洛必达法则及其推广的应用

赵秀

摘 要 洛必达法则及其推广是求极限行之有效的简便方法，大部分未定式极限用洛必达法则求解非常方便，但并非所有的未定式极限都能用洛必达法则求解，同时有部分非未定式极限可考虑用洛必达法则的推广求之。笔者从事“数学分析”教学工作多年，感受到此法在使用过程中有很大的技巧性，本文谈谈洛必达法则及其推广在解题中的点滴体会。

关键词 洛必达法则 洛必达法则推广 极限 体会

中图分类号：O172.1 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2017.03.020

1 广义洛必达法则（洛必达法则推广）

定理（型未定式极限）：设和在（，），>0上可导，若满足：

（1）≠0； （2）=∞；

（3）=A（A可为有限数，也可为+∞、、∞）；

则有=A.

注意1：此定理的证明见《数学分析选讲》（刘三阳、于力、李广民编）。

注意2：此定理可以推广到，，，，的情形。

注意3：此定理其实是的推广，与传统的洛必达法则相比，对分子上的函数的限制条件减弱了，可以有极限（包括广义极限），也可以无极限，当然其应用亦拓宽了。

例1

分析：对于：其情况较为复杂，不易此极限为∞，从而不易断定它属于型，但由积分变限函数的性质可知在+∞的邻域内可导，于是由广义洛必达法则可得，

=（）（）==1

2 洛必达法则（包括广义情形）的条件仅是结论成立的充分条件

例2求极限

误解：==，故所求极限不存在（不是有限数，也不是+∞，或∞）。

分析：广义洛必达法则的三个条件中满足第（1）与第（2），但第三个条件不满足，因为在→+∞的过程中，无限次地在[，]之间摆动，不是有限数，也不是+∞，或∞，从而条件不成立，故得出结论不正确（因为洛必达法则的条件仅是结论成分的充分条件，条件成立时结论成立，条件不成立时结论未必成立）。

例3：求极限

分析：洛必达法则的三个条件中满足两个，第一：此极限属于型极限，第二：函数及在内可导，若反复用洛必达法则求极限将会现了循环现象，使问题陷入误区，无法求解，即

（）=（）=（回到原题，出现循环）

=（）=（）（又回到原题，出现循环）.

由此可看出，若反复用洛必达法则是无法求解的（用洛必达法则求不出极限，并不能说此极限不存在，因为洛必达法则的条件仅是结论成分的充分条件），当然只需将函数适当变形即可求解。

解法：（）== ==1

例4：证明：若存在，则

=

误证：（）

= （） ①

= ②

= ③

= ④

分析：所证等式左端是未定式极限，由题设“存在”，可推出、在内都存在，且在连续，所以当||充分小时（||>0），，都存在，故①成立，①虽然是型未定式极限，但由题设不能保证及的存在性，即洛必达法则的第二个条件（可导性）不满足，故②不成立，的连续性不能得到保证，故③不成立，所以上述证明是错误的。

正确证明法：

（）

=（）

= [2·]（用导数定义证之）

= =2·

=2=

由此例可出，数学具有严密的逻辑性，若不注意检查洛必达法则的条件将会出现错误的证法。

3 简化导数运算

（1）在使用洛必达法则求未定式极限的过程中，即时化简整理，将极限“确定的”式子分离出来，可避免繁杂的导数运算，大大简化计算，此法简称为“分离法”。

例5：求极限（贵师大1996年考研题）

分析：此极限属于型未定式极限，用洛必达法则：

= （型极限，再用洛必達法则）

= （*） .

（*）是型极限，若用洛必达法则，分子，分母的导函数更为复杂，并且还是型，若又使用洛必达法则，出现的导函数的复杂性是可想而知的，此时使解题陷入误区，为了避免复杂的导数运算，用“分离法”即可。

解：= （*）

=·（分离）

因为=1，而===12，

故所求极限为12，

（2）为了简化复杂的导数运算，利用等价代换也是一种行之有效的方法。

用此法另解例4如下：

原式= （（） ～，→0+

==（）===12

从大量实践看出，在使用洛必达法则时，渗透“分离法”、“ 等价代换”思想可使复杂问题简单化。

4 洛必达法则使用误区

（1）由于用洛必达法则求未定式极限非常方便，有时不是未定式极限也用洛必达法则求之。

例6：求极限.

误解：===.

显然=0.

（2）洛必达法则是将极限（）或极限（）转化为极限来求，而有时会误将极限（）或极限（）转化为极限（）'来求。

（3）数列极限用洛必达法则直接求之也是洛必达法则使用过程中的一大误区。

例7：求数列极限（1+）

误解：（1+）= （型用洛必达法则）

=（*）===1.

分析：上述误解错在（*）式，原极限虽然是型极限，但n是离散变量，1+与不能求导，虽然结果正确，但解题过程不对。若要用洛必达法则求解，应先构造辅助函数=（1+），用洛必达法则先求极限（1+），再用归结原则得出所求数列极限。正确解法如下：

（1+）=（型用洛必达法则）=

===1.由归结原则，（1+）=1.

参考文献

[1] 华东师范大学数学系编.数学分析（第3版）（下册）.高等教育出版社，2006.

[2] 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（第3版）.高等教育出版社，2003.

[3] 刘三阳，于力，李广民.数学分析选讲.科学出版社，2007.