对求解max-min模糊关系方程Tsukamoto法的简化

吴小瑞,宋振明

(1.西南交通大学 数学学院，四川 成都 610031；2.西南交通大学 智能开发中心，四川 成都 610031)

对求解max-min模糊关系方程Tsukamoto法的简化

吴小瑞1,宋振明2

(1.西南交通大学 数学学院，四川 成都 610031；2.西南交通大学 智能开发中心，四川 成都 610031)

在求解max-min模糊关系方程Tsukamoto方法的基础上，首先对Y矩阵的每列元素进行集合的交运算，缩小解集的范围，再对W矩阵的每列元素进行集合的交运算，使W矩阵从m×n维转化为n×1维，减少一些无用的计算量，避免解集出现空集，或出现重复解，使计算更加简洁。

模糊关系方程;max-min模糊关系方程;Tsukamoto法

模糊关系方程在模糊数学理论中占有重要的地位，被模糊综合评判、模糊控制、模糊识别、模糊决策、模糊系统和数据挖掘等领域广泛应用[1-3]，所以，模糊关系方程的求解问题是一个重要的研究方向。

Tsukamoto方法是20世纪70年代日本学者Tsukamoto Y提出的，该方法最突出的优点是最直接、最直观，但是仍然存在缺陷。计算量随着矩阵方程阶数的增加而呈现指数的增长，且有些计算重复出现，或者许多计算结果是空集，或者给出重复解，或者给出的解被其他解包含。那么将如何避免这些多余的计算呢？因此，针对这些问题进行分析，在Tsukamoto方法的基础上对运算进行一些简化，减少一些重复计算，使计算更简洁、更有效地求得模糊关系方程的所有解。

1 预备知识

下面将给出max-min模糊关系方程的定义及相关的一些定理，简单的介绍如何用Tsukamoto方法[1-3]求解max-min模糊关系方程。

模糊关系方程：

XoA=B

(1)

是模糊关系方程。

下面给出一些相关的定理及算法。

定义两个算子如下：

Tsukamoto方法：

3)对每个Wj1,j2,…,jn矩阵的每一行进行集合的交运算，得矩阵列向量Pj1,j2,…,jn便是一部分解向量，最后对所有的解集合求并，得到最终解的集合。

2 Tsukamoto方法的简化

第二部分得知Pj1,j2,…,jn是模糊关系方程的解，记Xi1,i2,…,in是Tsukamoto方法化简后所求得的解，下面根据这两种解，我们得到

定理2.3 若矩阵Pj1,j2,…,jn，矩阵Xi1,i2,…,in是公式(1)的解，并且满足条件：j1=i1,…,jn=in，有Pj1,j2,…,jn=Xi1,i2,…,in，且矩阵个数相等。

证明：(1)矩阵Pj1,j2,…,jn和矩阵Xi1,i2,…,in个数相等是显然的。因为矩阵Pj1,j2,…,jn和矩阵Xi1,i2,…,in都是由集值模糊矩阵Y中每列非零元素的个数决定。

(2)下面证明解是同一个解。

即pi1=xi1，因此矩阵Pj1,j2,…,jn=Xi1,i2,…,in。

结合(1)、(2)命题成立。

对求解(2)的步骤如下：

注2.1 若从Y的每列所选的非空元素中，所在同一行有两个或两个以上的，先将他们进行相交之后，再去替换中相应行的元素。

下面给一些例子分别用Tsukamoto方法和利用上述定理及性质所得新算法进行求解，并作了比较。

例2.1 解模糊关系方程

(1)方法1。

但是由于计算量非常大，通过同样的方法将下面矩阵的计算过程省略。P3251，P3411，P3451，P3511，P3551，P4211，P4251，P4411，P4451，P4511，P4551，P5211，P5411，P5251，P5512，P5552，P3252，P5452，P3452，P3552，P5451，P5551，P4212，P5511，P4252，P4412，P4452，P4512，P4552，P5212，P5252，P5412，以上所得的解都是空集。

(2)方法2。

通过上述两种方法的比较，第2种明显减少了一些无用计算，并通过定理及性质能够更快解得解是空集，这样既减少了计算的时间，又减少了占用的空间。

3 结 语

模糊关系方程的求解是一个重要的计算工具。何鹏和王学平研究矩阵覆盖，在[0,1]格上研究模糊关系方程极小解的求解问题[16]。本文分析Tsukamoto方法，利用蕴涵逻辑公式，减少矩阵的维数，简化矩阵，在Tsukamoto方法的求解过程作了一些简化，得到一种新的方法。

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Simplified Tsukamoto Method of Solving Max-min Fuzzy Relation Equation

WU Xiaorui, SONG Zhengming

(Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031，China)

Based on the Tsukamoto method of solving the fuzzy relation equations, firstly, the conjunctive operation for the each element of column of Y matrix is calculated, and the smaller scope of the solution set is obtained. Then, the Conjunctive operation for the each element of column of W matrix as well, m n dimension is transformed into n 1 dimension in W matrix to reduce the useless calculation and avoid appearing empty set, or duplicate solution. Thus, the solution of max-min fuzzy relation equation is simplified.

fuzzy relation equation; max-min fuzzy relation equation; Tsukamoto method

2016-11-23

吴小瑞(1987-)，女，甘肃平凉人，在读硕士研究生，主要从事智能信息处理方面的研究.

国家自然科学基金项目( 61175055).

10.3969/i.issn.1674-5403.2017.02.021

O29

A

1674-5403(2017)02-0079-04