数学归纳法在高中数学证明题中的应用技巧初探

摘 要：证明题是高中数学题中的难题之一，如果将数学归纳法巧妙地应用在证明题中，将会大大降低题目难度。本文结合相关案例作具体说明，以此来解决我们学生的证明难问题。

關键词：数学归纳法 高中数学 解题技巧

引言

高中数学是一门逻辑性非常强的课程，有相当一部分知识非常抽象，我们高中生对一些抽象概念非常难理解，因而在做题时更不会灵活运用，特别是遇到一些证明题，看到题目后往往无法下手，不知道如何来证明。因此巧妙地使用数学归纳法，使得一些难题迎刃而解。[1]

一、数学归纳法概述

最早使用数学归纳法的证明出现于FrancescoMaurolico的Arithmeticorumlibriduo，在1575年。Maurolico利用递推关系巧妙的证明出了前个奇数的总和是，由此揭开了数学归纳法之谜。

数学归纳法是数学上用于证明与自然数有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立、不等式成立、数或是式子的整除、数列通项公式成立等，这种方法在使用时是由下面两步组成：[2]

一是：证明当时表达式成立。这一步是递推的基础。

二是：证明如果当时成立，那么当时同样成立。这一步是递推的依据。[3]

数学归纳法将式子的有限和无限联系在一起，我们学生学会这种方法，就能将无限种情况变为有限个步骤，将复杂的证明题简单化。

二、数学归纳法在高中证明题中的应用举例

例1 试证：对于任意的正整数，都有。

证明：设

当时，，故。

假设时成立，即

由于当时，

因此，即时结论成立。

由以上可知对于任意的正整数，都有。

此例的技巧在于把整理成，进而又把整理成，最后证得结论成立。

例2 对于任意大于1的正整数，求证：

证明：当时，，故此时结论成立。

假设当时结论成立，即

由于当时，

因此当时结论成立

由以上可知对于任意大于1的正整数都有

成立。

此例的技巧在于把整理成

，进而又把：

缩小为，最后证得结论成立。

例3 求证：对于任意的正整数，都有

证明：当时，故此时结论成立。

假设当时结论成立，即

由于当时，

因此当时结论成立

由以上可知对于任意的正整数，都有

。

此例的技巧在于运用三角公式把化成。

结语

综上所述，数学归纳法常用于证明等式、不等式、证明数或者是式子的整除，证明步骤必需完整准确，不能跳过一些重要的推理步骤。用数学归纳法证明恒等式成立时，有些等式在证明正确时，需要恒等变形，技巧较高，本文只给出了一些技巧，更多的技巧还需要我们高中生在做题中继续探索。

参考文献：

[1] 李欣雨  在证明数列题中应用数学归纳法的研究[J]. 亚太教育， 2016年3月：26.

[2]邢文巧 数学归纳法在高中数学中的应用研究[J]. 基教与成才研究， 2017年4月第11期（总第531期）：131.

[3] 刘国良 探讨归纳思想在高中数学教学中的应用[J]. 数学学习与研究， 2015年10月：64.

作者简介

李昕玥（2000-），女，汉族，陕西西安人，西安市第八十五中学。