特殊直角三角形边角关系的探索与研究

北京市平谷区教育研修中心 赵亚双

一、问题提出的背景

京教版八年级数学上册第十二章三角形的内容包括三角形及其性质、全等三角形、等腰三角形与直角三角形、尺规作图及轴对称。其中等腰三角形中介绍了等腰三角形和等边三角形的定义、性质、判定。直角三角形中介绍了“斜边直角边”定理和勾股定理。介绍完等腰三角形、等边三角形和直角三角形后我们在习题中经常会遇到含有特殊角（30°45°60°角）的直角三角形，因为教材内容的限制，每当遇到这样的三角形时，总让我们有隔纱观景不能尽兴的感觉，能不能在直角三角形这一节中增加一节课，把两个特殊的直角三角形研究透？于是在教学中我们做了这样一个大胆的尝试，以学生活动为主线设计一节特殊直角三角形的探究课，打开天窗说亮话。

二、本节课的教学目标

（一）知识与能力

1.初步认识含有特殊角的直角三角形，了解图形边、角各具有哪些关系。

2.会根据已知条件，求解其他边长。

（二）数学思考

借助活动手册，让学生在活动中经历特殊直角三角形的三边关系的探究过程，培养观察、分析、抽象、概括的能力。

（三）解决问题

能够利用已知条件求解其他边长。

（四）情感态度

培养积极思考和勇于探索的精神，形成良好的学习习惯.

重点：能够利用已知条件求解其他边长

难点：推导特殊直角三角形边、角各具有哪些关系

三、学生情况分析

初二的学生具有强烈的好奇心和求知欲，他们思维活跃，敢于发表自己的见解，并希望得到别人的认可。经过初一的平行线和初二三角形部分的学习，他们已经具备了初步的几何学习能力，善于观察，能够独立思考一些问题，并具有一定的识图、分析图的能力，借助前边学习过的有关知识应该能够快速解决本节课的有关问题。

四、教学呈现形式

借助活动手册，教师引导学生借助手中的一副三角板直观演示，通过推理和证明得出正确结论，并应用这些结论解决问题。

活动一

观察你手中的三角板，你对它们了解多少？

活动二与

进一步探究两个三角板

1.在Rt△ABC 中：∠ABC=90°

设AB=BC=x,由勾股定理，得AC=__

结论：在Rt△ABC 中，AB=BC，则AB：BC：AC=__

2.在Rt△DEF 中：

∠DEF=90°，∠F=30°，测量DE和DF的长度，猜测DE和DF的数量关系：__

你能证明这个结论吗？

结论：在R t△D E F 中：∠DEF=90°，∠F=30°，

则DE：EF：DF=__

活动三与

总结：两块三角板的性质

____________________________________角____________________________________边

活动四与

在下列特殊直角三角形中根据已知边快速求出另两边长。

活动五与

1. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=

A.52° B.38°

C.42° D.62°

2. 如图，等腰直角三角板的顶点A，C分别在直线a，上.若a∥b，∠1=350，则∠1=的度数为

A.350B.150

C.100D.50

3.将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于

A. 90° B. 75°

C. 60° D. 45°

4.将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为__度.

活动六巩固与提升

1.将一副三角板按图中方式叠放，则等于__

2.已知：如图，△ABC 中：AD⊥BC于点D，∠B=45°，∠C=30°若，求BC长。

五、教学效果及反思

几何学习即要重视基本概念、定理的认知，又要重视基本图形的学习，在教学中，应当把“形”放在重要位置上，逐步培养学生对几何图形的识别、组合与分解的能力。这就要求教师必须首先从一些最基础、最基本、最简单的几何基本图形教学入手，让学生在头脑中形成各种基础知识的表象图形，在复杂图形中能够快速识别基本图形，应用相关定理去解决实际问题。含有特殊角（30°45°60°角）的直角三角形是我们在几何学习过程中经常会用到的基本图形，让学生直观的认知，在今后学习过程中快速识别和计算能够让几何学习更加轻松。

为了检验教学效果我们选定了一所城乡结合的普通中学的一个普通班进行试验，该班共有学生36人，通过以上一节课的教学，班上2/3 的学生能够理解课堂内容，顺利完成课后练习。一小部分学生不能顺利完成教学任务，分析其原因，主要因为对比值关系不能理解，计算困难。教材中相应部分没有设置，主要考虑初三数学（上）部分设置了三角函数，利用三角函数的有关知识也可以解决，到那时有了前面比例式一章的学习，学生对线段的比使用起来也会更熟练。通过该次试验，我认为在初二年级上半年安排这样的一节探究课很有必要，学生对特殊直角三角形的了解早一些，在后续学习（如初二下四边形）中继续巩固强化，不仅可以提高计算速度，还可以加强学生对基本图形的认识。与后续学习三角函数并不矛盾，为学生从特殊到一般搭建了平台。在后续学习中我们会继续关注。