归纳推理在商不变规律教学中的应用

郑素珍

【摘要】2011年版课标指出：推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果，有归纳推理、类比推理、统计推理，其中归纳推理是从特殊到一般的思维方式。小学数学中的许多概念、公式、法则和规律等，通常都是通过对个别具体事例的观察分析、抽取出其本质属性而概括出来的。本文以归纳推理在商不变规律的教学中应用为例，应用归纳推理发现规律；总结规律；迁移规律；完善规律。

【关键词】归納推理 发现规律 总结规律 迁移规律 完善规律

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）18-0175-01

2011年版课标指出：推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果，有归纳推理、类比推理、统计推理，其中归纳推理是从特殊到一般的思维方式。小学数学中的许多概念、公式、法则和规律等，通常都是通过对个别具体事例的观察分析、抽取出其本质属性而概括出来的。本文以商不变规律教学为例，谈谈归纳推理的应用。

一、应用归纳推理发现规律

教学时，借助具体例子的计算、观察、分析，引导学生发现商不变规律。通常是这样教学的，出示教材例题：先按要求算一算、填一填，再比较并算出结果。

被除数 除数 除法算式 商

100 20 100÷20 5

100×2 20×2 200÷40

100×4 20×4

100×5 20×5

100÷2 20÷2

100÷4 20÷4

100÷5 20÷5

完成表格的填写后，引导学生观察表格，教师提出问题：以第一行100÷20为标准，被除数和除数是怎样变化的？它们的商怎样？你从中发现了什么？引导学生借助具体的例子，从分开具体说，被除数和除数同时乘2或4或5，商不变，被除数和除数同时除以2或除以4或5，商不变，到合起来抽象说，被除数和除数同时乘或除以同一个数，商不变，直到最后完整说，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。教学时以100÷20为载体，通过举例计算被除数和除数同时乘或除以2或4或5的6道算式，观察被除数、除数的变化，发现商始终不变，进而从分开说到合起来说再到完整说隐含的商不变规律，充分发挥了归纳推理从特殊到一般的思维魔力。

二、应用归纳推理总结规律

解决问题中蕴涵的规律，可以通过归纳推理引导学生发现并加以总结。如，解决问题：甲、乙两地之间的公路长336千米。已知自行车每小时行14千米，中巴车每小时行56千米，摩托车每小时行42千米，小轿车每小时行84千米。使用上面的交通工具，从甲地到乙地各需要多少小时？

336÷14=24（小时）

336÷42=8（小时）

336÷56=6（小时）

336÷84=4（小时）

在学生列式计算后，引导学生观察上面四个算式，被除数、除数、商之间的变化。依托具体的算式，学生总结出了路程不变，速度乘或除以几，时间反而除以或乘几，进而抽象出：被除数不变，除数乘或除以几，商反而除以或乘几的规律。又如，一辆三轮车每次可以运20箱苹果，用这辆三轮车运100箱苹果，几次能运完？如果运200箱苹果呢？运400箱、500箱呢？

待学生填写完表格后，引导学生观察，总结出：每次运的箱数不变，总箱数乘或除以几，运的次数也随着乘或除以几，进而抽象归纳出：除数不变，被除数乘或除以几，商也随着乘或除以几的规律。

最后把这三个规律对接起来：

被除数不变，除数乘或除以几，商反而除以或乘几；

除数不变，被除数乘或除以几，商也乘或除以几；

商不变，被除数乘或除以几，除数也乘或除以几。

由商不变规律引申到被除数不变、除数不变规律，从点到面，完善学生的认知结构。

三、应用归纳推理迁移规律

计算中，可以引导学生运用归纳推理迁移规律。比如，想一想，下面的题目应用了什么规律来计算的？

400÷25=（400×4）÷（25×4）=1600÷100=16

3000÷125=（3000×8）÷（125×8）=24000÷1000=24

通过观察被除数、除数的变化，学生发现是运用归纳推理进行计算的。借此教师问道：这里的除数有什么特点？引导学生发现25×4=100，125×8=1000，除数是个特殊的数，本组题正是利用数的特殊性，再应用商不变规律，使计算简便的。此时教师乘机出示下列问题：

800÷25 625÷25 2000÷125 8000÷125

有了前两题的依托，学生能自如地迁移规律进行计算：

800÷25 =（800×4）÷（25×4）=3200÷100=32

625÷25 =（625×4）÷（25×4）=2500÷100=25

2000÷125=（2000×8）÷（125×8）=16000÷1000=16

8000÷125=（8000×8）÷（125×8）=64000÷1000=64

接着，再次抛出问题，请你设计类似这样的计算题，至少两题，除数不重复。有的学生设计了700÷25和4000÷125；还有的学生设计了800÷50和780÷20；更有学生设计了1400÷35和1800÷45等等。通过想规律、用规律到设计规律的练习，学生自觉地实现了规律的迁移。

四、应用归纳推理完善规律

商不变规律应用于划0简算，遇到有余数的除法时，引起了余数的变化，而这个认知点，成为了学生学习的一个难点，练习中常出错，于是对商不变规律要进行完善。据此，可以设计题组，比如，出示下列3道题：

1. 240÷50=4……40

2.（240×10）÷（50×10）=4……400

3. （240÷10）÷（50÷10）=4……4

引导学生观察，被除数、除数怎样变化？商呢？余数呢？从而完善原有的商不变规律，归纳出：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，余数也同时乘或除以一个相同的数。至此，扩展了商不变规律的含义，澄清了学生应用商不变规律计算时对余数的模糊认知。

总之，归纳推理是从特殊到一般的推理，它分为完全归纳推理和不完全归纳推理。以上几例都是应用不完全归纳推理，它的结论具有或然性，小学阶段没有要求证明。以上仅例举了归纳推理在规律教学中的应用，它不仅能够有效培养学生观察、分析、综合、判断、归纳的思维能力，还可以有效地解决实际问题。因此，要奠定为数学思想而教的理念，让数学的学习因思想思想的照耀而光芒，因数学思想的熏陶而有内涵，因思想思想的渗透而顿悟。