代数传奇

刘玮

皓天：“天才多磨难，伟大的阿贝尔英年早逝，于数学界是多大的损失啊！”

鹏飞：“阿贝尔的未竟事业，由比他小9岁，比他更坎坷、更悲惨，又极富传奇色彩的法国青年伽罗华担当起来。”

皓天：“阿贝尔26岁去世，他在巴黎时伽罗华也已经16岁了，他俩差点就见面了。”

鹏飞：“是啊！如果他们都能活得再久一些的话，这两位天才定会相遇，数学或许会走上另一条快速发展的道路。可惜天才伽罗华也仅活到21岁。”

1811年10月25日，伽罗华诞生在巴黎附近的莱茵堡。

伽罗华小的时候并不是神童，但是个对事认真得近乎严苛的孩子。12岁以前，伽罗华没有上学，由他那不守旧、爱自由的妈妈教他学习。12岁时，伽罗华考入巴黎路易皇家学校，直接插班读四年级，之后连续三年被评为优等生。但伽罗华对这些奖励的兴趣却愈来愈淡薄。因为他渐渐看出来，学校领导骨子里要把学生培养成波旁王朝的顺民，校长曾一次就开除了40名不太听话的学生。伽罗华的成绩明显下降了，校长要他重修一年。在这年的重修学习中，伽罗华到初等数学班听数学的补充课程，没曾想在这里找到了自己的兴趣。

在代数课上，伽罗华学到一元二次方程的求根公式。和阿贝尔一样，他非常兴奋，觉得它太神奇了，因为这公式是普遍有用的。于是，他开始急切地学习研究一元三次方程、一元四次方程的求根公式。很快，他领悟了塔尔塔利亚和费拉里的诀窍，明白了这些解法的代数变换技巧，感觉其中并没有什么高不可攀之处。他对人们为了这些公式竟花了上千年的时间感到不可思议，于是决定试着去寻求前人还没找到的一元五次方程求根公式。

同阿贝尔一样，伽罗华经过不断思索，并认真演算，也得到了一元五次方程的求根公式。与阿贝尔不同的是，经过短暂的兴奋，他冷静了下来，且很快发现了自己的错误。

伽罗华至此才明白，问题确实很难。但他并没有泄气，而是继续研究下去。他决定直接向大师们请教，于是着迷地读起欧拉、拉格朗日、高斯等人的代数和分析的著作。正如他的老师说的那样：“他被数学的鬼魅迷住了心窍。”伽罗华真正进入了数学研究的境界。

拉格朗日的著作使伽罗华受到了很大启发。拉格朗日通过对低次方程统一解法的分析指出，方程的求解和根的置换相关联，但低次方程的解法对一元五次及以上方程无效。拉格朗日预言：“用根式解高于一元四次的方程是不可解决的问题之一。”伽罗华再一查，发现高斯也曾在1801年声称“这个问题也许是不可解的”。他懂得，拉格朗日和高斯这样的大师是不会随便猜测的。于是伽罗华调整了研究方向，明确自己的使命不是寻找高次方程的根式解，而是证明一元五次及以上方程代数求解的不可能性。思考和阅读让伽罗华感到他的心和大师们是相通的，他怀着终将成功的信念继续研究这个被拉格朗日称为“向人类智慧挑战”的代数方程根式解的难题。

1828年，阿贝尔去世的那一年，伽罗华报考巴黎综合工科学校，却被认为只研究高等数学、没打好基础而落榜。好在他的数学才能得到了原来学校的认可，他被编入了数学专业班，这是路易皇家学校的精华所在。在这里，伽罗华遇上了一位优秀的数学老师里夏尔。

阿贝尔遇到了霍尔姆伯，伽罗华遇到了里夏尔，他俩都遇到了好的老师，从这点来讲他俩是幸运的。里夏尔既注重培养学生热爱科学的精神，把握住研究的大方向，又善于用具体问题锻炼学生，提高他们的研究能力。里夏尔老师也欣喜遇到了一位天才，他称伽罗华为“法兰西的阿贝尔”！

在里夏尔老师的指导下，伽罗华发表了《周期连分数一个定理的证明》一文。一个17岁的中学生，竟把大数学家拉格朗日的研究成果向前作了推进，这表明伽罗华已经不是一个普通的中学生，而是一个有创造才能的青年数学家。

文章的发表对伽罗华是个鼓励，而更大的动力还是来自学习研究本身。对方程根的置换的深入研究，使伽罗华日益了解了根的置换和代数求解之间深刻的联系。伽罗华把前人特殊的高超技巧放在一边，摒弃推理中的盲目性，深入考察根式求解方程各種运算步骤的实质，就像他自己所说——“进行分析之分析”。

他确信，新颖的问题需要使用新概念和新思想。伽罗华艰苦的思索和深入的研究，终于使他洞察到了方程求根的实质，提出了名垂青史的概念——群，从而彻底解决了“向人类智慧挑战”的代数方程根式解的问题，给出了高次方程可不可以用根式求解的判定准则，顺道也解决了古希腊“三大尺规作图难题”中的“三等分角”“倍立方”两个问题，奠定了近世代数的基础。这是数学史上的一座丰碑。