有梯度的练习题，让不同学习层次的学生都能“摘到果子”获得成功，从而体验到学习的快乐。

【总评】

这是郑老师在《广西初中课程数学资源库建设》第一期优秀成果展示活动中的一节课例展示。在这节展示课中，师生配合默契，学生积极参与，课堂教学高潮迭起，让人产生一种意犹未尽的感觉，主要体现在以下两个方面。

一、情境设计巧妙、新颖

郑老师对教材进行了巧妙的改编，制作了微视频，将数学问题融入视频中，还原了知识发生、发展的过程。视频之后的谈话，拉近了师生之间的距离，增进了师生之间的情感。这样的教学设计，在教学伊始就紧紧地吸引住了学生，让学生在轻松愉悦的情境中进入学习状态，培养了学生的观察能力和动手能力。整节课的教学以情境中的问题为主线，让学生体会到了这是一个为解决问题而学习新知的过程，从而对数学有了更深刻的领悟。

二、经历真实的探究、创造、协作与问题解决过程

教学中，郑老师为学生提供了充分参与数学活动的时间与空间，学生大胆发言，教师适时指导，师生在互动交流中得出结论，从而发展了学生的核心素养。例如，当学生碰到问题时，郑老师及时给予点拨、引导，但又不是包办代替；当学生的探究不够深入时，郑老师把自己定位为学生的角色，站在学生的角度提出问题，引发学生的思考，放大了师生共同作为学习者的特征，使师生进入教中有学、学中有教的学习状态。

（责编 欧孔群）