绝对值不等式题型剖析

王勇

绝对值不等式主要涉及绝对值三角不等式、绝对值不等式的解法与证明、利用不等式的“恒成立”“能成立”“恰成立”求解参数的取值范围等. 下面结合典型例题对绝对值不等式常考题型分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.

绝对值三角不等式的应用

例1 ，的最小值为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析 根据绝对值三角不等式得，

，

当且仅当，即时取等号.

，

当且仅当，即时取等号.

于是，，故所求最小值为3.

答案 C

例2 已知，且，，求证：.

分析 先将写成，然后利用绝对值三角不等式求证即可.

解 ，

由绝对值三角不等式得，

，

即.

点评 本题将化为，既与已知条件挂钩，又为利用绝对值三角不等式创造条件，是一石二鸟之举.

绝对值不等式的求解与性质

例3 设不等式的解集为，且，.

（1）求的值；

（2）求函数的最小值.

解析 （1）因为，且，

所以，且.

解得，.

又因为，所以.

（2）由（1）知，函数.

因为，

当且仅当，即时取等号，所以的最小值为3.

点评 本题第（1）问求解的关键是根据元素与集合的关系得到关于的两个不等式；第（2）问需要先明确函数解析式，再利用绝对值三角不等式求最小值.

绝对值不等式的求解与不等式“恒成立”问题

例4 设.

（1）求的解集；

（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.

解析 （1）由得，

或

或

解得，

所以的解集為

（2）

当且仅当时取等号.

由不等式对任意实数恒成立得，

，即.

解得，，或.

故实数的取值范围是.

点评 本题第（1）问利用“零点分段法”求解；第（2）问先利用绝对值三角不等式求出的最大值，再利用不等式恒成立原理得到，最后利用“零点分段法”求解即可.

绝对值不等式的求解与不等式“有解”问题

例5 已知函数.

（1）当时，解关于的不等式；

（2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围.

解析 （1）当时，可化为.

①当时，不等式可化为，解得，；

②当时，不等式可化为，无解；

③当时，不等式可化为，解得，.

故原不等式的解集为.

（2）由“，使得不等式成立”可得， .

又，

故.

解得，.

故所求实数的取值范围是.

点评 本题第（1）问用“零点分段法”求解即可；第（2）问用到如下原理：一般地，若函数存在最值，则有实数解；有实数解；有实数解；有实数解.

绝对值不等式的求解与综合性问题

例6 设实数均满足不等式组

（1）证明：；

（2）比较的大小，并说明理由.

解析 （1）解不等式得，

或

解得，.

解不等式得，，

解得，.

所以原不等式组的解集为.

则.

所以，

即

（2），理由如下.

由（1）得，，则.

因为

所以，即

点评 本题将含有绝对值不等式的解法与证明融为一体，所用技法属于通性通法，考生应切实掌握. 而不等式证明的基本方法（比较法、综合法、分析法），考生也应熟练掌握，不宜追求深奥险怪.