最佳合影

卢声怡

上一期，孔老师和弟子们利用手指解决了一道关于周期的难题，让我们体会到了手指尖上的智慧。这一期，画师给大家出了一道排列组合难题，会难倒他们吗？来，我们看故事吧！

杏坛学校本学期的学习即将结束，我对班上的同学们提议，说：“学期快结束了，我们请画师来给全班师生画个合影吧！上周末我回家，爸爸妈妈专门请了个画师来画全家福。我觉得我们班也是一个大家庭，也可以画一张‘全家福。”

大家一听，都赞同，商量第二天在杏湖边排好位置再画，最重要的是，要把孔老师叫上。

第二天，大家都来到杏湖边。湖边的银杏树已经落了叶，满地金黄，蓝天碧水，赏心悦目，这真是一个适合出来放松的天气。

到场的共有9人，颜回、子路、我（子卢）、闵损、宰予、子贡、冉有、言偃和曾参。师母带孔鲤去镇上新开的儿童乐园玩，而孔老师去送他们，要过会儿才到。不过，咱们9位同学一聚集，就已经七嘴八舌，相当热闹了。这也难怪，平时孔老师上课太有趣，我们都把精力全放学习上了，没空聊学习之外的事。

今天请来的画师是爸爸帮我约的，是镇上最有名的吳画师。听说他的技艺非常高超，尤其擅长画阴影和立体，画出来的人物栩栩如生。唯一的缺点就是——收费太贵，所以镇上的人们都舍不得画一张单人的，而多是请吴画师画全家福。这样一来，就发展出了一种新的画——合影画，而吴画师也成了鲁国这方面最知名的工匠。

吴画师没想到是要画这么多人的合影，看到我们就愣住了。这也难怪，镇上的人们都是请他画家里人的合影，最多不过五六人。

他想了一下，对我们说：“我呢，来得匆忙，没想到你们这么多人，颜料不够，现在我要回家取。”

子路不高兴了：“你是打算把我们晾在这儿？”

“不不不，”吴画师连忙解释，“我去去就来，去去就来。对了，你们不如用我去取颜料的时间，想一想你们怎么排列吧！”他打量了一下我们，又说：“你们不是9人吗？等你们9人把所有的排列都试一遍，我就回来了。到时候，只要你们告诉我一共有多少种不同的排列方法，我就免费帮你们画一张合影，怎么样？”

“太好啦。”同学们纷纷赞成。

子路还对吴画师说：“那你赶紧去吧，我们还要研究研究呢。”

吴画师背着他的画具走了，我们开始研究。

子路突然有个想法：“不如我和子贡、子卢暂且当一下‘道具，大家先研究一下3人排列的规律吧。”

“对！实际操作能让我们更快看出规律。”子贡爽快地表示同意。

我摊摊手，说：“这简单呀，一共6种排法。从左往右，我子路子贡、我子贡子路、子路我子贡、子路子贡我、子贡我子路、子贡子路我。”

宰予笑了起来：“你这倒有点像孔老师整理的‘诗三百了，不过孔老师整理的都是四字一句，你这是五字一句，还真绝。”

“我这就叫——‘五言绝句。”我得意地说。

“你厉害，我觉得你可以算我们三人中的主角，还是你站在中间好了，这样有几种不同的排法呢？”

“这样就更简单了。”我用双手做了个交换的动作，“我在中间不动，你们两人一交换，排法只有2种。”

颜回笑着指指我：“你有没有发现这种情况下，排法的数量和没你在是一样的。你这主角还真是‘重要呀！”

“呃。”

看到我、子路和子贡轮流变换着位置，大家都觉得很有意思，纷纷组成几人小组，试验起来。有“同组人组合”，有“前后桌组合”，还有“学霸组合”“死党组合”“爱吹牛组合”等。

经过试验，大家觉得对3人排列非常有把握了。3人排列最关键的，就是要让其中一个人固定不动，然后调整另外两个人，一共有6种排法。

如果是4人，那么第一个人不动时，其他3人有6种排法，这样一来，4人轮流作为第一个，就有4×6=24（种）不同的排法。

“是的。第一个位置让谁站，有4种选择；第一个位置站好后剩下三个人，第二个位置有3种选择；第三个位置有2种选择；到第四个位置，只剩一个人没站好，只有1种选择。”

“一共就有4×3×2×1种选择。”

同学们七嘴八舌地互相补充着，似乎已经找到了排列规律。

“我们9人一共有多少种排法呢？我们来试一试吧。”

颜回摇头，对宰予的提议补充：“我们要给孔老师留一个位置，等他回来，就可以加进来了。”

“孔老师的位置吗？好办，我去搬来。”子路话刚说完，人已经跑得没影了。一会儿，他就面不改色心不跳地搬来了孔老师书房里的大椅子。

子路把椅子一把放在正中间，说：“孔老师当然是坐中间了。”

“有道理。我想挨着孔老师。”

“我也想。”

“不如我们都紧挨着孔老师吧。”

“那不就把孔老师‘包成一个球了？”

大伙儿议论纷纷，最后不知谁说了这么一句话，把大家都逗乐了。回头一看，孔老师就站在我们身后。原来，刚刚那句话是他说的！

不过，我们看到孔老师脸上带着微笑，看来并没有生气，大家吐吐舌头，也就释然了。

颜回把刚才吴画师说的话跟孔老师报告了一遍。

孔老师的笑容凝结在脸上。

“你们不知道9人排列一共有多少种排法？”

“知道呀，我们刚才研究了3人和4人的情况，发现排列其实是分步做的。第一步是先选出一个人站第一个位置，一共有多少人就有多少种选择；然后选第二个人站第二个位置……计算时，把每一步的选择数相乘就是排列方案的总数了。”

“9×8×7×6×5×4×3×2×1种。”颜回作为班长，总结了大家的说法。

“你们算一算得数。”孔老师的话，让同学们都纷纷找工具计算起来。

还真是不算不知道，一算吓一跳，居然有362880种排法，这还只是9人的情况，或者说是把孔老师固定在中间的大椅子上。

如果不把孔老师固定在中间，那就变成了10人排列，有3628800种。这真是一个巨大的数呀！一年最多有366天，一天排1种，要排上快10000年。如果每天排10种，也要近1000年。每天排100种，差不多要100年……

我看着吴画师消失的方向，喃喃地说道：“看来吴画师是不会回来了！”

数学点睛：排列组合，可以称为“搭配的学问”，它将贯穿我们学数学的整个过程。除了要知道分步做的事情用“乘法原理”，分类做的事情用“加法原理”之外，我们还应当多了解一些有趣的现象。例如在排列中当把一个人固定在某个位置时，其实是不必计算的（相当于1）。再比如从1到10的所有自然数的乘积叫10的阶乘，可以用“10！”表示，这是一个很大的数哟。