关于n阶幂指函数求导和取对数的探索

陈旌

【摘要】本文就幂指函数的求导和取对数进行了相关探索。关于求导先讨论3阶幂指函数，然后扩展到n阶。然后对幂指函数取对数次数进行了讨论。

【关键词】幂指函数 求导 对数

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）18-0211-01

一、引言

n阶幂指函数指的是形如的函数，关

于幂指函数的求导已经有部分研究，而高等数学对幂指函数求導的要求限制在2阶以内。

本文对阶幂指函数求导进行了进一步推广和延拓，推导出 阶幂指函数求导时的相关公式和取对数的次数.

二、推导定理

引理1[2] 一元幂指函数的求导公式为

.

定理1若，则同样有

证明：当时，由引理1可知

因为且可导，由引理1可知

综合以上步骤，当无论正负，且它们均可导时，有

说明： （1）定理1弱化了引理的条件，对阶幂指函数 且且均可导

时，的正负不影响的求导.

（2）由定理1给出了3阶幂指函数的求导公式。对一般的n阶幂指函数，都可以应用此定理来求导。当时，借助整体代换思想，将视作一个整体，先求出导数，再对使用同

样的方法，依次代换，最后可以求出导数。

定理2对幂指函数，其中，

，（1）当不含的幂指函数，则至少经过次取对数，有，中没有的幂指函数；

（2）当含有的幂指函数，即，

当其不为0时最少经过次取对数，使中不含关于 的幂指函数.

证明 ：（1） 当时，由数学归纳法.

当=1时，显然不是的幂指函数.

设当时，至少经过次取对数，使阶幂指函数中幂指形式消失.

则当时，，两边同时取对数得

右边即为关于的阶幂指函数.由归纳假设，还得经过取对数次来消除幂指形式.故当时，一共需要取对数次消除幂指形式.

即当时，需要取对数次来消除幂指形式.

当时，，

由且其导数非0，可经次取对数消除的

幂指形式.

综上，的正负性与取对数的次数无关，即证.

（2）中含的幂指函数时，对作次对数有：

其中为阶幂指函数，由之前推导，要消去等号右边的幂指函数，需进行次取对数.

即证.

参考文献：

[1]贾晓峰.微积分与数学模型.上册[M].3版.北京：高等教育出版社.2015.9.

[2]张勇军.一类幂指函数求导公式的推导[J].海南大学学报：自然科学版，2012，30（二）：107-109.

[3]B. Wu， Y. Lin， Application of the reproducing kernel space， Science Press， 2012.