数学教学中的思维能力的培养

曾燚清

摘 要：数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力。

关键词：思维；培养；分类讨论

数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。因此要使学生尽快地适应初中数学教材，除必须特别注意学生良好的学习态度、习惯与方法外，还必须大力激发学生的学习兴趣，逐步提高他们抽象思维能力。

一、以直觉思维引路，逐步培养学生的抽象思维能力

在小学阶段，关于数的计算教学还停留非负数范围，而进入七年级后，就开始渗透负数这个概念了。在教学中，从具有相反意义的量的客观存在，明确引进负数的必要性；从观察温度计上的刻度特别是零度以下的刻度中，理解数轴上负数对应的点的位置及相关坐标原点对称的特点。

绝对值是一个很重要的概念，它是联系小学的计算与初中代数运算的桥梁。有理数的运算法则基本上是分两步完成：第一步是先确定结果的符号，第二步转化绝对值运算，最后算出结果。而学生一开始也难以理解，一方面讲绝对值的代数意义（分正数、负数与零的绝对值），另一方面，还根据绝对值的几何意义，去理解不断加深说明取绝对值后的结果非负性。同时还结合实例逆向思维，不断加深印象。

例如：|X|=4，求X。根据“一个数的绝对值就是表示这个数离开原点的距离”这一意义，要求就是求到原点的距离等于4的点所对应的数，满足条件的在原点右边有一个，表示+4，在原点左边有没有呢？经过观察，学生判断也有一个，表示-4.故所求的值有两个，即±4。再进一步抽象为当|X|=a，（a≧0）时，X=±a；当|3X-2|=b时，3X-2=±b等；而|2X+5|=-1时一定无解。

经过一段时间的学习后，开始渗透用字母表示数，我们首先说明字母a表示一个有理数，而-a一定表示负数？对否？一部分同学认为对，因为它有负号。首先我们说明“-a”一定表示负数，是不对的。在此基础上进一步抽象出|a|=？，学生的答案就比较全面了。在学习“一元一次不等式”这一章时，学生对“不等式的解集”理解不清，首先用特值验证法，得出不等式一系列解，例如：2.08，2.15，1.23，0，-5，-6等等均是不等式X﹤5的解，再分析小于5的个数是无数个，最后将不等式的所以的解看成一个集合，就得到不等式的解集的概念，最后把不等式的解集表示在数轴上。这样从直观中来，抽象出概念、法则等，再到直观中去，不断加深了对一些概念、法则、原理的理解，逐步提高了学生的抽象思维的能力。

二、共同探究，培养学生分类讨论的能力

分类讨论的能力，虽然对初中生要求不高，但初中代数第一册中很多地方都体现了分类讨论的思维。例如：绝对值的概念，分别就正数、负数、零的绝对值作了说明。若从绝对值等于它本身与绝对值小于它本身的数来说明，就只分两种情形了。例如有理数的加法法则分三类：一是同号两数相加；二是异号两数相加；三是一个数同零相加，加以概括。这种分类讨论说明法则具有条理清楚、系统性强、不易遗漏、便于理解记忆的特点。因此，在教学过程中，适时地渗透分类讨论的思维，将有利于培养学生严谨的数学思维和表达能力。

例如：|a|=3，|b|=2，求a-b的值。

解：①当a=3，b=2时，a-b=1；②当a=3，b=-2时，a-b=5；③当a=-3，b=2时，a-b=-5；④当a=-3，b=-2时，a-b=-1。

又如：什么样的数的倒数比它本身大？什么样的数的倒数比它的本身小？

分析：±1的倒数分别等于它本身。0无倒数，然后再解。

解：①a﹤-1时，1/a﹥a；②a=-1时，1/a=a；③-1﹤a﹤0时，1/a﹤a；④0﹤a﹤1时，1/a﹥a；⑤a=1时，1/a=a；⑥a﹥1时，1/a﹤a。

故①a﹤-1或0﹤a﹤1时，1/a﹥a；

②-1﹤a﹤0或a﹥1时，1/a﹤a；

③a=±1时，1/a=a。

经过不断地渗透，学生的分类讨论的思维能力有所提高，对a不等于零分类大部分学生知道a﹥0或a﹤0。对于“a-b一定小于a吗？为什么？”不少学生也能分b﹥0，b=0與b﹤0三种情形，给出解答。

三、一题多解，开拓学生的思维，培养学生思维的灵活性

例1 师徒两人共同加工720个零件，师傅每小时加工144个，徒弟每小时加工96个，师傅从早上7时开始加工。徒弟比师傅迟25分钟开始加工，问：在什么时间可以完成任务？

分析：“在什么时间可以完成任务”与“用了多少时间可以完成任务”这两种问法的区别与联系。前者指几时完成任务，后者指加工了几小时。而师徒两人加工的时间不等。若知道其中一人加工的时间则在几时完成任务也便可知了。反之，若知道在几时完成任务，则师徒分别加工的时间也可表示出来。其等量关系是师徒加工的零件个数之和等于总任务。故可得出三种解法。

解一，设在X时可以完成任务，则师傅加工的时间为（X-7）小时，徒弟加工的时间为（X-7-5/12）小时。依题意得：144（X-7）+96（X-7-5/12）=720。解方程，得X=61/6，即10点10分可完成任务，这是直接解法。

解二，设到任务完成时，师傅加工的时间为y小时，则徒弟加工的时间为（y-5/12）小时。依题意得：144y+96（y-5/12）=720，（y+7）的结果便是完成任务的时间。

解三，可设到任务完成时，徒弟加工的时间为Z小时，列出方程：144（Z+5/12）+96Z=720，（Z+7+5/12）的结果便是完成任务的时间。

当然还有类似的变形解法。从略。

例2 一架飞机飞行在两个城市之间，风速为24千米/小时。顺风飞行需要17/6小时，逆风飞行需要3小时，求两个城市的距离。首先说明必备知识：（1）飞机在顺风的速度=飞机无风时的速度+风速。（2）飞机在逆风中的速度=飞机在无风时的速度-风速。

解1：（直接法）设两城市的距离为X千米，依题意，得X/3+24=X/17/6-24解这个方程：17X+24*51=18X-24*51得X=2448。答：略。

解2：（间接法）设飞机在无风时的速度是y千米/小时依题意，得17/6（y+24）=3（y-24）。

解这个方程，得y=840，3（y-24）=3（840-24）=2448。答：略。

尽管在数学教学中作了培养学生思维能力的各种尝试，但部分学生的思维能力还不够理想，故在数学教学中不断提高学生思维能力是一项长期而艰巨的任务，需要我们全体教师不断探索不断加强，才能使学生在今后的数学学习中提高思维能力。

参考文献：

[1]李冬胜.数学思维方法[K].山西：山西人民出版社，2010：36-41.

[2]周春荔.数学思维概论[M].北京：北京师范大学出版社，2012：101-104.

[3]丘维声.数学的思维方式与创新[M].北京：北京大学出版社，2011：46-48.