零售商发行购物卡时的产品订货与定价决策研究

宫 帅，张钦红

(上海交通大学 中美物流研究院，上海 200030)



零售商发行购物卡时的产品订货与定价决策研究

宫 帅，张钦红

(上海交通大学 中美物流研究院，上海 200030)

零售商发行购物卡时的产品订货与定价决策问题.分析不发行购物卡时，当终端需求依赖于零售价格且随机时，零售商的订货与定价联合决策问题；在上述模型基础上，进一步给出购物卡发行背景下，当购物卡的需求量不受产品终端定价影响时，零售商的订货与定价联合决策问题；进而通过数值模拟分析得到购物卡对产品订货与定价的影响.研究结论表明，一定条件下，发行购物卡将提升零售商的订货量、产品销售价格以及期望利润.

购物卡；订货；定价；需求依赖价格；随机需求

当前，购物卡(又称商业预付卡)在国内外零售行业中得到了广泛应用，处于高速增长状态.在国外，2003年加拿大零售行业的购物卡收入在圣诞节期间的占比为53%，两年后这一数据为82%，而2008年该国零售商购物卡销售收入近35亿美元[1]；在美国，购物卡已成为位于服装之后的第二位最受欢迎礼品，2007年美国消费者每年在购物卡的消费就已高达800亿美元[2]；据Package Facts发布的最新报告显示，美国预付卡市场规模2012年增长至2 475亿美元，年增幅达到22.4%，交易笔数增长100亿笔.此外，据波士顿咨询预测：2017年除美国之外的德国、意大利、英国、西班牙是发卡市场增长最快的市场，这些市场的预付卡规模将达到4 050.9亿美元；新兴国家中的巴西将在2017年增长至170亿美元.

商业预付卡在我国也得到了广泛的应用，据《2012年商业预付卡行业报告》统计，我国2011年商业预付卡的发行规模约为21 835亿元，同比增长18.29%，销售金额占营业收入比重达12%.而商务部统计数据则显示，截至2013年5月，全国已有29个省(自治区、直辖市)的2 238家单用途预付卡发卡企业完成备案，集团发卡企业137家，品牌发卡企业92家，规模发卡企业1 588家.而上海市备案的大型发卡企业已有47家，每年购物卡的年消费总金额已经达到500亿元以上.在购物卡发行企业中，超市、百货业态在交易笔数占绝对主导地位，如大润发、苏果、农工商、沃尔玛、八佰伴、家乐福、卜蜂莲花等.北京昭邑零商咨询公司曾表示诸多百货公司超过20%的销售收入来自购物卡，像南京等地区，百货公司甚至高达30%的销售收入来自购物卡[3].

根据使用范围的不同，可以将购物卡分为单用途型与多用途型，前者用于限定范围内的产品购买，如糕点连锁企业发行的月饼购物卡，仅用于兑换其门店内的月饼产品，具有产品指向性；后者则无具体的产品使用限制，具有通用特点，如由商场超市发行的可购买多种品类产品的购物卡.以2011年北京和上海两地为例，单用途型购物卡占比高达发卡规模总额的85%[4].

购物卡对消费者和零售商具备众多吸引力.对于消费者来说，购物卡相比于其他礼品更加便捷，在互联网时代便利性更加突显，且具有一定的避税功能.对于零售商而言，购物卡具有以下优势：第一，购物卡提前支付所带来的资金时间价值.第二，购物卡可以转移，扩大潜在消费群.第三，消费者由于购物卡过期、损毁、零头放弃等各种原因，使得零售商获得无成本利润，有报告称此比例占发卡总额的8%～16%[5].第四，消费者使用购物卡时可创造额外的销售额，调查显示45%的持卡者将超额消费，平均消费超出购物卡面值约20%[6].

1 文献综述

与本文相关的研究包括如下两个研究领域，即关于购物卡的研究和随机需求下的订货与定价联合决策研究.

购物卡具有重要的营销作用，因此得到了营销学界的关注. 张瑞友等[7]从定量角度推导了购物卡的价值和底线价值的计算公式，进而得到了购物卡买卖价格的合理范围，并对单一商品的购买方案进行了分析. Gujarathi[8]则以一家零售公司为例，研究其同时销售其它零售商购物卡的情况，并重点研究了发行购物卡时财务报表中的相关问题. Valentin等[9]通过向317位性别不同年龄分布广泛的受访者发放结构式问卷，发现有效的流动性可以作为对礼品卡进行分类的基础，使用礼品卡支付个人奢侈品相比用现金会减轻消费者的内疚感. Offenberg[10]从福利损失的角度进行研究发现，购物卡缺乏实体礼物的情感价值，购物卡二级市场通过使持卡人换现减少了福利损失. Horne[2]从信息批露的法律保护角度，研究了在美国购物卡使用对于消费者的影响，并探讨了单用途型与多用途型两种购物卡的发展.类似地，Jones[1]对比加拿大与美国的相关法律规定，探讨购物卡过期后，对于消费者的法律保护问题.而Khouja等[11]从运营管理的视角，给出了零售商的最佳订货决策以及购物卡的最优价值，并总结了决定购物卡有效性的五个关键因素.

随机需求下的订货与定价联合决策已经得到广泛研究. Whitin[12]首次在报童问题中提出需求受价格影响；Lau等[13]分别分析了两种不同需求情况下的报童问题：一是引入线性需求价格函数；二是产品需求分布通过统计数据分析和专家主观估计来确定. Mills[14]，Young[15]，Polatoglu[16]也对单周期联合定价与库存控制问题进行了研究. Fedegruen等[17]，Chen等[18]则研究多周期联合定价与库存控制问题. Petruzzi 和Dada[19]对报童模型的研究进行了系统性地回顾与扩展，分析了面对加和型需求与乘积型需求两种情况下的定价与订货决策，并讨论了多周期的动态模型.此外，Chan等[20]，Yano等[21]也分别对库存与订价问题进行了综述. Federgruen[22]在报童模型中研究不确定性需求下多个竞争零售商的决策问题. 熊中楷等[23]采用混合形式的需求函数，研究了随机需求下易逝品最优定价、订货量和广告投入联合确定的报童问题. 刘玉霜等[24]则考虑缺货惩罚，探讨了单周期报童模型的最优定价、订货联合决策问题.

综上可知，目前关于购物卡的研究多集中于市场分析角度，定量研究更是相对缺乏，而针对零售商订货定价的模型没有考虑到购物卡这一普遍实践.因此，本文分析购物卡发行时零售商的订货与定价决策模型，力求能够填补一定的研究空缺.

2 基本模型

考虑单一季节性产品零售商，该零售商同时销售产品和预付卡.消费者可使用现金到零售商门店进行支付，也可使用购物卡进行消费.假设零售商面临的终端需求为依赖于零售价格且随机，其决策问题为如何通过设定订货量与零售价格使得期望利润最大化.

图1表示了零售商需求的组成，不发行购物卡时，零售商总需求就是使用现金支付的需求D，当零售商发行数量为S的购物卡时，零售商总需求为使用现金和购物卡两部分的需求总和.其中二者之间可能存在重叠部分，即当发行购物卡时，一些原本采用现金支付的消费者因为拥有了购物卡转而成为购物卡所带来需求的一部分，此部分消费者即使没有购物卡也依然会购买产品.假设α1S所形成的购物卡需求是从现金需求转换而来.假设α2S为发行购物卡而带来的有效需求，即完全是由于购物卡的发行而引发，如果不发行购物卡，此部分需求将不会产生.假设α3S为因为购物卡拥有者疏忽或到期前未产生使用愿意而导致的未兑现需求.因此，α1+α2+α3=1，且0≤αi≤1,i=1,2,3.

图1 零售商的需求组成

图2演示了零售商的决策次序.它类似于传统的报童模型，但是采购成本和购物卡的收入发生在周期的开始，需求在周期结束时被实现，除决策订货量以外还需决策产品的零售价格.

图2 零售商的决策次序

其他符号论述如下：p为零售商销售单位产品的零售价格，c1为单位采购成本，T为销售购物卡与销售产品之间的时间间隔，q1为零售商订货数量，r为现金折现系数，S为购物卡的销售数量，外生且与产品零售价格无关，β为销售购物卡时的价格折扣，即购物卡的1单位价格以1-β(0≤β≤1)单位价格进行销售，C0为发行购物卡的成本，假设C0=F+hS，F为固定成本，h为可变成本，满足h

假设产品的需求为D(p,ε)=y(p)+ε，其中ε为定义在[A,B]的随机变量，F(·)，f(·)为随机变量ε的分布函数与概率密度函数，μ与θ为随机变量ε的均值与标准差.令y(p)=a-bp(a>0,b>0)，为保证对于价格p在一定范围内存在正数需求，本文假设A>-a.

为比较分析购物卡对于零售商决策和利润的影响，本文首先讨论了不发行购物卡时零售商的定价与订货量决策，并得出零售商的期望利润，再与发行购物卡时的情况进行对比分析得出结论建议.

2.1 不发行购物卡时零售商的决策与期望利润

当不发行购物卡时，零售商的利润为

(1)

其中: e-rT用于刻画现金的时间价值.令z=q-y(p)，则零售商的利润函数可表达为

(2)

因此，零售商的期望利润为

(3)

而零售商的决策问题即为，

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

从式(6)可以看出，对于给定的p,E[π(z,p)]，为关于的凹函数，因此使期望利润最大化问题可以先求解的包含p的最优表达式，然后将结果代入回E[π(z,p)].此方法在文献[13]中有所介绍.类似，从式(8)可以看出，对于给定的z，E[π(z,p)]为关于p的凹函数，通过对于给定的z确定p的最优表达式可以进而求得最大化的期望利润.

根据式(7)和式(8)可得到命题1.

命题1 对于任意给定的z，最优决策价格p可以单一地表示为z的函数：

(9)

命题1证明

令

因此，

又因为E[π(z,p)]=(pe-rT-c1)y(p)-c1z+pe-rTμ+Λ(z)

进而求得式(5)、(6)、(7)、(8)，

由于式(6)，(8)均为负，令式(5)、(7)分别等于0，二式联立即可求得p*与z*

再根据定义z=q-y(p)=q-(a-bp)即可求出q*

命题2 ε为定义在[A，B]的随机变量，当其概率分布为[A，B]的均匀分布时，最优决策价格和订货量分别为

(10)

(11)

命题2证明

当ε为定义在[A,B]的随机变量，当其概率分布为[A,B]均匀分布时，

将上式代入

经整理即可求出q*

2.2 发行购物卡时零售商的期望利润

当零售商发行购物卡时，购物卡发行数量为S，由此获得的收入为pc(1-β)S，在已有购物卡的消费者中，其中α1为与原有现金支付的重合比例，α2为新增的有效需求比例.零售商不仅需要满足原现金渠道中无购物卡的消费者需求D(pc,ε)-α1S，还需满足购物卡所带来的需求即(α1+α2)S.因此，当发行购物卡时，零售商的利润为

πc(qc,pc)=

(12)

其中:qc与pc表示发行购物卡时，零售商的订货量及定价.此外，假设持有购物卡的消费者具有优先兑现产品的权利，剩余库存再用于满足无购物卡的消费者需求.因此，剩余库存qc-α1S-α2S将被用于满足随机需求D(pc,ε)-α1S.令zc=qc-y(pc)，则零售商的利润可表达为

πc(qc,pc)=

(13)

因此，发行购物卡时，零售商的期望利润为

(14)

零售商的决策目标为

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

从式(17)可以看出，对于给定的pc，E[πc(zc,pc)]为关于zc的凹函数，与3.1节的求解方法类似，根据式(18)和式(19)可得到命题3.

命题3 发行购物卡时，对于任意给定的zc，最优决策价格pc可以单一地表示为zc的函数：

(20)

命题3 证明

又因为

E[πc(zc,pc)]=-F-c1[y(pc)+zc]+[pc(1-β)-h]S+pce-rT[y(pc)-α1S+μ]+pce-rTΛc(z)

命题4 发行购物卡时，ε为定义在[A,B]的随机变量，当其概率分布为[A,B]均匀分布时，最优决策价格和订货量分别为：

(21)

(22)

命题4 证明

当ε为定义在[A,B]的随机变量，当其概率分布为[A,B]均匀分布时，

将上式代入

上述结果较为复杂，难以直接看出购物卡发行对零售商的决策及期望利润的影响.因此，本文将通过数值算例的形式详细分析其影响.

3 数值算例

本节通过数值算例分析发行购物卡对于零售商决策最优定价及订货量的影响，进而分析发行购物卡对于零售商利润的影响.并分析相关决策对重要参数的敏感性.

假设ε为定义在[A，B]均匀分布，各参数如表1中所示进行赋值，同时令F=h=0.当参数作为被考察的目标参数时，其取值范围分别为：S∈(0,1 000)，α2∈(0，0.8)，rT∈(0,1).

表1 模型算例参数赋值表

3.1 购物卡发行数量S对决策变量与利润的影响

从图3可以看出，发行购物卡后零售商最优决策价格均高于不发卡时的最优决策价格，购物卡发行数量与零售商最优决策的零售价格成正相关关系.实践中，发行购物卡的零售商通常会将产品定价抬高以弥补发行购物卡的成本，零售价格偏高的产品也往往选择通过销售购物卡作为促销手段吸引客户.

图4表明发行购物卡后零售商最优订货量增加，购物卡发行数量越多，则零售商最优订货量越多.购物卡发行后，零售商至少需要保证购物卡所对应的需求能够得到供应，因此，零售商相比不发卡时将选择增加订货量满足购物卡所带来的提前可知的需求.

从图5可知，发行购物卡有利于零售商利润实现增长，并且发行购物卡数量越多，此增长幅度越大.这一方面来源于发行购物卡引进了一部分新的需求，这部分需求在不发行购物卡时将不会产生，另一方面来源于发行购物卡后零售商获得货款，但因种种原因持卡者并没有进行产品兑换的净收益.实践中，发行购物卡的成本相较于产品零售价格可以忽略不计，当购物卡发行数量达到一定规模后，零售商因未兑现产品所获得的净收益将十分可观.

图3 零售价格与发卡量的关系

图4 订货量与发卡量的关系

图5 利润与发卡量的关系

3.2 新增需求比例α2对决策变量与利润的影响

在此设定α3=0.2，α2(0,0.8)，由于α1+α2+α3=1，因此可确定a1随a2变化的相应取值，新增的有效需求比例为购物卡所引发的需求中进行兑现并与现金需求不相重合的比例.当未兑现购物卡比例确定时，图6可以看出发行购物卡后，最优决策价格与新增的有效需求比例α2成正比，发行购物卡后的零售价格高于未发卡时的相应决策；图7显示，发行购物卡后新增需求比例的增加将提高订货量；图8显示由购物卡带来新增的有效需求占比增加时，零售商的利润将随之大幅升高.

图6 零售价格与新增需求比例关系

图7 订货量与新增需求比例关系

图8 利润与新增需求比例关系

3.3 时间价值系数rT对决策变量与利润的影响

从图9可以看出随着时间价值系数的增加，无论发卡与否，零售价格均随之增加，且发卡始终高于未发卡时的零售价格.图10则反映了订货量与时间价值系数呈负相关，时间价值系数越高，则零售商订货量随之降低，且发卡情形下，下降速度更快.图11显示当时间价值系数较大时，因发行购物卡而带来的提前支付所创造的利益则越少，零售商利润将随之降低.但因发卡仍将带来新的需求，因此发卡所带来的利润相较于未发卡时的利润变化更小.

图9 零售价格与时间价值系数关系

图10 订货量与时间价值系数关系

图11 利润与时间价值系数关系

3.4 扣点β对决策变量与利润的影响

发行购物卡时，零售商可以选择将购物卡面值按一定折扣进行销售，当扣点为0时即为按购物卡面值进行销售，当扣点为1时即为极端情况即免费赠卡.图14显示，当扣点从0变化至1时，发行购物卡的情况下，零售商利润不断降低直至与不发卡时利润相同甚至更低，二者相同时的扣点为临界值，扣点小于此临界值时，零售商选择发行购物卡是有利的，否则不应发行购物卡.对应图12可以看出，该扣点临界值同样为零售价格的临界值，当拐点较低时，零售商最优定价较高，反之定价较低.因此，零售商在确定购物卡销售折扣时可将此临界值作为底线进行决策.图13显示，购物卡扣点越高，则零售商定货量越大.显然，扣点越高，则消费者仅需要付出很少的支出即可兑换更高价值的产品，则购物卡的销量将会增加，随之引发的新增需求也会增多，零售商必然需要提高定货量满足增长的需求量.

图12 零售价格与购物卡扣点关系

图13 定货量与购物卡扣点关系

图14 利润与购物卡扣点关系

4 结 语

本文构建了发行购物卡背景下，单一零售商单阶段面临随机需求的定价与订货决策模型.通过算例，分析了购物卡对于零售商最优决策及利润的影响，并考察了不同参数的作用效果.结论表明，发行购物卡将使零售商最优决策价格升高，订货量增加，并有利于零售商获取更高利润；购物卡被销售至原有现金客户时将有损零售商利益，建议零售商通过购物卡拓宽销售渠道，增加新的客户来源.

[1] JONES N. Gift vouchers and expiry dates: when the gift stops giving [J]. Queensland U. Tech. L. & Just. J., 2009, 9(2): 213-231.

[2] HORNE D R. Gift cards: Disclosure one step removed [J]. Journal of consumer affairs, 2007, 41(2): 341-350.

[3] 赵晓娟. 购物卡实名制或又“流产”[N]. 中华合作时报, 2011-5-20(B01).

[4] 常晓村. 2012中国商业预付卡行业报告[R]. 上海: 中国商业联合会商业预付卡规范工作委员会, 2012.

[5] 年旭春, 李 越. 购物卡分10个档次拿回扣[N]. 时代商报, 2011-05-31(A05).

[6] THOMAS L M, DILLENBECK M S. Best used by expiration date [J]. Marketing Management, 2004, 13(1): 53-55.

[7] 张瑞友, 汪定伟, 陈莹莹. “发送购物卡” 促销中的决策分析 [J]. 东北大学学报:自然科学版, 2007, 28(7): 953-956.

[8] GUJARATHI M R. Max-value stores, Inc.: Financial reporting of gift cards [J]. Issues in Accounting Education Teaching Notes, 2012, 27(3): 39-57.

[9] VALENTIN E K, ALLRED A T. Giving and getting gift cards [J]. Journal of Consumer Marketing, 2012, 29(4): 271-279.

[10] OFFENBERG J P. Markets: Gift cards [J]. The Journal of Economic Perspectives, 2007, 21(2): 227-238.

[11] KHOUJA M, PARK S, ZHOU J. A free gift card alternative to price discounts in the newsvendor problem [J]. Omega, 2013, 41(4): 665-678.

[12] WHITIN T M. Inventory control and price theory [J]. Management Science, 1955, 2(1): 61-80.

[13] LAU A H L, LAU H S. The newsboy problem with price-dependent demand distribution [J]. IIE transactions, 1988, 20(2): 168-175.

[14] MILLS E S. Uncertainty and price theory [J]. Quartly Journal of Economics, 1959, 73(1): 116-130.

[15] YOUNG L. Price, inventory and the structure of uncertain demand [J]. New Zealand Operations Research, 1978, 6(2): 157-177.

[16] POLATOGLU L H. Optimal order quantity and pricing decisions in single-period inventory systems [J]. International Journal of Production Economics, 1991, 23(1): 175-185.

[17] FEDERGRUEN A, HECHING A. Combined pricing and inventory control under uncertainty [J]. Operations Research, 1999, 47(3): 454-475.

[18] CHEN X, SIMCHI-LEVI D. Coordinating inventory control and pricing strategies with random demand and fixed ordering cost: The finite horizon case [J]. Operations Research, 2004, 52(6): 887-896.

[19] PETUZZI D. Pricing and the newsvendor problem: A review with extensions [J]. Operations Research, 1999, 47(2): 183-194.

[20] CHAN LMA, SHEN ZJM, SIMCHI-LEVI D,etal. Coordination of pricing and inventory control decision: A survey and classification [M]. US: Springe, 2004.

[21] YANO C A, GILBERT S M. Coordinated pricing and production/procurement decisions: A review [C]// Springer US, 2005, 16: 65-103.

[22] BERNSTEIN F, FEDERGRUEN A. Decentralized supply chains with competing retailers under demand uncertainty [J]. Management Science, 2005, 51(1): 18-29.

[23] 熊中楷, 彭志强. 易逝品最优定价, 订货量和广告投入的联合确定[J]. 工业工程与管理, 2009, 14(2): 32-37.

[24] 刘玉霜, 张纪会, 王丽丽. 两种需求模式下报童模型的最优定价-订购联合决策[J]. 控制与决策, 2013, 28(9): 1419-1422.

Optimal joint pricing and ordering decisions for retailer issuing gift cards

GONG Shuai, ZHANG Qin-hong

(Sino-US Global Logistics Institute, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200030, China)

Based on newsvendor model, this paper built a pricing and ordering decision model for retailers issuing gift cards. Analyzed the retailer’s optimal joint pricing and ordering decisions when no gift card was issued. Discussed the same question when gift cards were issued. By comparing the decisions and the expected profits of the two situations, with and without gift cards,obtained the influences of the gift cards on decisions and profits. Numerical examples and sensitivity analysis were given to verify the model conclusions. The conclusions showed that retailer’s optimal ordering, pricing and profit expectations were positively correlated with gift cards volume.

gift cards; ordering; pricing; price dependent demand; stochastic demand

2016-10-06.

国家自然科学基金(71001063)(71402112)；教育部人文社会科学研究青年基金项目(14YJCZH153).

宫 帅(1991-)，女，硕士，研究方向：供应链金融.

F272.3

A

1672-0946(2017)03-0354-09