Z型折叠机翼的非线性动力学与模态分析研究*

朴金丽 郭翔鹰张伟 祖武争

（北京工业大学机电学院机械结构非线性振动与强度北京市重点实验室，北京 100124）

Z型折叠机翼的非线性动力学与模态分析研究*

朴金丽 郭翔鹰†张伟 祖武争

（北京工业大学机电学院机械结构非线性振动与强度北京市重点实验室，北京 100124）

针对Z型折叠机翼这种复杂多体结构，运用多种不同的方法得到了结构的前4阶振动模态.将Z型折叠机翼假设为由三块碳纤维复合材料板组成，两板之间均以刚性铰链相连接.其中内翼左侧是固定端，并与机身相连接；中间翼以对边简支形式连接在内外翼之间；外翼的外端是自由端.在第一个铰链上施加驱动力矩M1为机翼提供折叠角速度，使中间翼进行转动；同时施加力矩M2于第二个铰链处，使外翼与内翼始终保持平行.本文首先利用Hamilton原理与von Karman大变形理论建立Z型折叠机翼的动力学模型，然后通过ANSYS软件设置合理的边界条件进行模态分析与谐响应分析，其次根据ANSYS模拟的Z型折叠机翼的振动形式，假设合适的模态函数，通过结构边界条件和系统动力学方程求出来的边界条件，求出三个板的横向振动模态函数，最后通过Maple验证得出的模态函数与ANSYS模拟的振动形式相符合.该研究不仅是Z型机翼的受迫振动响应分析的前提，而且对于Z型机翼的设计与实验也具有参考价值.

Z型折叠机翼，非线性振动，复合材料层合板，折叠角，模态分析，谐响应分析

引言

为了满足特定气流，特定环境下完成特定的飞行任务，变体飞行器理论已成为航空领域中的热点.变体飞行器通过机翼气动外形在飞行状态中自适应变化，提高了飞行的综合性能，使飞行器在不同飞行状态下的气动性能都能达到最佳状态［1－6］.其中折叠翼代表了后掠翼的先进性，变体结构使机翼的面积大大增加，从而减少阻力［7］.

2007年Seigler［8］等人提出折叠飞行器的一般形式的多体动力学方程.同年，Mcgorn［9］用经典的有限元理论对折叠翼飞行器的整体性能进行理论分析和数值仿真.Love［10］，Lee［11］，韩国Goo［12］等人对于折叠机翼无人机分别进行了结构分析，数值仿真气特性以及低速风洞测试.国内李毅［13］等人采用准静态的工程方法模拟了折叠机翼从完全展开到完全收起折叠的全过程.张伟［14］等利用非线性动力学方法对折叠翼飞行进行了动态仿真.2012年胡海岩［15］等人通过偶离子网格法建立了折叠机翼的参数化气弹性建模，行折叠翼的振动分析.2015年尹文强［16］等人通过用涡格法和工程估算法对机翼折叠过程中飞机的纵向和横航向静稳定性进行分析，得到了纵向扰动运动和横航向扰动运动对应的模态，分析了机翼折叠过程对飞机动稳定性的影响.

目前来说通过Z型机翼的仿真实验来分析其气动特性研究较多，理论分析相对较少.由于Z型折叠机翼包含连续的三个弹性板，并且存在折叠角度的转动，很难确定与整体振动形式相符合的模态函数.本文基于Hamilton原理，von Karman大变形理论建立Z型折叠机翼的非线性动力学方程，然后通过ANSYS进行强迫激振力作用下的模态分析与谐响应分析；根据分析结果假设合适的模态函数，通过结构边界条件和动力学方程求出来的边界条件，求出折叠机翼整体的横向振动模态函数，最后通过Maple验证所得出的模态函数与ANSYS模拟的振动形式相符合.

1 Z型折叠机翼的理论建模

将Z型折叠机翼假设为三个连续的弹性碳纤维复合材料层合板并以两个刚性铰链而相连接，如图1所示.三个板各分为，内板Ω1、中间板Ω2、外板Ω3.内板左端是固定端与机身相连接，中间板与内板、外板之间采用对边铰链连接，外板外端是自由端.假设Z型折叠板结构的三部分变形前是在同一平面内，内板与中间板以及中间板与外板的夹角都是θ，方向相反.O1x1y1是固结于内板左端点的局部坐标.O2x2y2是固结于中间板左端点的局部坐标.O3x3y3是固结于外板左端点的局部坐标.全局坐标Oxy与局部坐标重合，如图1所示.由于中间板在0～150范围内转动，中间板和外板分别建立随体坐标系，为了进行动力学建模，需要转换坐标来把局部坐标系转化为绝对坐标系通过坐标转换得到整个折叠机翼的运动位移.第一个铰链处假设力矩M1作为驱动力提供角速度使中间板转动，产生的角度称为折叠角，随时间而变化.同时假设施加力矩M2使外板与内板一直保持平行.中间板与外板表面有垂直方向的均布简谐力P2、P3为Z型机翼提供激振力.

图1 Z型折叠板的理论模型Fig.1 Theory model of the Z type folding plates

根据假设条件以及利用经典板理论，令在全局坐标中内板的位移为r1，中间板的位移为r2，外板的位移为r3.因此，Z型折叠板的三块板在绝对坐标下X、Y、Z向的位移场如下：

内板Ω1位移场为：

其中，

u01、v01、w01是在Ω1中性层上X、Y、Z方向的位移.

中间板Ω2位移场为：

其中：

u02、v02、w02是在Ω2中性层上X、Y、Z方向的位移.R2为Ω1与Ω2的转换坐标，L1、L2为内板和中间板的长度，kθ＝w1′（L1）＋θ中w1′（L1）为内板振动时候产生的角度，θ为折叠角度，根据实际情况折叠角随着时间从0～150°范围内变化.

外板Ω3位移场为：

其中，

w2′（L2）为中间板振动时候产生的角度，u03、v03、w03是在Ω3中性层上X、Y、Z方向的位移.

选取正交铺设的碳纤维复合板，其本构方程为：

其中，E、ν分别为材料的弹性模量和泊松比，每一单层对碳纤维复合材料X方向的铺设角θ.

由于在上下板面厚度方向不受力，因此：

其中h为板结构厚度.

根据von Karman大变形理论Z型折叠板的非线性应变表达式为：

由上可知：Z型折叠板的动能、势能、虚功表达式分别为：

其中，点（·）表示对时间的导数，Li为X方向各板的长度（i＝1，2，3），ρ为材料密度.

Pi表示为Ω2与Ω3所受的横向均布分载荷.

将（1）－（3）式带入（6）式，把（4）和（5）式带入（7）式，得出的（6）－（8）式带入到Hamilton原理：

经计算分析分别得出在绝对坐标中内板、中间板、外板在X、Y、Z三个方向的非线性动力学方程.

内板、中间板、外板的X方向上非线性动力学方程各为（10）～（12）：

内板、中间板、外板的Y方向上非线性动力学方程各为（13）～（15）：

内板、中间板、外板的Z方向上非线性动力学方程各为（16）～（18）：

内板、中间板、外板沿X、Y、Z向的9个非线性动力学方程将对研究每块板的响应和模态函数提供理论基础.

2 ANSYS有限元分析

为了便于选取合理的模态函数，本文通过ANSYS有限元软件进行对Z型折叠板进行模态分析和响应分析.根据分析结果可得知Z型折叠板的振动形式，该振动形式可为模态函数假设提供参考方向.

2.1 有限元模型的建立

根据1.1理论模型与边界条件，建立ANSYS有限元模型.采用四边形板单元进行网格划分；机翼弹性模量设置为5×105MPa，泊松比为0.3.Z型折叠机翼的实际飞行中展开机翼和折叠机翼动作是连续性的过程，折叠角度在0°到150°.由于当折叠角度为0度时，机翼可简化为一块板，相应研究已较为丰富，因此文中不做研究.根据有限元模拟不同角度时机翼的振动情况，发现机翼在150°、90°、60°时易出现较大振动，因此选取包括最大折叠角度150°、3板互相垂直以及三板成60°时的模型进行模态分析、响应分析，并保持有限元分析假设的边界条件与理论分析时一样，如图2所示.

图2 模型网格划分示意图Fig.2 Meshing of the Z type folding plates

2.2 模态分析

设置合理的边界条件，计算分析可得折叠角度为60°、90°、150°下折叠机翼模型的固有频率及振动形式.Z型折叠板的前六阶模态的固有频率为如表1所示.

表1 对应角度前六阶固有频率Table 1 First six order frequencies for different folding angles

由模态分析得出：折叠角度为60°、90°、150°时，Z型折叠板的整体振动形式均为第一阶是弯曲振动，第二阶是扭转振动，第三阶是弯曲振动，第四阶是弯扭耦合振动，如图3，图4和图5所示.

图3 折叠角为60°时，折叠机翼前四阶模态振型图Fig.3 First four order mode shape for 60°folding angle

图4 折叠角为90°时，折叠机翼前四阶模态振型图Fig.4 First four order mode shape for 90°folding angle

图5 折叠角为150°时，折叠机翼前四阶模态振型图Fig.5 First four order mode shape for 150°folding angle

2.3 谐响应分析

谐响应是各阶模态的振形相互叠加而产生的振动总位移.为了进一步验证为60°、90°、150°时Z型折叠板的整体振动形式，需进行谐响应分析.下面分析折叠角度为60°、90°、150°在每第一阶固有频率相同的激振力强迫振动下Z型折叠板的X、Y、Z方向的前三阶谐响应，如表2、表3、表4所示，表中横坐标为板的长度（L／m），纵坐标是振动振幅（A／m），两者单位均是米.并且谐响应分析为Galerkin离散而选取合适的模态函数提供参考.

表2 折叠角为60°Z型机翼的谐响应（单位／m）Table 2 Harmonic response of Z-type folding wing for 60°folding angle in XYZ directions（Unit／m）

表3 折叠角为90°Z型机翼的谐响应（单位／m）Table 3 Harmonic response of Z-type folding wing for 90°folding angle in XYZ directions（Unit／m）

表4 折叠角为150°Z型机翼的谐响应（单位／m）Table 4 Harmonic response of Z-type folding wing for 150°folding angle in XYZ directions（Unit／m）

3 模态函数

基于以上有限元分析假设Z型折叠板的各板的X向与Y向的前两阶模态函数为：

横向（Z向）的前四阶模态形式假设为：

其中：

其中：Ai1～Ai4，Bi1～Bi4为Xi1和Xi2的模态系数.

将实际参数L1＝2m，L2＝1m，L3＝4m，宽度b＝2.1m带入（19），（20）式可以确定结构的模态函数，把（21），（22），（23）式带入Z型折叠板动力学方程的边界条件（24）式，得：

其中，第三个边界条件包含折叠角度，是时变的变量（0～L1），以平均值来代替处理（L1／2）.带入之后求出系数Ai1～Ai4，Bi1～Bi4，得出Xi1和Xi2的表达式为：

式（25）～（27）带入（21）式求出Z向的模态函数.

4 验证模态函数

为验证模态函数结果的正确性，根据以上章节所求的模态函数（19）～（21）式采用数值仿真Maple软件构建Z型折叠板的振动形式，如图6－图9所示.

图6 第一阶模态振型图Fig.6 First order mode shape of three plates

图7 第二阶模态振型图Fig.7 Second order mode shape of three plate

图8 第一阶模态振型图Fig.8 Third order mode shape of three plates

图9 第一阶模态振型图Fig.9 Fourth order mode shape of three plates

根据以上图形分析可得：Z型折叠板处于该角度时，机翼的振动形式为：第一阶是弯曲振动，第二阶是扭转振动，第三阶是弯曲振动，第四阶是弯扭耦合振动.即Maple数值仿真模态图与ANSYS有限元模拟得出的模态分析及谐响应分析结果相符合，因此，可用所求模态函数.

5 结论

通过Hamilton原理得到了Z型折叠机翼的非线性动力学方程以及对应的边界条件，通过ANSYS有限元进行Z型折叠板的模态分析与谐响应分析，根据边界条件求出符合Z型折叠板振动模态函数，通过Maple得到验证.经最大折叠角度150°、三板互相垂直以及三板成60°时有限元建模分析可知，Z型折叠机翼以最左端作为固定端，展开折叠过程中与悬臂板模态函数相似，得出Z型折叠板的模态函数.求出相应的模态函数是Z型机翼的受迫振动响应分析的前提，而且对于Z型机翼的设计与实验也具有参考价值.

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Received 31 January 2016，revised 7 March 2016.

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11202009，11290152）

†Corresponding author E-mail：35420827＠qq.com

NONLINEAR DYNAMICS AND MODE ANALYSIS FOR A Z-TYPE FOLDING WINGS*

Piao Jinli Guo Xiangying Zhang Wei†Zu Wuzheng
（Beijing Key Laboratory of Nonlinear Vibrations and Strength of Mechanical Structures，College of Mechanical Engineering，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China）

The first four vibration modes of complicated multi-body system for the Z-type folding wing through different methods are obtained.Firstly，the Z-type folding wing is divided into three components：the inner wing，the middle wing and the outer wing，and these wings are then treated as carbon-fiber composite laminated plates which are connected to each other through two rigid hinges.The transform of three Cartesian coordinate systems are used to connect these three plates.The inner side of Z-type folding wing is fixed with fuselage.The middle wing is treated as simply supported on its four edges to connect with the inner wing and the outer wing.The outer side of Z-type folding wing is free end.Meanwhile，the supposed driving force of moment（I）is applied in the first hinge to provide the angular velocity.In addition，the first plate and the third plate are supposed to be always sustained parallel，which is carried out under the supposed driving force of moment（II）applied in the second hinge.And there are harmonic forces on the second plate and the third plate.Secondly，dynamic equations of nonlinear vibration of the Z-type folding wing are deduced using the Hamilton principle and von Karman large deformation theory.Furthermore，through the ANSYS analysis of modes and harmonic response based on the real material parameters and theoretical data on the boundary conditions of these plates，we establish appropriate mode function.Subsequently，the calculated mode function is confirmed by the numerical simulation.Finally，we can conclude that the mode shape of Z type folding plates is similar with the mode shape of cantilever plate.The results not only offer theory foundation for discrete analysis of dynamical equations through Galerkin approach，but also provide theoretical reference for the future design and experiment of the folding wings.

Z-type folding wing，nonlinear vibrations，composite laminated plate，folding angle，mode analysis，harmonic response analysis

10.6052／1672-6553-2016-024

2016-01-31收到第1稿，2016-03-07收到修改稿.

*国家自然科学基金资助项目（11202009，11290152）

†通讯作者E-mail：35420827＠qq.com