基于线性规划模型的教学比赛人员安排决策

王茜

【摘要】本文主要讨论了如何选派教师参加教学比赛，使团体总分最高的问题，通过设置0-1变量，建立线性规划模型，利用lingo软件进行求解，获得最优方案。

【关键词】线性规划 人员安排 团体总分 lingo

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）18-0222-02

教学工作是学校的中心工作，教学质量是学校的生命线。学校经常举办和参加各级各类的教学比赛活动是提升教师个人能力以及提高学校教学质量的重要途径。然而，怎么合理选派人员代表学校参加更高级别的教学比赛为校争光，取得更好的成绩是值得我们思考的问题。本文针对这一问题，建立0-1变量的线性规划模型，使用lingo软件进行了优化求解，给出合理的决策方案。

1. 问题的提出

某校将从甲、乙、丙、丁、戊五名教师中选派若干人组成代表队，去参加该地区各学校之间的教学比赛。每项比赛只能选派一人参加，比赛结果将以团体总分计名次（不计个人名次）。下表是四名教师选拔时的成绩。

（1）如何安排才能使团体总分最高？

（2）如果四项比赛在同一时间进行，要求每人最多参加一项比赛，由于鼓励新人参加，乙必须参赛，安排方案有无变化？

（3）在问题（2）基础上，为兼顾每个人的特长，说课比赛必须由甲或乙完成，教学设比赛计必须由甲或丙或戊完成，安排方案如何制定？

2. 问题的分析

对于如何选派教师参加教学比赛使得所得团体总分最多的问题，所得团体总分是决定因素，而其最关键就是选择哪名教师参加哪一项比赛。这是一个寻求最佳方案的优化问题，我们选用线性规划进行求解。首先假设决策变量，设用i=1，2，3，4，5分别表示甲、乙、丙、丁、戊五名教师，j=1，2，3，4分别表示教学设计、说课、课堂教学、微课这四个比赛项目。由于每位老师是否参加每项比赛只有两种选择：参加或者不参加，像这样只有是与否两种选择的问题，我们考虑用0-1变量进行假设，即

设表示第i名人员参加第j项比赛的得分，Z表示该校代表队完成所有四项比赛的总得分。

其次确定目标函数，以总分数最多为目标，最后根据每一问的不同要求列出约束条件。

3. 模型建立与求解

题目中三个问题始终以团体总分最高为目标，因此三问中的目标函数均为求完成所有四项比赛总分数的最大值：。下面针对三问中不同的约束条件分别讨论：

问题一：每项比赛只能选派一人参加，但并未限制每人只能参加一项比赛，约束条件为：

利用lingo软件进行求解，得到如下结果：x11=1，x32=1，x43=1，x44=1。

即应派甲参加教学设计比赛，丙参加说课比赛，丁参加课堂教学和微课比赛，此时团体总分最高，为362分。

问题二：由于每人最多参加一项比赛，且乙必须参赛，约束条件为：

利用lingo进行求解，得到如下结果：x11=1，x24=1，x32=1，x53=1。

即应派甲参加教学设计比赛，乙参加微课比赛，丙参加说课比赛，戊参加课堂教学比赛，此时团体总分最高，为356分。

问题三：在问题（2）的基础上，即就是限制每人最多参加一项比赛，乙必修参赛，且说课比赛必须由甲或乙完成，教学设比赛计必须由甲或丙或戊完成，约束条件为：

利用lingo进行求解，程序如下：

model：

sets：

person/1..5/；

task/1..4/；

link（person，task）：a，x；

endsets

data：

a=92，94，76，81，

84，87，73，80，

91，95，87，79，

79，83，84，86，

89，84，89，78；

enddata

max=@sum（link：c*x）；

@for（person（i）：@sum（task（j）：x（i，j））<=1）；

@for（task（j）：@sum（person（i）：x（i，j））=1）；

@sum（task（j）：x（2，j））=1；

x（1，2）+x（2，2）=1；

x（1，1）+x（3，1）+x（5，1）=1；

@for（link（i，j）：@bin（x（i，j）））；

end

得到如下结果：x11=1，x22=1，x44=1，x53=1。

即应派甲加教学设计比赛，乙参加说课比赛，丁参加微课比赛，戊参加课堂教学，此时团体总分最高，为354分。

3. 模型评价与推广

本文较好的解決了在保证团体总分数最高的情况下，如何选派参赛人员的决策问题，建立线性规划模型，利用lingo软件进行求解，得到了具体合理的方案。由于这三个问题的lingo程序较为相似，本文中只给出第三问的lingo程序，前两问只需根据约束条件删去对应部分即可。本模型稍作修改可以应用于企业、商业的员工排班问题及员工技能大赛的安排等问题，有较为广泛的应用。

参考文献：

[1] 韩中庚. 数学建模方法及其应用[M].高等教育出版社，2009.

[2] 姜启源，谢金星，叶俊. 数学模型[M].高等教育出版社，2003.

[3] 肖华勇.实用数学建模与软件应用[M].西北工业大学出版社，2008.