负曲率流形中极小超曲面的特征值估计

郭芳承

(陇东学院数学与统计学院，甘肃庆阳745000)

负曲率流形中极小超曲面的特征值估计

郭芳承

(陇东学院数学与统计学院，甘肃庆阳745000)

极小超曲面；特征值估计；Yamabe不变量；比较定理

Δf=div(

Mn中测地球B(p,r)上Dirichlet边值问题定义为

它具有离散特征值,其第一非零特征值记为λ1(B(p,r))，由特征值的区域单调性原理，λ1(B(p,r))关于半径r递减且与点p的选择无关。进而,整个流形Mn上的第一特征值定义为

λ1(Mn)≜

研究λ1(Mn)与流形的几何结构之间的关系是几何分析领域一个重要问题。

本文借助于Hessian比较定理,推广了P.T.Ho的结果,得到如下结论。

注：当k0=k1=1时,上述结论即为P.T.Ho得到的双曲空间中的相应结果。

1 基本事实

为了将双曲空间中结论推广到截面曲率有界流形上,我们需要对它们距离函数的Hessian算子进行比较,即需要如下Hessian比较定理。

Hessian比较定理[7]设

引理2.1 设完备流形(Mn,g)的截面曲率K(Mn)≤δ，ρ是Mn上从点p出发的距离函数,γ:[0,r]→Mn是Mn上从点p出发的极小正规测地线,则对于任何X∈Tγ(t)Mn，有

在研究超曲面的几何性质时,如下引理提供的外围空间上光滑函数及其限制在超曲面上时Laplace算子之间的关系是重要的。

引理2.2[8]设∑n是等距嵌入在n+1维黎曼流形Mn+1中的超曲面,则对任意f∈C∞(Mn+1)，有

其中v是∑n在Mn+1中的单位法向量场,H是∑n的平均曲率向量。

主定理中的上界估计要用到超曲面的Yamabe不变量小于零的条件,其定义如下。

其中

这里Rg和dvg分别为度量g的数量曲率和体积元,进而流形(Mn,g)的光滑Yamabe不变量定义为

同时还要用到如下超曲面稳定极小的概念。

(2.1)

当V″(0)≥0时,称∑n是稳定的,其中B是∑n的第二基本形式,Ric(v)是Mn+1上沿着方向v的Ricci曲率。

若外围空间截面曲率有负下界,则有如下事实。

其中Rm表示∑n的数量曲率。

2 主定理的证明

设ρ是Mn+1上从某点p出发的距离函数,取Mn+1上点p处某一邻域内一组单位正交标架{e1,e2,…,en，en+1}，使其中前n个,即{e1,e2,…,en}切于超曲面∑n，则由引理2.2

(3.1)

(3.2)

(3.3)

div(f2ρ)=〈f2,ρ〉+f2Δρ

(3.4)

由带ε的Young不等式,对某ε>0有

进而(3.4)整理为

div(f2

对其在∑n上积分得

据Rayleigh原理(参见[9]或[10])得

至此,完成了下界估计,下面给出上界估计。

由∑n上Yamabe不变量σ(∑n)<0知,对∑n上诱导度量g，有Y(g)<0，从而对于任意非负函数f∈C∞(∑n)，有

(3.5)

再由∑n稳定极小,结合引理2.3得

(3.6)

结合(3.5)和(3.6)得

即

从而

至此,我们完成了整个定理的证明。

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【责任编辑 朱世广】

Eigenvalue Estimates for Minimal Surface Embedded in Manifold with Negative Curvature

GUO Fang-cheng

(SchoolofMathematicsandStatistics,LongdongUniversity,Qingyang745000,Gansu)

minimal surface;eigenvalue estimates;Yamabe invariant;comparison theorem

1674-1730(2017)03-0004-03

2016-11-09

陇东学院青年科技创新项目《流形上Laplace和P-Laplace算子特征值研究》(XYZK-1002)

郭芳承(1982—),男,甘肃西峰人,讲师,博士,主要从事几何分析理论研究。

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