我国城乡收入差距的统计建模——基于各省纵向数据的MERS模型的实证分析

吴士宝， 郑 列， 罗幼喜

(湖北工业大学理学院， 湖北 武汉 430068)

我国城乡收入差距的统计建模
——基于各省纵向数据的MERS模型的实证分析

吴士宝， 郑 列， 罗幼喜

(湖北工业大学理学院， 湖北 武汉 430068)

使用回归样条线混合效应(MERS)模型，基于各省份的纵向数据，对城乡收入差距与经济增长的关系进行统计建模，证实无论是全国还是各省份城乡收入比与对数人均GDP均存在库兹涅茨曲线的倒U关系。对各省份样本的库兹涅茨曲线的拐点处的人均GDP以及到达拐点的时间的分析表明，我国各省在2010年以后均进入了库兹涅茨曲线的下降区域，城乡收入差距有望进一步缩小。

城乡收入差距； 回归样条线混合效应； 库兹涅茨曲线

进入21世纪以来，我国经济发展迅速，同时，收入差距(包括城乡收入差距，区域间收入差距以及社会各阶层的收入差距)也发生了较大变化，由一个收入较均衡的国家转变为一个城乡间、区域间、各阶层收入差距较大的国家[1]。城乡收入差距是衡量收入差距的一个重要指标。城乡收入差距问题已经成为各省乃至全国不可忽视的社会问题[2]，这一问题是否能够得以解决关乎社会能否和谐发展、共同富裕的目标能否得以实现。

经济学家库兹涅茨[3]在20世纪50年代中期，通过对欧美发达国家的经济发展资料的研究，提出了“库兹涅茨曲线”假说，认为收入不平等与经济发展之间存在着倒U型关系，即随着经济的增长，收入差距会先经历一个迅速扩大，然后短暂的稳定，最后逐渐缩小的过程。这一假说无论在理论上还是在实证分析上，都引起了激烈的争论[4]。

本文选取了2002-2012年全国31个省、自治区、直辖市的纵向数据，对我国城乡收入差异的库兹涅茨曲线进行基于MERS(回归样条线混合效应模型)模型的统计建模。MERS模型是非参数混合效应模型的一种.它克服了使用参数模型所受的模型设定的限制，如：对城乡收入差距与经济增长关系的研究，若采用参数模型，则必然假定其具体函数形式，现有研究多采用二次多项式形式，这样一来，拟合曲线只可能是U型或者倒U型，即使实际曲线并非如此。非参数模型则可克服这种限制，通过平滑参数的选择，还原其曲线的真实面目。

1 数据来源及处理

本文所用的数据来自国家统计局网站。由于2013年以后城乡人均收入统计方法发生改变，造成数据缺失的问题，本文选取的数据为2002-2012年各省、自治区、直辖市的纵向数据。响应变量为城镇居民人均可支配收入与农村居民人均纯收入的比值Rur，预测变量为人均GDP的对数ln GDP。

2 研究方法

MERS模型是非参数混合效应模型的一种，以Rur为响应变量，ln GDP为预测变量的典型非参数模型混合效应模型记作以下形式[5]：

(1)

这里η(ln GDP)为纵向数据的平滑均值函数，也叫做固定效应函数；viln(GDP)刻画了个体函数对总体均值函数的偏离，叫做随机效应函数。εij是不能为模型所解释的测量误差函数。

在MERS模型中，常使用含有K个结点(τ1，τ2，…,τK)的k阶截断多项式基Φp(ln GDP)为η(ln GDP)构建估计值，使用含有Kv个结点(δ1，δ2，…,δKv)的kv阶截断多项式基Ψq(ln GDP)为vi(ln GDP)构建估计值。则可用下式表示回归样条线：

(2)

这里

β=[β0,β1,…,βk+K]T

bi=[bi0,bi1,…,bi(kv+Kv)]T,i=1,2,…,n

为系数向量。记

xij=Φp(ln GDPij),zij=Ψq(ln GDPij),

Xi=[xi1,…,xini]T,yi=[Ruri1,…,Rurini]T,

R=diag(R1,…,Rn),

则式(1)可以记为以下矩阵形式

y=Xβ+Zb+ε,

(3)

在D和R已知的情况下，通过加权最小二乘法可得以下估计量[6]：

(4)

这里

V=diag(V1,…,Vn),

若D和R未知，则可使用通过EM算法迭代得到的估计值代替D和R。

在所有结点处的η(ln GDP)拟合值可以记作：

这里

A=X(XTV-1X)-1XTV-1

而vi(ln GDP)在结点的拟合向量可以记作：

这里

3 模型应用

3.1 结点选择与基函数个数的选择

结点选择采用等间距样本分位数结点选择方法[7](EquallySpacedSampleQuantilesasKnotsMethod)，原理如下：令ln GDP(1),ln GDP(2),…ln GDP(n)为结点的次序统计量。则其K个结点定义如下：

τr=ln GDP(1+[rn/(K+1)]),r=1,2,…,K,

这里[a]表示a的整数部分。

为了方便计算，本文采用最常用的做法，选取三次回归样条线，即k=3。p，q选择应同时考虑两个方面：拟合优度和模型的复杂性，本文的选择标准为AIC，对于MERS模型，其定义如下：

AIC=-2Loglik+2[df+dfv]

df=tr(A),dfv=tr(Av)

通过R语言lme4程序包，尝试不同的p，q组合，得出p=7，q=4时AIC最小，为-231.299。

3.2 构建总体均值函数及其估计值

使用R语言lme4程序包的lmer函数对式(3)求解，则可以得到η(ln GDP)的MERS估计值：

图 1 Rur总体均值函数图像

图1可以看出，Rur总体均值函数呈现出倒U形态，与库兹涅茨假说相吻合，城乡收入差距最大时，即城乡收入差距开始降低的人均GDP为15 142元。

3.3 构建各省、自治区、直辖市的个体函数的估计值

各省、自治区、直辖市的个体函数si(ln GDP)的估计值

利用R语言lme4程序包的predict函数对样本进行估计，得到每个省、自治区、直辖市的城乡收入差距Rur的个体函数，并估计个体城乡收入差距达到极值点极值点的人均GDP，得到表1。

表1 各省份进入拐点的时间、拐点处的人均GDP

图 2 随机挑选的4个个体的个体拟合曲线

4 结论

本文通过研究31个省、自治区、直辖市的纵向数据，对我国城乡收入差距进行基于MERS模型的非参数统计建模，实证分析表明我国的城乡收入差距总体上支持库兹涅茨曲线，各省、自治区、直辖市样本的城乡收入差距呈倒U曲线，从而支持了库兹涅茨的假说。通过对样本的分析可以发现，我国各省、自治区、直辖市的城乡收入差距大致在2010年以后全部进入了倒U曲线的下降区域，表明我国的城乡收入差距有望在今后一段时间，继续逐步缩减。其中黑龙江省、西藏自治区、新疆维吾尔自治区在2002年以前就已经进入了倒U曲线的下降区域。通过分析样本城乡收入差距拐点，到达拐点的人均GDP，以及到达拐点的时间，发现农业比重较大的省、自治区、直辖市，到达拐点的人均GDP值越低，且越早到达拐点。

为进一步缩小城乡收入差距，各省、自治区、直辖市应该从结构转变入手，加快对农业部门的现代化改造，推进城乡一体化，大力发展农村非农产业、乡镇企业，促进城乡均衡发展。

[1] 王小鲁，樊纲. 中国收入差距的走势与影响因素分析[J].经济研究，2005(10)：24-36.

[2] 刘荣添，叶民强.中国城乡收入差异的库兹涅茨曲线研究——基于各省份面板数据(1978-2004)的实证分析[J].经济问题探索，2006(6)：9-13.

[3]KuznetsS.Economicgrowthandincomeinequality[J].AmericaEconomicReview,1955(1):1-28.

[4] 邵红伟，靳涛.收人分配的库兹涅茨倒U曲线——跨国横截面和面板数据的再实证[J].中国工业经济，2016(4)：22-38

[5]WuHulin,ZhangJin-Ting.Nonparametricregressionmethodsforlongitudinaldataanalysis[M].Wiley-Interscience,2005:130-136.

[6]EubankRL.Nonparametricregressionandsplinesmoothing[M].NewYork:MarcelDekker，1988:12-101.

[7]WoldS.Splinefunctionsindataanalysis[J].Technometrics,1974(16):1-11.

[责任编校： 张 众]

Statistical Modeling of Urban and Rural Income Gap of China —An Empirical Research Based on MERS Model of Longitudinal Data

WU Shibao, ZHENG Lie, LUO Youxi

(SchoolofScience,HubeiUniv.ofTech.,Wuhan430068,China)

The relationship of urban and rural income gap and economic growth of China and its provinces is modeled through using mixed effects regression splines(MERS) model,based on longitudinal data of China's provinces.It is verified that there exists a converse U curve relation,which Kuznets curve indicates,between urban and rural income ratio and the logarithm of GDP per capita.Then GDP per capita of each province at the inflection point of Kuznets curve,and the year when the sample reached the the inflection point are estimated.After the analysis of the samples,it is revealed that all provinces of China have entered the decreasing part of Kuznets curve, and consequently ,urban and rural income gap is expected to be narrowed in the next few years.

urban and rural income gap；MERS；Kuznets Curve

2017-02-17

国家人社部国家留学人员科技活动择优资助项目(鄂人函「2013」277号)；国家自然科学基金(HBSkFM2014001)

吴士宝(1982-)， 男， 山东省泰安人，湖北工业大学理学院讲师，硕士研究生，研究方向为纵向数据非参数回归

郑 列(1963-)，男，湖北英山人，湖北工业大学教授，研究方向为应用数学

1003-4684(2017)02-0114-04

F126.2

A