贝叶斯公式的推广

2017-06-23王彩琴

数学学习与研究 2017年11期

王彩琴

【摘要】贝叶斯公式是概率论中很重要的公式，在概率论的计算中起到很重要的作用.本文举例说明了推广后的公式在实际应用中所适用的概型比原来的公式更广.从而使我们更好地了解到贝叶斯公式存在于我们生活的各个方面，贝叶斯公式在我们的日常生活中非常重要.

【关键词】贝叶斯公式；概率；推广

一、贝叶斯公式的应用

（一）贝叶斯公式在医疗诊断上的应用

例1 某地区肝癌的发病率为0.0 004，先用甲胎蛋白法进行普查.医学研究表明，化验结果是可能存在错误的.已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而没有患肝癌的人其化验结果99.9%呈阴性（无病）.现某人的检查结果呈阳性，问其真患肝癌的概率是多少？

解记B为事件“被检查者患有肝癌”，A为事件“检查结果为阳性”，由题设知：

P（B）=0.0004，P（B）=0.9996，

P（A|B）=0.99，P（A|B）=0.001.

我们现在的目的是求P（B|A），由贝叶斯公式得

P（B|A）=P（B）P（A|B）P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）

=0.0004×0.990.0004×0.99+0.9996×0.001=0.284.

这表明，在检查结果呈阳性的人中，真患肝癌的人不到30%.进一步降低错检的概率是提高检验精度的关键，在实际中由于技术和操作等种种原因，降低错检的概率有时很困难的.所以，在实际中，常采用复查的方法来减少错误率，或用另一些简单易行的辅助方法先进行初查，排除了大量明显不是肝癌的人后，再用甲胎蛋白法对被怀疑的对象进行检查，此时被怀疑的对象群体中，肝癌的发病率已大大提高了，譬如，对首次检查的人群再进行复查，此时P（B）=0284，这时再用贝叶斯公式计算得

P（B|A）=0.284×0.990.284×0.99+0.716×0.001=0.997.

这就大大提高了甲胎蛋白法的准确率了.

（二）贝叶斯公式在市场预测中的应用

例2 为了帮助买旧车的人了解各种旧车的质量和性能，國外出版一种专门介绍各品牌旧车以及各年代不同车型各主要部件质量数据的旧车杂志.比如，有个买主想买某种型号的旧车，他从旧车杂志上可发现这种旧车平均有30%的传动装置有质量问题.除了从旧车杂志上寻找有关旧车质量的信息外，在旧车市场上买旧车时还需要有懂车的内行来帮忙.比如，可以找会修车的朋友帮忙开一开，检查各主要部件的质量.因为旧车杂志上给出的是某种车辆质量的平均信息，就要买的某一辆车来讲可能是好的传动装置，也可能会有问题.比较常见的方法是花一点钱请个汽车修理工帮忙开几圈，请他帮助判断一下传动装置和其他部件的质量.当然，尽管汽车修理工很有经验，也难免有判断不准的时候.假定从过去的记录知道某个修理工对于传动装置有问题的车，其中90%他可以判断出有问题，另有10%他发现不了其中的问题.对于传动装置没问题的车，他的判断也差不多同样出色，其中80%的车他会判断没问题，另外的20%他会认为有问题，即发生判断的错误.根据这些已知信息，请你帮助买主计算如下问题：

（1）若买主不雇用修理工，他买到一辆传动装置有问题的车的概率是多少？

（2）若买主花钱雇修理工帮他挑选和判断，当修理工说该车“传动装置有问题”时，该车传动装置真有问题的概率是多少？

（3）当修理工说该车“传动装置没问题”时，而该车传动装置真有问题的概率是多少？

解第（1）问是简单的，即有30%的可能性买到一辆传动装置有问题的旧车，我们在这里只利用旧车杂志的信息.

第（2）问和第（3）问是贝叶斯估计或者利用贝叶斯公式进行决策的问题.

（2）

我们不妨令：

A1=实际有问题，A2=实际没问题，

B1=修理工判断“有问题”，B2=修理工判断“没问题”.

则可将贝叶斯公式改写成：

P（实际有问题|修理工判断“有问题”）

=P（A1）P（B1|A1）P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B1|A2）.