化“折”为“直” 巧解最值

王学俊

化“折”为“直” 巧解最值

王学俊

转化思想是一种最基本的数学思想，用于解决问题的基本思路是：化未知为已知，把复杂的问题简单化，把生疏的问题熟悉化，把非常规的问题常规化，把实际问题数学化，实现不同的数学问题间的相互转化，这也体现了把不易解决的问题转化为有章可循、容易解决的问题的思想.

【探索活动】

引例：如图1，在一条小河l（小河的宽度忽略不计）的两侧有两个村庄A、B，在小河边修一码头P，使PA+PB和最短.

图1

图2

【分析】可能你不难发现动点P的位置，连接AB与l的交点即为点P，如图2.因为两点之间线段最短，求“共点折线”（有公共端点的折线段）的最值问题，把“折线”转化为“直线”是解决这一类问题的基本模型.

变式：如图3，若两个村庄A、B在小河l的同侧，在小河边修一码头P，使PA+PB和最短.

图3

图4

【分析】这也是一道求“共点折线”的最值问题，但与上题的不同之处在于：两定点位于动点所在直线的同侧.如图4，利用对称性把同侧问题转化为两侧问题，且可保证动点P到A、A′的距离相等，要求PA+PB和最短，只要求PA′+PB和最短，这样，化“折”为“直”即可解决.

【提炼方法】

求“共点折线”的最值问题方法：

（1）若两定点在动点所在直线的同侧，利用对称性，把同侧问题转化为两侧问题；

（2）通过化“折”为“直”来巧解最值.

【知识运用】

一、两折线问题

例1 如图5，正方形ABCD的边长是4，点P是CD上一点，且DP=1，Q是对角线AC上任一点，求：QP+QD的最小值.

图5

图6

【分析】求动点Q到两定点D、P的距离和的最小值，就是求“共点折线”的最值问题，你能从复杂的图形中找到熟悉的原型吗？

【解题思路】

（1）化同侧为两侧：如图6，找到点D关于动点Q所在直线AC的对称点B；

（2）化“折”为“直”：连接BP，线段BP的长即为QP+QD的最小值.

因为在Rt△BCP中，BC=4，CP=3，所以BP=5，即QP+QD的最小值为5.

变式：如图7，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求：MN+BM的最小值.

图7

【分析】这是一道求“共点折线”的最值问题，与之前有所不同的是：点N也是一个动点.要将其转化为所学的方法解决，必需化“动”为“定”，可先将点N看成一个定点来解决.

【解题思路】

（1）化“动”为“定”：先把动点N看成定点，利用化“折”为“直”找到线段和的最小值.如图8，作点B关于AD的对称点B′，连接B′N，线段B′N的长即为MN+BM的最小值.

（2）再把点N看成动点，当点N运动到B′N⊥AB时，线段B′N的长度最小，如图9.这样问题就转化为求一点B′到线段AB的距离.

图8

图9

因为AB=4，所以AB′=4，

在△ANB′中，∠ANB′=90°，∠BAC=45°， sin45°=NB′∶AB′，∴B′N=22，即MN+BM的最小值为

【题后反思】求“共点折线”的最值问题，要能从复杂的图形中找到熟悉的原型，从而把复杂问题简单化.若两定点变为一动一定时，可将动点看成定点，把非常规问题常规化.

二、三折线问题

例2 如图10，在平面直角坐标系中，A（1，3），B（4，1），在x轴上找一点M，在y轴上找一点N，使四边形ABMN周长最小，求点M、N坐标.

图10

【分析】图中A、B为定点，M、N为动点，所以AB长度为定值，要使四边形周长最小，只要AN+NM+MB和最小，这是一道“三折线”和最小问题.要想用所学的知识来解决，必需遮挡住其中一条折线，使其转化为“两折线”问题，找出表示两折线和的最小线段，再求出与第三条折线和的最小值.

【解题思路】

（1）化“三折”为“两折”：遮挡住其中一条线段，如图11，把点M看成定点，线段A′M长即为AN+NM和的最小值.

（2）再求A′M+MB和的最小值，如图12，线段A′B′长即为AN+NM+MB和的最小值.

（3）要求M、N点的坐标，可先求出直线A′B′的函数关系式，再求它与坐标轴的交点.

图11

图12

由对称可知：A′（-1，3），B′（4，-1）.

【题后反思】求“三折线”和最小问题，我们可以遮挡一部分，将其转化为熟悉的“两折线”问题求解，再依次求解.以后遇到多折线都可以用这方法.

变式：如图13，在平面直角坐标系中，A（1，3），B（4，1），在x轴上有两点C（a，0），D（a+2，0），当a为何值时，四边形ABDC周长最小.

图13

【分析】图中A、B为定点，所以AB长为定值，这也是一个“三折线”和最小问题，但从C、D坐标可看出CD=2，要使四边形周长最小，只要AC+BD和最小.这与“共点折线”不同的是，这两条线段没有公共端点.要想用所学知识来解决，就要使两条线段有公共端点，可以通过平移变换将其转化为“共点折线”来解决.

【解题思路】

（1）将两线段转化为“共点折线”：如图14，将点B水平向左平移2个单位，连接CB′，即得到CB′=DB，AC+BD=AC+B′C；

（2）如图15，当AC+CB′的和最小时，确定点C的位置；

（3）求出直线AB″的函数关系式与x轴的交点即为点C坐标.

图14

图15

因为B（4，1），所以B′（2，1），B″（2，-1），

直线AB″的函数关系式是y=-4x+7，

【题后反思】若两线段无公共端点，要求它们和的最小值，可先通过平移将其转化为“共点折线”，再化“折”为“直”来求和的最小值.

在解决上述问题的过程中，我们应用了化“折”为“直”、化“动”为“定”、化“三折”为“两折”等方法，充分体现了用转化思想解决问题的基本思路，也体现了把不易解决的问题转化为有章可循、容易解决的问题的思想.

（作者单位：江苏省常州市金坛区直溪中学）