数学文化题靓丽新名片

张德尚

什么是数学文化？从狭义上讲，是指数学思想、数学方法、科学精神、观点语言，以及它们的形成与发展. 从广义上讲，除上述内容外，还包括数学家、数学史、数学美学、数学教育、数学中的人文成分，以及数学与各种文化的联系等等.

考查數学文化，缘于功能和意义

它的意义和功能有以下几个方面：

一、以史为鉴，传承历史，开辟数学未来.

数学史是数学文化的一部分，是了解古代文化和价值取向的重要途径. 研究数学史和数学文化，是为了传承数学知识与数学文化，少走弯路和错路，为数学的发展提供依据和方向.

二、弘扬中华古代数学文化，增强民族自豪感.

试题中出现的文化题大都出自中国古代的著名的数学专著，比如《九章算术》《数书九章》等. 这些著作都是我国古老的文明成果，有些研究成果比国外的早了几百年，甚至上千年，反映了古人在数学领域的研究水平，体现了前人的智慧，也说明了我国是一个历史悠久、文明丰盛的国度，以此增进我们对中华民族、中华文明的自豪感和优越感，激发学习数学的积极性.

三、体现新课标要求，培育核心素养.

事实上，选修课程中就有《数学史选讲》，这本书较为全面地介绍了中国古代数学史的演变过程，一些重大的数学事件，一些著名的数学著作，记载了一些著名的数学名题. 所以，从中选一些小问题加以改编，来考查大家的知识和能力，反映了新课标对高中教学的要求，增强同学们的人文底蕴.

四、融合高中数学知识，体现数学思想与方法.

古代数学家在研究问题时都有一套独到、奇妙和具有广泛意义的方法，学习数学史和数学文化可以帮助大家掌握科学的学习方法，培养科学精神. 这也是我们现在提倡的数学核心素养之一. 古代数学名著中有很多数学问题与高中数学有联系，因而就成了高考命题的素材. 比如女子织布问题、牟合方盖问题、天池盆测雨问题等，都涉及高中数学中的数列、立体几何中的面积和体积等相关知识，还有合情推理、排列组合知识. 同时，通过这些试题融合一些数学思想与方法，比如割补法，等体积法，极限思想等.

五、增添试题的美感和诗意，体现数学之美.

在数学试题中增加数学文化题，不仅考查了数学知识、数学思想与方法，而且还增加了色彩与美感. 从而让数学试题不再显得枯燥乏味，让同学们在考试中有一种新颖、愉悦的体验，让大家在接受数学专业训练的同时，增强人文科学修养.

抹彩数学文化，富于美感与诗意

例1 数学与文学之间存在着许多奇妙的联系. 诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来真是一种享受！

回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数. 如22，121，3443，94249等. 显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99. 3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.

（1）4位回文数有 个；

（2）位回文数有 个.

解析 由回文数的对称性知，4位的回文数有：. 个回文数有：个.

点评 数学的问题用文学诗词表达出来，真是别有一番韵味！诗中有回文诗，数中有回文数，都有结构上的对称美. 在古代，很多数学问题都用诗词、诗歌加以表达. 比如《算法统宗》的“儒生分书”问题就是用诗歌描述的.

毛诗春秋周易书 九十八册共无余

毛诗一册三人读 春秋一册四人呼

周易五人读一本 要分每样几多书

例2 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…，记为数列，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列. 可以推测：

[·][·

· ·][·

· ·

· · ·

][·

· ·

· · ·

· · · ·

][…][1][3][6][10]

（1）是数列中的第 项；

（2）= . （用k表示）

解析 由以上规律可知，三角形数1，3，6，10，…，的一个通项公式为，写出其若干项有：1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，110，发现其中能被5整除的为10，15，45，55，105，110，

故.

由上述规律可猜想：，

（为正整数）

故，即是数列中的第5030项.

答案 （1）5030 （2）为整数

点评 “形是数的伴侣”. 三角形数、正方形数、正五边形数等，都是构型优美的数，这些数本身就体现了数形结合的思想. 将这些“优美的数”结合数列知识考查，真可谓融合无痕！

链接数学文化，融合知识与方法

例3 古希腊数学家海伦想出海伦逼近法：把某数的平方根的近似值记为，则. 如求，让，若取得，；再取得，，反复进行迭代就得到的近似值. 若取，用海伦逼近法求的近似值，则满足的的最小值为（ ）

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

答案 C

点评 数学家及其成就其实也是数学文化的一部分. 海伦逼近法是一种迭代法和极限思想.

例4 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升.

解析 设该数列的首项为，公差为.

依题意得，即

解得，

则.

答案

点评 这是《九章算术》中的“竹九节”问题，融合了等差數列知识. 《九章算术》是我国古代最具代表性的数学著作，开创了用构造算法来解决各类问题的东方数学发展的辉煌道路. 著作注重算理、算法，其中有很多可以转化为等差数列的问题.

例5 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积，求其直径的一个近似公式. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据判断，下列近似公式中最精确的一个是（ ）

A. B.

C. D.

解析 球的体积，从而得到，与之最接近的是D项.

答案 D

点评 “开立圆”是以“立圆”（球）的体积，求直径的方法，用的公式是. 这个公式误差很大，后来祖冲之父子求得，它是中国数学史上的一个杰出贡献.

传承数学文化，体现经世与济用

例6 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺. 问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（米堆为圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为尺，米堆的高为尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知斛米的体积约为立方尺，圆周率约为，估算出堆放的米约有（ ）

A. 斛 B. 斛

C. 斛 D. 斛

解析 由得，圆锥的底面半径，则米堆的体积，所以堆放的米有：斛.

答案 B

点评 本题是“米谷粒分”问题，源于《九章算术》第五章“商功”，结合立体几何中的基础知识设问，强化了数学文化的传承和数学意识的培养.

例7 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸. （注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸.）

答案

点评 “天池盆测雨”是《数书九章》的一个著名的问题. 将实际生活中的测雨量问题与立体几何的圆台体积结合，充分体现了数学文化中的“数学之用”.

趣化数学文化，增强情景与味道

例8 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鱉臑. 如图，在阳马中，侧棱，且，过棱的中点，作交于点，连接.

（1）证明：.试判断四面体是否为鱉臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由.

（2）若面与面所成二面角的大小为，求的值.

答案 （1）四面体为鱉臑，四个直角分别为

（2）=

点评 将立体图形在古代的别称与立体几何结合起来，名称虽有些生僻，但是，不能否认其情景的新颖有趣. 在趣味中考查了立体几何中点、线、面的位置关系和二面角. 这里不妨拓展一下，在《九章算术》中，一些特殊的图形是有一些有趣的别称的，比如下列图形与别称：

“堑堵”——底面为直角三角形的直棱柱.

“阳马”——底面为矩形而有一棱与底面垂直的四棱锥.

“鱉臑”——底面为直角三角形而有一棱和底面垂直的三棱锥，即有四个面都为直角三角形的四面体.

“方亭”——正四棱台.

“刍童”——上下底面都为长方形的棱台.

还有“刍甍（meng）”“羡除”等图形.