高中数学研究性学习的探索与实践

周峻

随着当今基础教育课程改革的实施，研究性学习已成为基础教育课程改革的核心问题之一。高中《数学课程标准》在要求学生掌握基础知识和基本技能的同时，倡导积极主动的、勇于探索的学习方式。学生的数学学习活动应由只限于接受、记忆、模仿和练习的方式向自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等方式转变。数学研究性学习，有利于提高学生的创新精神和创造能力，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。那么什么是数学研究性学习呢？在实施时又需要注意些什么呢？

一、数学研究性学习的概念及特点

数学研究性学习是指学生在数学教师或相关学科教师的指导下，从某些数学问题以及其它学科或实践生活中出现的问题中选择并确定研究性课题，运用类似于数学学科的科学研究方法去获取和应用数学知识，从而在掌握数学知识的同时，体验、理解、掌握和应用数学学科的研究方法，培养科学精神，发展科研能力的一种学习方式。

数学研究性学习具有以下特点：（l） 开放性；表现在内容、方法、信息收集的渠道及研究中师生关系。（2） 探究性；主动地提出问题，积极地寻求解决问题的方法，探求结论的自主学习的过程。（3） 实践性；关注现实生活，亲身参与社会实践性。

二、数学研究性学习的培养要求

1、数学研究性学习是学生数学学习的一个有机组成部分，是在基础性、拓展性课程学习的基础上，进一步鼓励学生运用所学知识解决数学的和现实的问题的一种有意义的主动学习，是以学生动手、动脑、主动探索实践和相互交流为主要学习方式的学习研究活动。它能营造一个使学生勇于探索争论和相互学习鼓励的良好氛围，给学生提供自主探索、合作学习、独立获取知识的机会。

2、数学研究性学习课题主要是指对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究。要充分体现学生的自主活动和合作活动。研究性学习课题应以所学的数学知识为基础，并且密切结合生活和生产实际。

三、培养中学生数学研究性学习的一般方法

1.教师引导、学生自学式方法

结合教材内容把典型课题设计为研究性问题.这些课题可以是数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的发生、发展和形成过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的概括过程等。通过学生自学探讨使这些知识形成过程让学生去发现、认识、再创造的研究性活动，以培养学生的能力。

如曲线的方程和方程的曲线是解析几何的重要概念，理解辨析“两个关系”是教学的难点，学生不理解规定“曲线上点的坐标都是方程的解”和“以方程的解为坐标的点都在曲线上”的意义何在，各自起何作用，只從字句上死记硬背，或干脆认为同义反复，随后面对充分必要条件、轨迹的纯粹性完备性等一系列数学抽象学生更加费解。

例1： 证明以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2+y2=25，并判断点M1（3，4），M2（-2 ，2） 是否在这个圆上。

引导学生借助“几何画板”平台，通过上例引出两个关系，直观表示概念的形成过程给出正面演示：在⊙O：x2+y2=25上任取一点P，让学生“测算”坐标值后计算平方和，显示 ，并制作动画让点P沿⊙O移动，学生观察到随点P的运动其坐标值自动更新，但 保持不变.另一方面，选中两端点在x轴上的⊙O直径，在其上任取一点A，“测算”该点横坐标x，计算 作为纵坐标y，绘制点B、C，缓缓拖动点A，容易发现点B、C 总在⊙O上。这样通过上述的动态模拟，用学生的亲身体验建立起“曲线上的点”与“方程的解”之间的对应关系，完成对“两个关系”的意义构建。

2.问题探究式方法

数学问题的提出是一个发现和产生数学问题的过程。在这个过程中，主要通过对数学情境基本构成要素的观察、分析，深入挖掘隐藏于其中的数学关系，大胆置疑，大胆猜想，并确定新的未知构成要素，即提出一个新的数学问题。

例2：如图，正方形截面的可能形状，截面的形状是什么样的？根据此问题我们可以设计一系列的探究问题：

（1）给出分类的原则（例如按截面的边数分类）。按照你的分类原则，能得到多少类不同的截面？

（2）如果截面是三角形，你认为可以截出几类不同的三角形？

（3）如果截面是四边形，你认为可以截出几类不同的四边形，证明上面的结果。

（4）截面多边形的边数最多有几条？说明理由。

（5）截面可能是正多边形吗？可能有几种？画出示意图。

（6）如果截面是三角形，其面积最大为多少？画出示意图。

（7）你还能提出那些相关的数学问题？

上述数学问题提出便是把一个数学问题情境变成一个新的数学问题情境的过程.通过从不同角度、不同侧面及其实际意义进行研究，激发了学生强烈的求知欲，培养了学生的探索精神和应变能力，可以使学生进一步认识和理解数学。

3.数学建模以及应用式方法

用于数学研究性学习的素材应是建立在学生现有知识经验基础之上，能够激起学生解决问题的欲望，体现数学研究的思想方法和应用价值，有利于营造广阔的思维活动空间，使学生的思路越走越宽，思维的空间越来越大的一种研究性材料。数学研究性学习的材料不仅仅是教师自己提供的，而且教师应鼓励学生通过思考、调查、查阅资料等方式概括出问题，甚至可以通过日常生活情景提出数学问题，进而提炼成研究性学习的材料。在研究性学习的过程中，学生是学习的主人，是问题的研究者和解决者，是主角，而教师则在适当的时候对学生给予帮助，起着组织和引导的作用。联系实际，让学生参与研究性学习实践活动，自己提炼数据建立模型来解决实际应用问题。

例3：一条河的两岸平行，河的宽度d=500m.一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船航行的速度|v1|=10km/h，水流速度|v2|=4km/h，那么v 1与v2的夹角 （精确到1°）多大时，船才能垂直到达对岸B处？船行驶多少时间（精确到0.1min）？

教师让学生在计算机上用几何画板建立模型，通过数学模型进而获得BC两点距离与河宽 之间不同关系时， 、 、 相应的数据，再从数据中探究 与 的关系式，并求出当 为何值时， 的最小值，最后用几何画板加以验证。

总之，研究性学习作为一种学习方式渗透到数学学科的教学活动中，给教师的教学观念带来了深刻的变化，教师不再为某个问题讲得是否透彻，学生是否真正理解而担忧，因为通过学生的自主学习、交流、合作研究活动已把问题解决得趋于完美，有时虽然不甚完美但教师也只要稍加点拨就可把问题彻底解决，不必多费口舌。而给学生带来了的更是深远的影响，因为老师“唾沫横飞”“眉飞色舞”的时间少了那么势必给学生思考学习的时间就多了，大部分的问题可以通过学生自主学习而得以解决，留下来的少部分问题再通过学生间、师生间的合作交流加以解决，相对来说这样的数学课学生较喜欢上，与“满堂灌”“一言堂”的课相比，更易出效率。