数形结合，为数学课堂插上隐形的翅膀

牟小燕

一、什么是数形结合？

数形结合是数学中重要思想方法之一。它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学研究的常用方法。数形结合思想----就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。赞科夫说：“教会学生思考，这对学生来说，是一生中最有价值的本钱”，而要教会学生思考，实质是要教会学生掌握数学的思想方法。常用的数学思想方法有很多，而数形结合思想具有数学学科的鲜明特点，是解决许多数学问题的有效思想。将抽象的数量关系形象化，具有直观性强，易理解、易接受的特点。将直观图形数量化，转化成数学运算，常会降低难度，并且使知识的理解更加深刻明了。

二、数形结合有哪些功能？

1.有利于记忆

由于数学语言比较抽象，而图形语言则比较形象。利用图形语言进行记忆速度快，记得牢。笛卡尔曾说：“没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了。因此，用这种方式来表达事物是非常有益的。”同时，由于图象是“形象”的，语言是“抽象”的，因此对图形的记忆往往保持得比较牢固。

2.有助于思考

用图进行思维可以说是数学家的思维特色。往往一个简单的图象就能表达复杂的思想，因此图象语言有助于数学思维的表达。在数学中，有时看到学生遇到难题百思不得其解时，如能画个草图稍加点拔，学生往往思路大开。究其原因就是充分发挥了图象语言的优越性。

三、如何培养学生的数形结合思想？

1.强化意识，体会作用

我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”数形结合思想方法能巧妙地实现数与形之间的互换，使得看似无法解决的问题简单化、明朗化，让人有“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。数形结合思想方法在解题中的重要性决定了它在平时的教学中也应该受到重视。在数学教学中教师要有意识地沟通数、形之间的联系，帮助学生逐步树立起数形相结合的观点，提高主动运用的意识，并使这一观点扎根到学生的认知结构中去，成为运用自如的思想观念和思维工具，从而提高学生数学修养与解题能力。

【案例】

学生学完长方形和正方形的周长后，有一题是这样的：用4个边长为2厘米的正方形拼成一个长方形或正方形，周长最大是多少？最小是多少 ？

面对这样一个问题，好多学生都感到很茫然，不去作进一步的思考，便会错误的这样列式：2×4×4=32（㎝）。因为学生的思维大多都是停留在对表面意思的理解：一个正方形的周长是2×4=8（㎝），那么4个小正方形拼在一起周长不就是8×4=32（㎝）了吗？他们往往没有去作深层次的思考：小正方形拼在一起后有些边长被重合在一起了，计算时单纯地用1个小正方形的周长再乘4，有些边长重复计算，导致新拼成的图形周长不准确。那么，这个问题要去思考到底是哪些边长会重合在一起，对于中等及以下的學生来说，凭借头脑凭空想象是有相当大的难度的？如何解决这个问题？其实，无需老师多言，让学生同桌合作，自己动手拼一拼、摆一摆，再认真仔细的观察，答案就显而易见了。学生通过操作，很快就得出了两种不同的摆法：

再通过计算，得出了两种不同的结果：（8+2）×2=20（㎝） 4×4=16（㎝），问题便迎刃而解。

在这样的探究过程中，教师把“数学结合思想方法”有意识的渗透在学生获得知识和解决问题的过程中，充分利用直观图形，把抽象内容视觉化、具体化、形象化，化深奥为浅显，让学生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中，看到知识背后负载的方法、蕴涵的思想，那么，学生所掌握的知识才是鲜活的，可迁移的，学生的数学素质才能得到质的飞跃。

2.扩大范围，广泛应用

要培养学生数形结合思想方法，首先教师要切实掌握数形结合的思想方法，以数形相结合的观点钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数形结合思想方法渗透的各种因素，都要考虑如何结合具体内容进行数形结合思想方法渗透。“数形结合思想方法”包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，在小学数学“数与代数”领域教学中，用得最多的是前者，我们可以把数学结合思想方法渗透在教学中的每一内容。以数与形相结合的原则进行教学。

（1）数的认识方面。例如在教学《1000以内数的认识》这节课教学中利用小立方体有效的帮助学生构建知识，以及初步感知十进制的计数方法。数数的难点就是接近整百的数，学生无法感受抽象的数数之间满10的变化，那么我们就将数数的抽象思考方式放大，将思维暴露出来，让学生通过观察小方块的变化，一对一的数数，在数到9变成10时，通过演示让学生理解10的由来同时强化十进制关系。同时通过 “形”来感知数的多少，既形象又深刻，培养了学生良好的数感。

（2）数的运算方面。借助“形”来帮助学生理解非常重要，如在教学退位减法时利用小棒等实物或图形来理解算理，帮助学生建构“破十法”的原理；教学进位加法时利用小棒等实物或图形，帮助学生建构“满十进一”的算理；教学中我们还可以丰富其内容，如：被减数中间有0的减法，可以利用计数器有效的突破难点等等。

（3）问题解决方面。借助数形结合能化抽象为形象，帮助学生建立直观模型，让数量关系更形象、更清晰。

【案例】公鸡有50只，比母鸡少15只，母鸡有几只？

这类“求一个数比另一个数多（或少）多少的数是多少的问题”学生往往凭借经验“多加少减”胡乱答题，而不去真正的理解题意。单单凭借教师枯燥乏味的去给学生讲解两个量之间的多少关系，听得学生云里雾里，最终弄不清楚到底哪个量多，还不如换一种思维方式，把文字叙述转化为直截了当的图形——线段图，从线段图中很直观地看出母鸡的只数由两部分组成：与公鸡同样多的部分和多出来的部分，列式 50+15=65（只）整个过程数形结合，在直观图示的导引下，使问题化难为易，化抽象为具体，学生通过看图便一目了然了。与此类问题相类似的还有这样一种问题：

果园里有150棵苹果树，梨树的棵树比苹果树的2倍少50棵，梨树有多少棵？

果园里有150棵梨树，梨树的棵树比苹果树的2倍少50棵，苹果树有多少棵？

这两个相似的问题不仔细辨别，认为两个题目是一样的，而实际上两个问题由于“1倍量”及倍数关系的不同，导致两个问题的解题思路不同。恰好也就是这样的问题，学生很容易把两个问题搞混淆，原因是什么？原因就是学生不能正确根据文字描述的题意理解清楚，如果能把这两个问题的文字描述转化为线段图来帮助理解，学生就很容易根据圖意正确列出算式了。

（4）常见的量方面。例如在教学《24时记时法》的教学中可以利用钟表上的刻度，1个大格代表1小时，24小时就是钟面上的时针走了2圈，同时形象的理解了0时和24时在同一点上，让具体的“形”与抽象的数相辅相成，从而建立起感性认识。

（5）式与方程方面。例如，等式的基本性质的教学，都是以天平秤为载体，通过以加、减、乘、除等方式不断的改变天平秤两边的数量，从而引导学生得出“等式的两边同时加或减一个相同的数，结果仍然是等式；等式的两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），结果仍然是等式”的等式基本性质；在方程意义的教学中，同样也是利用天平来帮助学生建立方程存在的等量关系，从而认识什么是方程。

（6）几何方面的运用。数形结合思想在几何中的应用就更为普遍了。比如：“绳子圈羊”活动、“玩泥巴、捏泥人活动”、“切萝卜活动”等等，以及平时在教学中还用到的许多类似的方法，都是数形结合思想的体现。目的就是使题意更加形象、直观，便于学生更好的理解。

四、数形结合有哪些方法？

数形结合的思想方法是数学学科里最常用的一种方法，它包含了转化、配方、分类讨论、方程思想等数学思想方法，可见数形结合思想方法是数学中极具综合性的思想方法。在平常的教学活动中让学生学到数形结合的方法。教师可以采用多种方式精心组织学生训练，让学生置身于具体的教学过程，才能在教师的引导下逐步领悟，理解和掌握。

1.运用或联想实物。

2.画图。画图的形式很多，包括画线段图、画图形、画示意图、画面积图、画点子图、集合图等等。

3.利用数轴。数轴是体现数形结合思想的一个重要方法。利用数轴，找到实数与数轴上的点的对应关系，让数与数轴这个“形”，紧密融合在一起。

例如，教学《小数大小比较》时，由于学生在学习本节课的内容之前只是初步的认识了小数，还没有深入的学习小数的意义，因此学生在总结比较的方法时用抽象的数学语言比较困难。当文字的表述有困难时，利用数轴能很好的解决这一问题。因为对于每一个小数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个小数的大小比较，是通过这两个小数在数轴上的对应点的位置关系进行的。借助数轴让学生理解小数的大小，知道在数轴上越往后这个数越大，越往前这个数就越小。

再比如， 0.4 > （ ） > （ ） > （ ） > （ ）>0.3，一个这样的练习我们应该如何去引导学生呢？

同样可以借助数轴，在数轴上找出小于0.4大于0.3的小数以及能找出几个这样的小数。这个练习借助数轴，让抽象的数学就变得具体、形象了。

4.几何模型。例如，教学“1-1/2-1/4-1/8-1/16=”，对于小学生来说由于逻辑推理有一定的难度，一批中下学生不容易明白，如果采用几何模型进行教学，学生都轻松的掌握了。将上面的算式构造成下面的几何模型图，把一个大正方形看成单位“1”，一次又一次地进行平均分，通过观察几何模型图很容易看出1-1/2-1/4-1/8-1/16=？，运用数形结合思想方法可以把代数与几何沟通了，使形直观地反映数内在的联系，拓宽思路，把复杂问题简单化，从而顺利且快速的解决问题，使数学知识变的更有生命力，让人回味无穷。我们提倡多种方式来渗透数形结合思想，要培养学生胸中有图见数想图，以开拓学生的思维视野。

在数形结合的教学过程中，应该慎重考虑“先数后形”还是“先形后数” 两者呈现的结果是不一样的，要把握好。数形结合思想有助于学生思维更形象，数形结合思想的方法不是万能妙药，提高学生的抽象逻辑思维能力也是非常重要的，两者之间应平衡。

数学课堂上有许多抽象的知识，学生很难凭空建立感性认识，借助数形结合，便可以为数学课堂插上隐形的翅膀，帮助学生遨游在数学王国！