构造函数解决不等式中的恒成立问题思考

程少辉

摘 要 本文针对高考数学试题中的不等式恒成立问题进行思考分析，以构造函数的解题思路来解决此类题目，帮助考生更好地利用函数知识解题，进一步提高考生对此类考题的解题信心，从而提高高考数学成绩。

关键词 高考数学题 不等式 函数 解决

中图分类号：G642 文献标识码：A

不等式恒成立问题是高考及各类考试的命题热点，也是数学教学的重点和难点。学生在进行此类数学题目的解答时，往往在构造函数方面出现问题，受困于某一点上不能顺利进行又或按照错误的思路方向进行解题，因此，现结合相关经典考题进行讲解论述，以帮助学生更好解决此类数学难题。

1参变分离原则

在含参数的不等式成立问题中，常常可将含参数的部分“分离”到一端，并且另一端的“无参”函数可求最值，这种“分离参数法”的思路简洁通俗、直截了当，是我们建构目标函数解决问题的一种典型做法。

例1：对一切x∈R+，不等式2xlnx≥x2+ax3恒成立，求实数a的取值范围。

解析：上述不等式中含参数的部分“单一”，参数分离非常容易：a≤x++2lnx，对于不等式另一侧的无参函数g（x）=x++2lnx（x>0），利用导数知识求其最小值也很常规。运用分离参数法必须具备两个基本条件：一是不等式中含参数的部分容易“分离”，二是分离后的无参函数可求最值。如果将本题不等式的常数项“3”改为“3a2”，该种方法恐怕就失效了！

2通性通法原则

对于形如“f（x）>g（x）”的不等式，我们通常构造左右两端的“差函数”F（x）=f（x）g（x），分析該目标函数的单调性研究其极值、最值情况。在实际的函数导数压轴题中，所构造的“差函数”往往蕴含着参数，这就给目标函数的单调性、极值点、零点、最值等性质的研究带来不确定性，需要我们把握分类讨论的依据，罗列所有可能情形逐一分析，方能将目标函数的各种性态研究透彻，进而实现问题的化解！

例2：（2015年山东高考理科21）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2x），其中a∈R。

（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；

（Ⅱ）若x>0，f（x）≥0成立，求a的取值范围。

解析：（1）略；（2）f（x）本身即为目标函数，关键是确定其在（0，+∞）上的最小值或取值范围，对其求导得f′（x）=+a（2x1）=（其中x>0）：

①当a∈[0，1]时，f′（x）>0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）>f（0）=0满足题意；

②当a∈（1，+∞）时，由 =a28a（1a）>0得方程2ax2+ax+1a=0存在异号两根x1，x2（不妨设x1<0

③当a∈（∞，0）时， =a28a（1a）>0，设方程2ax2+ax+1a=0两根为x1，x2（其中x1<0

综上，a的取值范围为[0，1]。

3简约可行原则

笔者认为：在建构目标函数模型时，还应注意所构造的函数要进行提炼、简化或变形，否则，若函数结构过于复杂，必然造成求导运算繁琐，难以确定其函数单调性，导致函数性态研究受阻、无法持续。这就需要我们先对所构造的目标函数进行充分“预估、调试、简化”，才能使所构造的目标函数模型优化有效，从而让问题的解决路径得以通畅顺达！

例3：（2011年全国高考理科21）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y3=0。

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当x>0，且x≠1时，f（x）>+，求k的取值范围。

解析：（Ⅰ）a=1，b=1（解略）；

（Ⅱ）不等式+>+有多种转化方式。

思路一（分离参数法）：k<+，但右端无参函数求导研究非常棘手；

思路二（构造差函数）：分析h（x）=+的单调性、最值情况，仍然繁琐；

思路三（优化差函数）：h（x）=+=[+（1）（）]，从而问题转为为2lnx+（1k）（x）<0在（1，+∞）上恒成立，且2lnx+（1k）（x）>0在（0，1）上恒成立。于是构造函数 （x）=2lnx+（1k）（x），倘若再令m=1k，则目标函数又可简化为 （x）=2lnx+m（x）， ′（x）=，讨论如下：

（1）当m≤0时， ′（x）>0， （x）在（0，1）和（1，+∞）上单调递增，且 （1）=0。故在（0，1）上， （x）<0；在（1，+∞）上， （x）>0，不合题意；

（2）当m>0时，由 =44m2得：

①若 ≤0即m≥1时， ′（x）<0， （x）在（0，1）和（1，+∞）上单调递减，且 （1）=0。故在（0，1）上， （x）>0；在（1，+∞）上 （x）<0，满足题意；

②若 >0即0

综上，m≥1，即1k≥1，k≤0。

4一元归化原则

遇到求解有关二元不等式成立的综合问题时，需要认真分析不等式结构，从中提炼二元函数模型：y=f（x1，x2），但如何研究二元函数又是一个挑战，可以考虑转换为一元函数去解决。事实上，很多二元函数y=f（x1，x2）可围绕或x1x2等进行适当的配凑变形，再令其中t=或t=x1x2等，即可转换成关于t的一元函数y= （t）来解决，这是一种常见的化归策略。

于是问题转化为判断g（x1，x2）=ln的符号，只要令=t，t∈（0，1），利用导数考察 （t）=lnt（t∈（0，1））的符号即可。

5执果索因原则

某些不等式（如二元不等式）的证明，并不能象上面那样直接轻易地构建出目标函数，而是从所要证明的目标开始分析，逐步探求使结论成立的充分条件，在追溯解决问题线索中自然产生构造函数、研究函数的需要，这种函数建构针对性强、目标清晰、规避模式，有利于提升分析问题和解决问题的综合能力。

例5：（2016年全国新课标Ⅰ理21改编）已知函数f（x）=（x2）ex+a（x1）2（a>0）。

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）设x1，x2是的两个零点，证明：x1+x2<2。

解析由f′（x）=（x1）（ex+2a）可得：f（x）的递增区间为（1，+∞），递减区间为（∞，1），故其在x=1处取得极小值f（1）=e。第（Ⅰ）小题的设置让我们获得了函数f（x）的大致轮廓；第（Ⅱ）小题可由第（Ⅰ）小题的结果以及函数值的符号、趋势，勾勒出函数f（x）的示意图，容易发现直线x=1是函数f（x）的“类对称轴”，由于“类对称轴”两边增减幅度不同，当f（x1）=f（x2）时，可直观发现：x1+x2<2，这就是第（Ⅱ）小题的问题产生的原始背景。

下面我们结合图像寻找证明思路：（不妨预设x1<1

x1+x2<2 x2<2x1（注意到x2>1，2x1>1）

←f（x2）

←f（x1）

←（f（x）

←g（x）=f（x）f（2x）<0在（∞，1）上成立。

于是解决问题的切入点转为常规的构造函数运用导数知识证明不等式恒成立问题。

6结语

上述不等式问题的解决，关键一点是借助构造函数的方法，从题目的不等关系中挖掘出我们熟悉的函数，利用函数的相关知识达到解决问题的目的。同时，在我们的平时学习中，要加强重视函数的学习，将函数的图象、的性质学习熟悉，对于解决不等式问题有着极大的促进作用。

参考文献

[1] 趙忠平.例谈构造函数的常用技巧[J].理科考试研究，2012（01）.

[2] 马进.“恒等式”在解题中的应用[J].中国数学教育，2013（24）.