混频器和滤波器非线性效应对MWC系统的影响

李万泉，黄知涛，冯道旺，王 翔

(国防科学技术大学电子科学与工程学院， 湖南 长沙 410073)

混频器和滤波器非线性效应对MWC系统的影响

李万泉，黄知涛，冯道旺，王 翔

(国防科学技术大学电子科学与工程学院， 湖南 长沙 410073)

近年来提出的调制宽带转换器欠奈奎斯特采样系统，可以在远低于奈奎斯特频率下无失真采样宽带稀疏多频带信号。但是实际系统中混频器和低通滤波器非线性效应的影响会导致重构的信号存在失真。利用Rapp模型在理论上分析了器件的非线性效应造成信号重构误差的原因，并通过仿真实验，分析了非线性效应对支撑集重构概率的影响以及通道数和输入信噪比在降低系统误差上的作用。仿真结果表明，器件的非线性效应会降低系统的重构性能；提高通道数和输入信噪比可以提高支撑集重构概率，改善系统的性能。

调制宽带转换器；欠奈奎斯特采样；非线性效应；支撑集

0 引言

传统的采样要遵循奈奎斯特采样定理，即采样速率必须达到模拟信号带宽的两倍才能无失真地恢复原始模拟信号。由于接收信号频谱范围很宽，目前商用的ADC器件往往难以满足Nyquist采样频率的要求。即使可以达到采样率要求，其巨大的数据量也会给后续存储、传输和处理造成较大压力。2005年，压缩感知理论[1-2]的提出为解决这一问题提供了新的思路与方法。2009年，以色列学者Mishali和Eldar提出了一种多通道结构的宽频带稀疏信号压缩采样结构——调制宽带转换器(MWC)[3-4]，主要由混频器、低通滤波器和低速ADC组成。调制宽带转换器理论上可通过现有的器件实现，降低了采样率，并可以在不需要任何先验信息的条件下全盲恢复原始信号[5-6]。基于MWC的欠奈奎斯特采样技术在卫星导航、雷达探测、电子对抗等领域有着广泛的应用前景。混频器和低通滤波器是MWC系统中的关键器件，混频器将系统前端接收到的信号与周期伪随机序列混频，让信号的频谱扩展到整个通频带；通过低通滤波器对混频后的信号滤波，使得在基带也包含有输入信号的完整信息。然而，实际硬件系统中器件非线性效应的影响，导致MWC系统无法正确完成对输入信号的重构。本文重点针对混频器和低通滤波器的非线性效应对MWC系统的重构性能影响，展开理论和仿真分析，研究支撑集正确重构概率随非线性度的变化关系。

1 MWC采样理论

1.1 MWC采样原理

MWC压缩采样系统通过多通道随机序列混频的方式将宽带稀疏模拟信号的所有频率成分调制到低频段来实现低采样率[3]。其系统原理框图如图1所示。

输入信号同时进入m个通道，在第i个通道被周期为Tp(频率为fp)的伪随机序列pi(t)混频，混频后再经过截止频率为1/2Ts的理想低通滤波器进行滤波，最后以1/Ts的速率进行低速采样，得到各个频带内的m组采样值，用于信号的重建。

伪随机序列pi(t)由于具有周期性 ，每个周期内以伯努利分布随机取值M个±。时域模型可以表示为：

pi(t)=αik,kTp/M≤t≤(k+1)Tp/M,0≤k≤M-1

(1)

式中，αit为{+1,-1}。可以得到周期函数pi(t)的傅里叶变换pi(f)为：

(2)

式中，Cil表示伪随机信号的傅里叶系数：

(3)

信号与伪随机信号相乘再通过理想低通滤波器H(f)，然后以fs为采样率进行低速采样得到输出yi(n)，其DTFT可以表示为：

(4)

式中，L0=[fNYQ+fs/2fp⎤-1，fNYQ是信号x(t)的Nyquist采样率。

将(4)式写成矩阵的形式，得到MWC采样系统在频域上压缩感知模型：

(5)

式中，Y(f)是大小为m×1的矩阵，第i个分量表示为yi(f)=Yi(e-j2πfTs)。m×L的矩阵A的元素系数为cil。Z(f)是大小为L×1的矩阵，表示为Z(f)=[z1(f),…,zL(f)]T。且zi(f)=X(f+(i-L0-1)fp)，1≤i≤L，f∈[-fs,+fs]，其中L=2L0+1。

对(5)式取逆离散时间傅里叶变换，可以得到MWC在时域上的压缩感知模型：

y(n)m×d=Am×Lz(n)L×d

(6)

式中,下标d是采样数据长度。

传统双边匹配决策方法建立在期望效用理论基础之上，假设匹配主体是完全理性的，然而在实际匹配过程中，匹配主体在行为上并非完全理性，而表现为参照依赖和损失规避等心理行为特征。1979年Kahneman和Tversky通过大量的实验研究发现了决策者的实际决策行为与期望效用理论相背离的现象，并引入心理学的研究成果，提出了前景理论[22-23]。前景理论使用价值函数取代期望效用理论中的效用函数，能很好地描述和表达匹配主体在决策过程中的参照依赖和损失规避等心理行为特征。

给定A和Y(n)，通过求解式(6)，可以得到未知信号z(n)，从而可以求得原信号。由于m

1.2 MWC采样系统重构

从m个通道的低速采样序列yn(n)中恢复信号x(t)，主要包括两个步骤：一是确定频谱的支撑集；二是根据观测方程，从采样点中重构出信号。

对于未知的支撑集S=suppZ(Fp)，可用连续到有限模块(CTF)[3]求解，其结构如图2所示。

CTF首先计算：

(7)

(8)

得到S后，取出A中所对应S所在的列构成新的矩阵As，从而可以计算各个子带信号：

(9)

(10)

式中，h(t)=sinc(πt/Ts)。经过调制得到重构模拟信号：

(11)

式中，Re(·)和Im(·)分别表示其实部和虚部。

2 非线性效应分析

2.1 问题描述

实际应用中，混频器和低通滤波器的非线性效应是MWC硬件系统中一个很关键的非理想因素。当输入信号大到一定程度时，混频器和低通滤波器会进入非线性工作状态，表现出非线性特性，输出信号达到饱和，不再随输入信号线性变化。器件的非线性效应可用Rapp模型[8]描述，具体可用下式表示。

(12)

式中，Vfull scale为器件的饱和输入电压，r为平滑因子，决定着混频器和低通滤波器由线性区过渡到饱和区的平滑程度。在进入饱和区前，r越大，输出与输入关系越接近线性，器件的线性度越好。可以改变r的值，得到混频器和低通滤波器的不同非线性特性。Rapp模型非线性特性曲线如图3所示。

2.2 影响分析

(13)

(14)

式中，αmixer为混频器的非线性因子，由于Vfull scale为输入信号的满幅度，因此x(t)/Vfull scale的最大值为1。在式(14)中，当pi(t)的傅里叶级数系数Cil所占权重相对较小，且平滑因子r相对较大时，非线性变化相对很小，混频器基本工作在线性区域，信号几乎不会发生非线性失真。

与混频器类似，当处理的信号大到一定值时，低通滤波器会进入非线性工作状态，使输出信号发生非线性失真，导致支撑集正确重构概率降低。低通滤波器的非线性效应同样可以用Rapp模型来描述，具体用公式表示为：

*x(t)pi(t)

(15)

(16)

式中，αlpf为低通滤波器的非线性因子，h(t)与x(t)·pi(t)的卷积结果即为低通滤波器的输出。由于低通滤波器的传输增益为1，并且它把带外的能量全部滤除，信号幅度也比混频器输入信号的幅度要小，所以有：

h(t)*x(t)pi(t)≤x(t)pi(t)

(17)

从而，αlpf≤αmixer。当混频器的非线性因子αmixer≈1时，低通滤波器也基本工作在线性区域，信号不会发生非线性失真，系统的重构性能不会受到影响。

3 仿真实验结果与分析

本节通过仿真进一步分析混频器和低通滤波器非线性效应对MWC系统的影响程度。选用一个频带数目的N=6多频带信号进行研究，多频带信号为：

(18)

式中，sinc(x)=sin(πx)/(πx)。实验设置B=50MHz，信号各频带能量系数为Ei=[1,2,3]，时间偏移τi分别为0.788μs、1.379μs、0.394μs，信号Nyquist采样率fNYQ=10GHz，每个频带的载频在[-fNYQ/2，fNYQ/2]内随机选取。采样时MWC参数设置如下：fs=fp=51.28 MHz；L0=97，L=2L0+1=195。在输入信噪比为10dB和25dB条件下，对不同的通道数分别进行仿真。仿真时，改变混频器和低通滤波器的平滑因子r，在器件的不同非线性度的情况下，各进行100次实验，计算出系统能够正确重构支撑集的概率。

输入信噪比为10dB和25dB时，支撑集正确重构概率随混频器非线性度的变化曲线如图4和图5所示。可以看出，在高输入信噪比的条件下，系统能免受一定程度非线性效应影响，比低输入信噪比的系统表现出更优越的重构性能。当系统的通道数大于或等于30时，混频器的非线性效应不会大幅度地降低支撑集的正确重构概率。通道数越多，式(14)中pi(t)的傅里叶级数系数cil所占权重越小，单路通道混频器非线性效应会降低，则非线性因子αmixer≈1，混频器工作在线性区域，信号不会发生非线性失真，支撑集的重构概率也会随之提高，这与实验前的分析是一致的。

输入信噪比分别为10dB和25dB，支撑集正确重构概率随低通滤波器非线性度的变化曲线如图6和图7所示。和混频器的非线性效应类似，当系统的通道数大于等于30时，低通滤波器的非线性效应不会大幅度地降低系统的重构性能，特别是输入信噪比为25dB，重构概率几乎不会下降，高输入信噪比的系统表现出更佳的重构性能。在低通滤波器非线性最严重情况下，即平滑因子r= 1，系统的通道数为20，输入信噪比为10dB和25dB时，重构概率分别为23%、59%；若非线性器件是混频器，重构概率分别为15%和67%。可见，在相同条件下，混频器和低通滤波器的非线性效应对系统的影响相差不大。提高通道数和输入信噪比可以很明显地提高支撑集正确重构概率，系统的重构性能也得到大幅度的改善。

4 结束语

本文介绍了MWC采样系统的工作原理，利用Rapp模型在理论上分析了混频器和低通滤波器非线性效应对MWC系统的影响，并对其进行了仿真验证。仿真结果表明，器件的非线性效应会降低支撑集重构概率，影响系统的重构性能；提高通道数和输入信噪比可以提高支撑集正确重构概率，降低混频器和低通滤波器非线性效应对系统的影响，改善系统的性能。对于设计实现MWC系统具有一定的指导意义。■

[1] Donoho D. Compressive sensing[J]. IEEE Trans. Information Theory, 2006, 52(4): 1289-1306.

[2] Baraniuk R.Compressive sensing [J]. IEEE Signal Processing, 2007, 24(4): 118-120.

[3] Mishali M, Eldar YC. From theory to practice: Sub-Nyquist sampling of sparse wideband analog signals[J]. IEEE J. Select. Top. Signal Processing, 2010, 4(2): 375-391.

[4] Mishali M, Eldar YC, Tropp JA. Efficient sampling of sparse wideband analog signals [C]∥2008 IEEE 25th Convention of Electrical and Electronics Engineers in Israel,2008: 290-294.

[5] Mishali M, Eldar YC. Xampling: analog to digital at sub-Nyquist rates[J]. Circuits Devices & Systems, IET, 2011, 5(1): 8-20.

[6] Mishali M, Eldar YC. Wideband spectrum sensing at sub-Nyquist rates[J]. Signal Processing Magazine, 2011, 28(4): 102-135.

[7] Tropp JA, Gilbert AC. Signal recovery from random measurements via orthogonal matching pursuit [J]. IEEE Trans. on Information Theory, 2007, 53(12): 4655-4666.

[8] Rapp C. Effects of the HPA-Nonlinearity on a 4-DPSK/OFDM signal for a digital sound broadcasting system[C]∥2nd ECSC Conf., 1991 :179-184.

Analysis of the influence of non-lineartiy effects of mixer and filter on MWC system

Li Wanquan, Huang Zhitao, Feng Daowang, Wang Xiang

(College of Electronic Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, Hunan,China)

In recent years, the sub-nyquist sampling system of modulated wideband converter (MWC) is proposed, and it could take sample of wideband sparse multiband signal without distoration far below the nyquist frequency. But in the actual system, the non-linearity effect of mixer and low pass filter can lead to the distortion of the reconstructed signal. The reason of signal reconstruction error caused by the non-linearity effects of the devices is analyzed theoretically by Rapp model. And through simulation experiment, the influence of the non-linearity effects on reconstruction probabilities of the support set and the effect of channel number and input SNR in reducing the system error are analyzed. The simulation results show that the non-linearity effects of the devices could decrease the reconstruction abilities of the system and it can increase reconstruction probabilities of the support set and improve the performance of the system by increasing the number of channels and input SNR.

modulated wideband converter; sub-nyquist sampling; non-linearity effects; support set

2017-01-05;2017-02-26修回。

李万泉(1992-)，男，硕士研究生，主要研究方向为信号处理与压缩采样。

TN975

A