无可取代的二次函数

阙连芳

摘 要 二次函数（）=++（≠0）是中学数学的最重要的一种函数，它贯穿着高中数学的整个阶段，无所不在，是任何一个知识点都无可取代的。二次函数随处可见，更重要的是它的图像在解题中起着非常直观的作用，能将一些复杂的数学问题转化为能直观理解的数学文图，是高中数学数型结合思想的最具体的一类应用。二次函数的无所不在及其不可取代体现在：（1）必修一函数单调性奇偶性，在函数的定义域及最值里面的体现，方程的根与函数的零点。（2）必修五数列中在等差数列前n项和以及在一元二次不等式及其解法中体现的淋淋尽在。（3）在选修里的与圆锥曲线的综合题无处不在以及与导数的结合更是精彩。

关键词 高中数学 二次函数 无可取代

中图分类号：G633.62 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2017.03.017

Abstract The quadratic function is one of the most important functions of middle school mathematics. It is in the whole stage of high school mathematics. Quadratic function can be seen everywhere， it is more important to image plays a very intuitive role in solving the problem， can be some complex mathematical problems into intuitive mathematics paper map， is the concrete application of a class of high school mathematics with thought. Quadratic function of the omnipresent and can not be replaced in （1） required a monotonicity parity in the domain of the functions and the values inside the embodiment， the roots of the equation and function of zero （2） required five series in arithmetic n series before and in one of the two inequalities and its solution in the dripping in （3） combined with comprehensive problems everywhere in elective in conic and the derivative of the more exciting.

Keywords high school mathematics； quadratic function； no substitution

我們来介绍下二次函数在各部分的精彩表现。

首先我们先来看下中学阶段二次函数（）=++（≠0）的主要知识点：①二次函数图像的对称轴：直线=；② 二次函数图像的开口方向：a>0时开口向上：a<0时开口向下；③二次函数的顶点坐标（，）；④二次函数图像与y轴的交点坐标（0，）；⑤二次函数图像与x轴交点情况由△=4的符号决定。当△>0两个交点（1，0），（2，0）；当△=0时有一个交点（0，0）；当△<0时没有交点；⑥二次函数方程++=0（≠0）根与系数的关系：1+2= 1€I62=

通过多年的高中数学教学，遇到应用二次函数解题的一些题型，有的题目如果不用二次函数图像学生很少会解出来，若用二次函数图像求解，问题不仅直观，而且显得很简单。

二次函数的图像如图1（下面是>0，<0的时候开口向下）。

接下来我们看看二次函数在我们高中阶段是如何无处不在的。

1 二次函数在函数性质里面的体现

在函数单调性、最值以及奇偶性中的体现：

人教版必修一在讲函数单调性的新课时候首先是让学生观察二次函（）=图像（图2）。

图像在y轴左侧“下降”，也就是说，在区间（∞，0]上（）随着的增大而减小；图像在y轴的右侧“上升”，也就是说，在区间[0，+∞）上（）随着的增大而减大。从而引出本节课的重点（也是高中阶段函数性质的重点之一）——函数的单调性。

也就是说学生需要对函数（）=的熟知情况下才能顺利的往下学这节课。

（2）如图3所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m，那么宽x（单位：m）为多少才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？

二次函数的重要性，我们通过教材的编写就可以很直接的体会。

2二次函数在数列中的体现

等差数列{}的前项和的公式：=+=+（）也就是说等差数列的前n项和是一个关于n的二次函数

必修5课本第44页例3：已知数列{}的前n项和为=+，求这个数列的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是它的首项和公差分别是什么？

在这里数列的前n项和是一个关于n的二次函数。

接下来就45页的探究：一般地，如果一个数列{}的前项和=++，其中，，为常数，且≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？

经过研究我们发现，当r=0时数列{}是首项=+公差的等差数列。当≠0时，数列从第二项起是等差数列

例 已知等差数列5，4，3的前项和，求使得最大的序号的值。

分析：等差数列的前项和公式可以写成=+（），所以可以看成函数=+（）（∈N*）当=时的函数值，另一方面，容易知道是的图像是一条抛物线上的一些点。因此，我们可以利用二次函数来求的值。

我们可以画出的图像（图4），验证上述的结论

3应用二次函数图像及其方程解决一元二次不等式

一元二次不等式++>0或++<0（>0）的解集。我们可以有函数的零点与相应一元二次方程的根的关系，先求出一元二次方程的根，再根据函数图像与轴相关位置确定一元二次不等式的解集。我们可分三种情况来讨论对应的一元二次不等式++>0或++<0（>0）的解集。

二次函数在高中必修课本里面真所谓无处不在，以上举出的例题及其原理都必须掌握可见其重要性无可替代。接下来笔者继续介绍二次函数在选修中又是如何体现其的重要性。

4 二次函数在圆锥曲线中的地位

众所周知，圆锥曲线是高考的重点考查对象，那么它考查跟我们二次函数的知识点又有什么联系呢？

分析：这题的第二步联立直线与曲线的方程消元化简后得到一个关于的一元二次方程。接下来根据二次函数方程++=0（≠0）根与系数的关系：+=€I6=得到+=，€I6=，这一步起到至关重要的作用，若是没有这个接下来题目也就没法往下解答。纵观近几年高考，不管是全国卷还是各省自己命题的试卷只要有考直线与圆锥曲线都离不开应用二次函数根与系数的关系来解答。也就是说，二次函数在平面解析几何中也起到了至关重要的作用。

5 二次函数在导数中的体现

二次函数在导数的题目里面出现也是不容小觑的，无论是应用导数求单调性还是最值的题目里二次函数随處可见。可以说二次函数就是桥梁，它把新的知识和旧知识联系在一起。

分析：这是一个最高次为三次的导数题目，其导函数是一个关于x的二次函数。接下来就是应用二次函数知识来解题。 >0单调递增， <0 单调递减，也就相当于是解一元二次不等式。所以总归还是跟二次函数脱离不了关系。

二次函数，它不仅有丰富的内涵和外延，而且作为最基本的初等函数，可以用它作为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，也可以编写出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生对数学基础知识的掌握以及体现学生的综合数学素质。特别是可以从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。所以二次函数在高中阶段的学习中是无可取代的。