“尝试错误”法在高职数学教学中的应用

莫照发

一、引言

高职院校高等数学教学工作面临授课学时少、教学内容多、生源质量下降等事实。以笔者所承担的学院电子类专业高职数学课程教学为例，高职数学学时数仅为每周2节，加之新生军训、国庆、中秋放假还要冲掉部分学时，余下学习时间已不足30学时。加之学生的数学基础薄弱，数学相对于专业其他课程又比较难学，学生对数学学习有“怕学、怕错”的畏难情结。在笔者所教授的两个班级总共130人的问卷调查中发现，“对数学学习感兴趣”的学生只有25人，所占比例不到20%，而“对数学学习不感兴趣”的却有87人，占比约为67%，其他18人经过访谈发现，他们对高等数学的学习谈不上“感兴趣”，也谈不上“讨厌”，一副“无所谓”的态度。对高等数学不感兴趣的学生当中许多人甚至有“害怕上数学课”的学习心理，“恐高症”因此成为当前高职数学课堂教学面临的巨大困境。

在当前高职课堂教学中，“满堂灌”的教学现象比较普遍，教学模式比较单一，这种现象对培养具有较强技术应用能力的高职人才十分不利。传统的高职数学课堂教学大多依赖于“讲授经典例子+模仿例题式配套练习+课后作业巩固”的教学模式，基本上是以教师为中心实施教学的范式，学生学习的积极性和主动性不高，教学质量难如人意。怎样利用较少的授课时間来获得较好的教学质量，是广大高等数学教学工作者应思考的问题。

改革旧有的教学观念和教学方法迫在眉睫。回首近现代各种教学模式流派，桑代克的“尝试错误”教学理念曾经一度被冠以行为主义的教学立场而令诸多一线教师讳莫如深，经笔者仔细考量，发现其仍不失为适合于当前高职数学教育教学现状的一味良方。

二、“尝试错误”教学法的理论基础及现实意义

错误是学生在学习过程不可避免的现象，在数学教学中企图让学生完全避免错误是不可能的，也是没有必要的。正如哲学家波普尔所说：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素，发现的方法就是试错方法。”美国心理学家桑代克（Thomdike，1874-1949）的“刺激——反应”学说就是一种以“尝试错误”为主要特色的教学理念。桑代克以“饿猫迷笼”做实验，提出学习不是建立观念之间的联结，而是建立刺激——反应（S-—R）之间的联结，即在一定的刺激情境与某种正确反应之间形成联结，其中不需要观念或思维的参与。桑代克的研究观点认为学习的联结过程是通过不断的修正错误来建立的，即在不断重复的尝试中，错误的反应逐渐被摒弃，正确的反应则不断得到加强，最后形成了固定的“刺激——反应”联结。抛开桑代克“认知无需观念或思维参与”的不合理成分，结合现今高职数学教学的困境及学生的特点，我们认为可以将高等数学的学习过程视为学生积极主动尝试错误的过程，教学则是一个不断矫正学生错误以达到正确认知的过程。联台国教科文组织第十九次国民教育国际会议资料中指出：“应当研究学生所犯错误，并把错误看成是认识过程和认识学生思维规律的手段。”对于学生出现的错误，要采用积极的态度，正如苏霍姆林斯基所说：“任何一种教育现象，孩子在越少感到教育者的意图时，它的教育效果就越大，我们把这条规律看成是教育技巧核心。”

在现今高职数学教学面临诸多困境的现实背景下，尝试错误教学模式是切实可靠的。因为，从教学对象分析，学生基础不好的前提下，运用发现、探究等认知心理学教学模式势必遇到很大的困难；从教师角度分析，尝试错误教学模式简单易行，便于开展教学和掌控课堂；从学习的内在心理机制分析，尝试错误模式允许学生犯错并最终通过错误来习得正确的解题思想方法，更利于培养学生的数学学习信念。

三、高职数学课堂“尝试错误”教学四步曲

根据行为主义心理学教学理论，学习即“刺激——反应”之间联结的加强，教学的艺术关键在于如何安排强化。据此，我们提炼出“尝试错误”教学法的四个教学步骤：

1.试误。通过精心备课，通晓学生的错误心理，顺势而为，因势利导，故意把学生引向错误的解题方向，属于尝试错误的过程。

2.析误。通过回顾解题过程，帮助学生发现错在哪里，总结产生错误的原因，属于一个醒悟、知错的过程。

3.纠误。帮助学生找到改正错误的办法，正确解决数学问题，属于改正错误的过程。

4.思误。对错误进行反思自省的过程，包含丰富的元认知策略，能够帮助学生今后减少错误现象，少走弯路，更快更准地找到正确的解题方法。

随着各高职院校专业及课程改革不断深化，高职数学课程已经逐步被压缩为以微积分初步为核心内容的教学构架。本文拟从“极限”“导数”“积分”等微积分数学知识中各选一例以说明“尝试错误”教学法及其应用。

例1：求未定式极限limn→0x2·sin1xsinx

试误：由于它是一个未定式，若根据洛必达法则则有：

limx→0x2·sin1xsinx=limx→02x·sin1x+x2·cos1x·-1x2cosx=limx→02x·sin1x-cos1xcosx

此时学生发现题目已经做不下去。

析误：教师即时帮助学生分析错误的原因是limx→0cos1x不存在，既然不存在当然就不符合洛必达定理的条件了，即不能运用洛必达法则来解决它。

纠误：可运用第一个重要极限及无穷小相关知识解决：

limx→0x2·sin1xsinx=limx→0xsinx·xsin1x=limx→0 xsin1x=0

反思：洛必达法则的其中一个重要前提是在变形过程中，limx→0f ′（x）g′（x）必须存在，否则将导致计算错误。为了帮助学生在计算极限时养成灵活的解题策略，例如计算limx→+∞1+x2x时，引导学生两次运用洛必达法则，发现式子又还原为原来的问题，形成了“恶性循环”。让学生明白洛必达法则也不是“包治百病”的“灵丹妙药”，有时候也可能会“失灵”。事实上，本题的求解通过一个简单的恒等变形即可求出：

limx→+∞1+x2x=limx→+∞1+1x2=1

例2：求复合函数y=sin2x的导数

试误：y′=（sin2x）′=（sinu）′=cosu=cos2x其中令u=2x。

析误：为了让学生更简单的发现错误，我们可以利用三角恒等变形帮助学生分析。

（sin2x）′=（2sinx·cosx）′=2[（sinx）′·cosx+（cosx）′·sinx]=2（cos2x-sin2x）=2cos2x。此时，大部分学生都知晓原先结论的错误，但对原因不甚明了。这时还要从复合函数的概念着手分析，由于y=f（u），而u=φ（x），因此复合函数y=f（φ（x））求导过程中会遇到两个变量u和x。题目要求解的问题是y′=yx即y对x的导数，而不是y对u的导数y′u。所以错误的原因是“只对u求了导数而没有对x求导数”。

纠误：引导学生运用复合函数求导的链式法则dydx=dydu·dudx进行正确求解。

思误：复合函数求导时，由于是对“x”求导而不是对“u”求导，一定要求导到自变量x方可。为此，必须运用链式法则进行计算。在帮助学生总结链式法则规律时，笔者用“剥洋葱”和“送快递”两个形象的比方帮助学生理解求导法则，即必须遵循“逐层求导”的原理。

例3：求解x·sinxdx

试误：相当一部分学生还感觉困难和不敢下手时，笔者动员学生大胆尝试，故意引导学生将U视为sinx，即

x·sinxdx=UV-VdU=sinx·x22-x22d（sinx）=sinx·x22-12x2·cosxdx

析误：这时笔者“警示”学生，在积分运算中，通过变形以后，被积函数的次数不降反升（从1变到2），往往是一种“不祥预感”。此时，绝大部分学生经过暗示后，基本上都明白了错误的原因在于误将U视为sinx所致。但是依旧有少部分学生半信半疑，笔者继续按照上述错误思路计算下去，结果又将次数升高到了3，而依旧没有求解成功。此时所有学生才恍然大悟。

纠误：正确的做法应该是将U视为x ，即：

x·sinxdx=UV-VdU=-x·cosx+cosxdx=……

思误：帮助学生反思得出“选U要选对”的解题经验，提醒学生如果一旦发现选U以后计算过程“情况不妙”，例如次数升高或者计算不下去等现象，通常说明选U失败，必须重新选择被积函数中另外那部分的函数作为U，此技巧美名其曰“回头是岸”。笔者趁机向学生渗透情感态度价值观教育：人生之中也有偶尔碰壁的时候，但是犯错误以后要知道改正和反思，要汲取经验教训，正所谓“浪子回头金不换”。在数学课堂中适时施以人文关怀，学生顿时兴致盎然，改变了部分学生对数学学习的根本看法。

“尝试错误”法在高职数学教学中的应用

四、结语

恩格斯说过：“无论从哪方面学习都不如从自己所犯错误的后果中学习来得快。”尝试错误法经过实践证明是一种行之有效的高职数学教学方法，它能够增强学生學习的积极性和主动性。基于当前高职数学学时偏少及高职生源质量普遍下降等事实，运用“尝试错误法”有助于克服学生害怕数学、害怕错误的学习心理，在尝试错误教学法中适当渗透人文教育、挫折教育、情感教育，有利于培养高职学生数学学习的兴趣和自信心。

[本文系广东省数学会高职高专分会2016年教科研课题“高职数学课程教学模式改革研究与实践”（项目编号：粤数分会研[2016]03号）研究成果之一。]

责任编辑何丽华